２つの放物線の共通接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】２つの放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）
の共通接線の方程式を求めよ。


（解答の方針）
式１の接点Ａ（ａ，ｂ）での接線の式をあらわし、
式２の接点Ｃ（ｃ，ｄ）での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。

ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。

（解答）
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）

（１）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝２ｘ　（式３）
接点Ａ（ａ，ａ^２）での式１の接線の式は
傾きｙ’＝２ａ
だから、以下の式になる。
ｙ－ａ^２＝ｙ’（ｘ－ａ） 
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式４）

（２）
式２を微分して式２のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝－２（ｘ－２）　（式５）
接点Ｃ（ｃ，－（ｃ－２）^２）での式２の接線の式は
傾きｙ’＝－２（ｃ－２）
 だから、以下の式になる。
ｙ＋（ｃ－２）^２＝ｙ’（ｘ－ｃ）
ｙ＋（ｃ－２）^２＝－２（ｃ－２）（ｘ－ｃ）
この式を、
ｃ－２＝ｅ　（式６）
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｃ）　（式７）
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式７に残っているｃもｅにおきかえる。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｅ－２）　（式８）

（３）
接線の式８と４の傾きが等しい条件式を求める。
－２ｅ＝２a
ｅ＝－ａ　（式９）
（４）
式４と式８のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
ｅ^２＋２ｅ（－ｅ－２）＝－ａ^２＋２ａ・ａ
－ｅ^２－４ｅ＝ａ^２
式９を代入してｅをａにおきかえる。
－ａ^２＋４ａ＝ａ^２
－２ａ^２＋４ａ＝０
ａ（ａ－２）＝０
ａ＝０　（式１０）
ｏｒ
ａ＝２　（式１１）

（５）式１０の場合：
ａ＝０　（式１０）
式１０を式４に代入。
ｙ＝０　（式１２）

（６）式１１の場合：
ａ＝２　（式１１）
式１１を式４に代入。
ｙ－４＝４（ｘ－２）
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）

以上の結果、式１と２の放物線の共通接線の方程式は、
ｙ＝０　（式１２）
と、
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）
である。
（解答おわり）

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３次関数の曲線の形

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【覚えておくべきこと】３次関数の曲線
ｙ＝　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ　（式１）
の形は、中心点Ａを中心にして点対象な形をしている。

その中心点Ａのｘ座標は、式１を微分した式、
ｙ＝　３ｘ^２＋２ａｘ＋ｂｘ　（式２）
の２次関数のグラフが左右対称になる対称軸の座標、
ｘ＝－ａ／３
である。

式１を微分した２次関数のグラフが、その対称軸の左右で対称であるので、
式１のあらわす３次関数のグラフは、中心点Ａの左右で傾きが等しい。
そのため、式１のあらわす３次関数のグラフが、中心点Ａを中心にして点対象な形になる。


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放物線の極線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍ直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点をＳとするとき、
傾きｍを変化させたとき、Ｓはある直線上にあることを示せ。

この問題は、以下の問題と同じ問題です。
【問題２】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点Ｓは、点Ｐから放物線に引いた２つの接線の接点を結んだ直線上にあることを示せ。

また、以下の問題とも同じです。
【問題３】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍの直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点Ｓは、ｍの値に関係なく、ある直線上にあることを示せ。

（解答の方針）
この問題は、放物線外の一点Ｐから、放物線に弦を無数に引いたとき、弦の両端における２本の接線の交点を結んでできる直線（これは極線と呼ばれている。その極線を作る元になる点Ｐは「極」と呼ばれている）を求める、有名な問題です。

