やさしい微分積分
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《実数とは》
微分積分の命綱を握っているのが実数の概念です。以下の例を用いて実数について考える。
下の図のようにｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《数列の発散》
数列{ｘn}が収束しないとき、数列{ｘn}は発散するという。
次の数列は発散する。
なお、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく大きくなるとき、数列ｘn は正の無限大に発散するといい、次のように書く。
このとき、数列{ｘn}の極限は正の無限大であるということがある。
また、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく小さくなるとき、数列ｘn は負の無限大に発散するといい、次のように書く。
このとき、数列{ｘn}の極限は負の無限大であるということがある。
数列{ｘn}が発散するが、正の無限大にも発散せず不の無限大にも発散しない数列{ｘn}は振動するという。
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａから、値がａと異なる要素ｘn を順に選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなって、 ｆ(x) が値Ｃに収束するということが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限が存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域の集合Ａを、区間とする。そして、「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がなく連結している１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【関数の極限の定義の論理的帰結】
（区間Ａの内点での極限）関数ｆ(x) が定義される区間Ａの内点ａでの極限は、右側極限と左側極限との両側で極限値が存在して、両側の極限値が一致することが内点で極限が存在する条件である。（区間Ａの内点とは、区間Ａの端点以外の、区間内の点のことである）。
ｘが、内点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
ｘが、内点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕区間Ａの内点ａでは、極限が存在する条件は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。そのため、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限でも値Ｃに収束する。また、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限でも同じ値Ｃに収束する。すなわち、右側極限も存在し、左側極限も存在して、両者の極限値が一致することが内点で極限が存在するために必要十分な条件である。
〔関数ｆ(x) の、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}の関数値ｆ(ｘn) も同じ極限値Ｃに収束する〕以下でこれを示す。
関数ｆ(x) の点ａの右側極限値と左側極限値が同じ値Ｃであるとする。
その場合に、関数ｆ(x) の、点ａより大きい値と小さい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}を考える。
（１）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより大きい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより大きい数ｙn でａに収束する無限数列{ｙn}を作ることができ、ｆ(ｙn) はＣに収束する。
（２）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより小さい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより小さい数ｚn でａに収束する無限数列{ｚn}を作ることができ、ｆ(ｚn) はＣに収束する。
そして、ｚn ≦ｘn≦ｙn が成り立つようにこれらの数列を作ることができる。そうすると、無限数列{ｘn}の関数ｆ(ｘn)も同じ極限値Ｃに収束することが示せる。
（区間Ａの端点での極限） 関数ｆ(x) が定義される区間Ａの端点ａでの極限は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。そして、区間Ａの左側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限しか無いので、右側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
また、区間Ａの右側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限しか無いので、左側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
リンク：
関数の極限の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
高校数学の目次
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《実数とは》
微分積分の命綱を握っているのが実数の概念です。以下の例を用いて実数について考える。
下の図のようにｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《数列の発散》
数列{ｘn}が収束しないとき、数列{ｘn}は発散するという。
次の数列は発散する。
なお、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく大きくなるとき、数列ｘn は正の無限大に発散するといい、次のように書く。
このとき、数列{ｘn}の極限は正の無限大であるということがある。
また、数列{ｘn} において、ｎを限りなく大きくすると、ｘn が限りなく小さくなるとき、数列ｘn は負の無限大に発散するといい、次のように書く。
このとき、数列{ｘn}の極限は負の無限大であるということがある。
数列{ｘn}が発散するが、正の無限大にも発散せず不の無限大にも発散しない数列{ｘn}は振動するという。
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａから、値がａと異なる要素ｘn を順に選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなって、 ｆ(x) が値Ｃに収束するということが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限が存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義】
変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域の集合Ａを、区間とする。そして、「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がなく連結している１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【関数の極限の定義の論理的帰結】
（区間Ａの内点での極限）関数ｆ(x) が定義される区間Ａの内点ａでの極限は、右側極限と左側極限との両側で極限値が存在して、両側の極限値が一致することが内点で極限が存在する条件である。（区間Ａの内点とは、区間Ａの端点以外の、区間内の点のことである）。
ｘが、内点ａの値よりも大きい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の右側極限値といい、次のようにあらわす。
ｘが、内点ａの値よりも小さい値をとりながら限りなくａに近づくときｆ(x) の値が限りなくＣに近づくならば、Ｃを点ａでのｆ(x) の左側極限値といい、次のようにあらわす。
〔極限が存在する条件〕区間Ａの内点ａでは、極限が存在する条件は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。そのため、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限でも値Ｃに収束する。また、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限でも同じ値Ｃに収束する。すなわち、右側極限も存在し、左側極限も存在して、両者の極限値が一致することが内点で極限が存在するために必要十分な条件である。
〔関数ｆ(x) の、点ａより小さい値と大きい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}の関数値ｆ(ｘn) も同じ極限値Ｃに収束する〕以下でこれを示す。
関数ｆ(x) の点ａの右側極限値と左側極限値が同じ値Ｃであるとする。
その場合に、関数ｆ(x) の、点ａより大きい値と小さい値のｘn が混ざった数列で点ａに収束する無限数列{ｘn}を考える。
（１）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより大きい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより大きい数ｙn でａに収束する無限数列{ｙn}を作ることができ、ｆ(ｙn) はＣに収束する。
（２）無限数列{ｘn}から、ｘn の値がａより小さい数だけを抽出して、その他の数は工夫して、ａより小さい数ｚn でａに収束する無限数列{ｚn}を作ることができ、ｆ(ｚn) はＣに収束する。
そして、ｚn ≦ｘn≦ｙn が成り立つようにこれらの数列を作ることができる。そうすると、無限数列{ｘn}の関数ｆ(ｘn)も同じ極限値Ｃに収束することが示せる。
（区間Ａの端点での極限） 関数ｆ(x) が定義される区間Ａの端点ａでの極限は、区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束するどの無限数列{ｘn}であっても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することである。そして、区間Ａの左側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより大きい数の無限数列{ｘn}による右側極限しか無いので、右側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
また、区間Ａの右側の端点ａでは、無限数列{ｘn}は、区間Ａ内の点ｘの、点ａより小さい数の無限数列{ｘn}による左側極限しか無いので、左側極限値が存在するだけで、端点ａで極限値が存在する条件になる。
リンク：
関数の極限の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
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