この問題は、何度でも解いて練習すべき問題として推薦します。

（解答）
（１）
点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍの直線を以下の式で定義する。
ｙ－ｂ＝ｍ（ｘ－ａ）　（式２）
点Ｑ（ｃ，ｄ）とＲ（ｅ，ｆ）との座標ｃ及びｅを求める式は、式１に式２を代入してｙを消去することで求められる。
ｘ^２＝ｍ（ｘ－ａ）＋ｂ
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝０
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝（ｘ－ｃ）（ｘ－ｅ）　（式３）
（２）
点Ｑ及び点Ｒでのｘ＝ｔ（ｔ＝ｃ，ｅ）の位置でも接線の傾きは式１を微分することで求められる。
ｙ’＝２ｘ　（式４）
式４から、ｘ＝ｔの位置での接線の傾きは２ｔである。
よって、ｘ＝ｔとなる放物線上の点の接線の式は、以下の式であらわせる。
ｙ－ｔ^２＝２ｔ（ｘ－ｔ）
この式をｔについて整理する。
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝０　（式５）
この式５は、
（ｘ，ｙ）が、点Ｑの接線とＲの接線とで共通な値となるとき、
すなわち、両接線の交点Ｓ（ｘ，ｙ）の座標をあらわすとき、
ｔに、点Ｑ（ｃ，ｄ）の座標値ｃを代入して成り立つ式であり、
かつ、Ｒ（ｅ，ｆ）の座標値ｅをｔに代入して成り立つ式である。
よって、式５は、Ｓ（ｘ，ｙ）の座標に関する式で、ｔ＝ｃ、ｔ＝ｅを根に持つ二次方程式である。
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝（ｔ－ｃ）（ｔ－ｅ）　（式６）
（３）
式３と式６を比べると、
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝（ｘ－ｃ）（ｘ－ｅ）　（式３）
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝（ｔ－ｃ）（ｔ－ｅ）　（式６）
式３と式６の根と係数の関係より、
－ｍ＝－（ｃ＋ｅ）＝－２ｘ
ｍ＝２ｘ　（式７）
ｍａ－ｂ＝ｃｅ＝ｙ
ｍａ－ｂ＝ｙ　（式８）
式７と８よりｍを消去すると、
２ｘａ－ｂ＝ｙ
ｙ＝２ａｘ－ｂ　（式９）
点Ｓは、この直線９（極線）上にある。
（解答おわり）

【注意】
この問題を、点Ｓの軌跡を求める問題と考える場合は、点Ｓの軌跡は式９であらわされる直線のうち、式１の放物線で切り取られる弦の外側の部分を描くことに注意。

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４次曲線の２点への接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】４次曲線
ｙ＝　ｘ^４－ｘ^２＋ｘ　（式１）
に、直線
ｙ＝ａｘ＋ｂ　（式２）
が相異なる２点で接するときａ、ｂの値を求めよ。

（解答の方針）
問題の条件をあらわす方程式の形に従って、問題の解き方が決まってしまう。問題を解き易い形に問題の条件をあらわすには、問題の条件を可能な限り図形であらわして問題の条件をどういう図形であわらすかを工夫することが大切です。

この問題では、グラフを想像しながら方程式（のあらわすグラフ）を変形して問題を解くことが大切なポイントです。

４次曲線は、上の図のようにあらわせる。
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根であることが、式２の直線が式１のグラフに２点で接する接線になる条件である。

ここで、そのような式３を求めるということは、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。

（１）４次曲線は、座標軸ｘを平行移動することで、３次の項が無い式になる（式１は既にそうなっている）。
（２）次に、その４次曲線はｘの１次の項を無くせば、ｙ軸に関して、ｘ方向の左右で対称な形のグラフになる。そのグラフは、ｘ軸に平行な直線に２点で接する。
 　すなわち、式３のｘの項の（１－ａ）＝０にすれば、ｘ軸に平行な線に接するグラフになる。
（３）そうすれば、ｙ軸に関して、ｘ軸方向で左右対称なグラフになるので、接点のｘ座標はαと－αとになる。
つまり、式４は、
ｙ＝（（ｘ－α）（ｘ＋α））^２＋Ｃ
ｙ＝（ｘ^２－α^２）^２＋Ｃ
というグラフになる。

このＣ＝０とするように、値ｂを調整したグラフにすれば、そのグラフはｘ軸に２点で接する。
そのようにグラフを変形するように、ａとｂを定めれば良い。

【解答１】
（１）
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式２の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。

（２）
先ず、
ａ＝１　（式５）
とすると、
式４は、以下の式になる。
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２－ｂ＝０　（式６）
この式６のグラフはｘ軸に平行な線に２点で接するグラフである。
この式６を変形する。
ｙ＝（ｘ^２－（１／２））^２－（１／４）－ｂ＝０　（式７）
（３）
次に、
ｂ＝－１／４　（式８）
とすると、
式７は以下の式になる。
ｙ＝（ｘ^２－（１／２））^２＝０　（式９）
この式９はｘ軸と２点で接するグラフである。
その接点のｘ座標は、
ｘ^２－（１／２）＝０
ｘ＝±√２／２

このように、式４で、ａ＝１、ｂ＝－１／４としたら、ｘ軸にｘ＝±√２／２で接する式９のグラフになったので、求める直線のａとｂは、
ａ＝１　（式５）
ｂ＝－１／４　（式８）
である。
（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形を思い描かないで計算力だけで答えを得ようとすると落とし穴に落ちる難問です。
　なぜなら、この問題で、（重なることを許した）２点で接するという問題と考えて計算力だけで答えを計算しようとすると、答えは：
（１）下凸の異なる２点で接する。
（２）下凸の１点と上凸の１点との２点が１点に重なった点で接する。
という２種類の答えが出て来るからです。
その２種類の答えのうち、（１）の答えのみが、異なる２点で接しますので、計算力で求めた答えを選別してやっと答えにたどり着きますので、その回り道をする分だけ時間がかかってしまうという落とし穴に落ちます。
　その落とし穴に落ちないために、先ず、グラフの図形を思い描いて答えの条件を絞り込んだ上で答えを計算することが望ましいです。

【解答２】
　以下で、図形を思い描かないで計算力だけで行なった解答例を示します。

（１）
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３は、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式２の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、式９であらわされる。

この式９の形をしている式 ｆ を微分した式ｇを計算する。

この式 ｇ と式 ｆ の最大公約多項式 ｈ が式１２になる。
「グラフが直線に相異なる２点で接する」という条件を、上の式１３であらわす。
（２）
　次に、ユークリッドの互除法を利用して式 ｆ を式 ｇ で割り算した余り ｈ が式 ｆ と ｇ の最大公約多項式になる条件を導き出す。

ここで、この余りの式 ｈ ＝式１２に関する式１３の条件は、以下の式１５であらわせる。

余りの式 ｈ が式 ｆ と ｇ の最大公約多項式になる条件は、この式 ｈ で式 ｇ を割り算した余り ｋ が０になることである。

この式１６であらわされる余りの多項式 ｋ が０になる。
そのため、以下の式１７と１８が成り立つ。

（３）
この式１７と１８を連立して解を求め、その解のうち、式１５を満足する解を選別する。
式１８から式１９が得られる。

この解は式１５を満足した。
次に、ｂ＝１／１２の場合の解を調べる。

この解は式１５を満足しない。
よって、求める解は、
ａ＝１，
ｂ＝－１／４，
である。
（解答おわり）

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放物線の直交接線の交点の軌跡

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝ｘ^２　（式１）
について、互いに直交する２つの接線の交点は定直線上にあることを証明せよ。


この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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２つの放物線の接線が直交する

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】２つの放物線
ｙ＝　ｘ^２－２ｘ＋２　（式１）
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）
は、それらの交点の１つＰで、接線が互いに直交しているものとする。
このとき、放物線（式２）は、ａ、ｂの値に無関係な一定の点Ｑを通ることを証明し、Ｑの座標を求めよ。

（解答の方針）
「一定の点Ｑを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。

交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ^２－２ｃ＋２＝－ｃ^２＋ａｃ＋ｂ　（式３）

式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２　（式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ　（式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１　（式６）

点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）
である。

結局、以下の式の群が得られた。
ｃ^２－２ｃ＋２＝－ｃ^２＋ａｃ＋ｂ　（式３）
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１　（式６）
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）

これら３つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙである。
式が３つあるので、未知数を２つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群（ａ，ｂ，ｃ）のうちで残った１つの未知数と（ｘ，ｙ）とを含む１つの式が得られる。

そのため、この問題は、その１つの式から（ｘ，ｙ）を求める問題であることがわかる。
すなわち、この問題は、
「１つの未知数に関する１つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Ｑ（ｘ，ｙ）の値を求める」
という問題である。

問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値が変化しても一定の値の（ｘ，ｙ）によって式が満足される、そういう値（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。

更に問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。

ここまで言いかえると、この問題は、
「（１つの）未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する（ｘ，ｙ）を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。

このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。

（解答）
（１）
交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ^２－２ｃ＋２＝－ｃ^２＋ａｃ＋ｂ　（式３）
２ｃ^２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０　（式７）

（２）
式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２　（式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ　（式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１　（式６）
 －４ｃ^２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＝－１
－４ｃ^２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＋１＝０
４ｃ^２－２ｃａ－４ｃ＋２ａ－１＝０
４ｃ^２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０　（式８）

（３）
点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）
である。

（４）
これらの式を整理して並べると、
２ｃ^２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０　（式７）
４ｃ^２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０　（式８）
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）

この３つの式から未知数ａ，ｂ，ｃのうちの２つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように（ｘ，ｙ）の値を定める。

ここで、式７と式８から、複雑な式を成す未知数ｃが消去できることがわかる。
（式７）×２－（式８）を計算する。
４－２ｂ－（２ａー１）＝０
４－２ｂ－２ａ＋１＝０　（式９）

（５）
式２から、
ｂ＝ｙ＋ｘ^２－ａｘ　（式２’）
この（式２’）を式９に代入してｂを消去する。
４－２（ｙ＋ｘ^２－ａｘ）－２ａ＋１＝０
この式を未知数ａに関して整理する。
ａ（２ｘ－２）＋４－２ｙ－２ｘ^２＋１＝０

この式が未知数ａに関して恒等式になる条件は、
２ｘ－２＝０　（式１０）
４－２ｙ－２ｘ^２＋１＝０　（式１１）

（５－１）
式１０から、
２ｘ＝２
ｘ＝１　（式１２）
（５－２）
式１２を式１１に代入する。
４－２ｙ－２＋１＝０
３＝２ｙ
ｙ＝３／２

よって、
Ｑ（ｘ，ｙ）＝（１，３／２）
（解答おわり）

【注意】この問題を解くのに、最初に未知数ｃを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数ｃを残しても、同様に、解くことができる。

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円の接線の公式を微分で導く

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▷円の接線の公式をベクトルの内積で求める

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（ある直線と曲線の交点を求める式が重根を持つときその直線が必ず接線であるとは言えない。下図の曲線にＯ点で交わる直線と曲線の交点を求める式は重根を持つ。しかし、ＡＢを通る直線のような方向を向いた直線でもＯ点で重根を持って曲線と交わる。）

【研究問題】円の接線の公式は既に学習していると思いますが、
接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、
改めて、円の接線の公式を微分により導いてみます。

円　ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
この円の式全体を微分します。

《注意：恒等式の両辺を微分する演算》
方程式の左右の辺をｘで微分した式が間違った式にならないためには、以下の条件が必要である。
▷（演算結果の有効性の条件１：微分可能であること）
　その計算をする場合は、その得られた式は、全ての項が微分可能な場合のみに、得られた式が有効になる。
上記の（式１）の両辺を微分する場合は、
変数ｙも微分可能である場合に限って、微分で得られた式が有効である。
（式１）の円の方程式で、ｘ＝１の点では、円への接線の傾きが無限大になって、変数ｙはｘで微分できない、その点では、得られた式は無効である。

▷（演算結果の有効性の条件２：元の式が、恒等式であるか、ｘの恒等式と言えるために、元の式の従属変数ｙを定めるｘの関数ｆ(x) を表現する式であること。

（ｘの恒等式ではない等式の例）
例えば、
x=5,
という等式の両辺をｘで微分した式：
1=0,
は間違った式である。
この等式、x=5, は、変数ｘに関する恒等式ではない。
この等式の両辺をｘで微分した式は無効である。

（ｘの恒等式だと言える等式の例）
y=2,
という等式の場合は、従属変数ｙが独立変数ｘの関数の、
f(x)=2, をあらわす式、すなわち、ｙ≡ｆ(x) と定義されていることを前提にした式である。
y≡f(x) なのだから、
y'≡ｆ'(x) であり、
y'=0, または、
f '(x)=0,
という意味のある式になる。

式の両辺を微分する計算には要注意。
（両辺の微分演算の前提条件おわり）

　式１の左右の辺をｘで微分して正しい式が得られるのは、以下の理由によります。
方程式１の解で、
y=f(x)
という、（陰関数）f(x)が存在する場合は、
式１の両辺をｘで微分した式が正しい式になります。
　その理由は、
式１の方程式から、
y=f(x)
という陰関数の解が得られます。
式１のyを、式１から得られる解の１つのy=f(x)という解があらわすｘの関数（陰関数）f(x)であるとみなします。yをそういう関数f(x)であるとみなせば、式１は、以下の計算で示すように、yにf(x)を代入した式１に等価な式の左辺が恒等的に1になります。
ｘ^２＋(f(x))^２＝１，

すなわち、式１は、ｙがそういう関数f(x)であるならば、1=1という恒等式を表しています。恒等式ならば、その恒等式をｘで微分した結果も0=0になり、その式は正しい式になるからです。
《注意おわり》

式１の微分の際に、
微分の基本公式
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
を使います。

ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’＋ｙ’・ｙ＋ｙ・ｙ’＝１’ 
ｘ’＝１であって、また、１’＝０であるから、
上の式は以下の式２になる。
２ｘ＋２ｙ・ｙ’＝０　（式２）
接点（ｘ，ｙ）での接線の傾きｙ’は、
（ｙが０（ｘが１か－１の場合）で無い場合は）
式２を変形した以下の式３であらわせます。

接点を（ｘ_１，ｙ_１）とすると、式３は以下の式になります。

接線の式は、

点（ｘ_１，ｙ_１）は式１を満足するので、
ｘ_１^２＋ｙ_１^２＝１
∴　ｙ_１ｙ＋ｘ_１ｘ＝１
この、円の接線の公式は既に学んでいる接線の式です。
（ｙ＝０の場合は）
ｙ’＝∞になって、ｙ’が存在しません。
しかし、ｙ’が存在しなくても、
ｄｘ／ｄｙ＝０になって、ｄｘ／ｄｙが存在します。
この場合の接線も上の式であらわされて、
ｘ＝±１
であらわされる接線があらわせます。
こうして、円の接線の公式が得られました。

  【研究問題その２】
楕円の式は高校３年の数学ⅢＣで学びますが、高校２年でも、その式だけは覚えていても良いと思います。
楕円　ｘ^２／ａ^２＋ｙ^２／ｂ^２＝１　（式１）
です。

この楕円の接線の公式は、微分により導けます。

この楕円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式　（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
を使います。

ｘ’＝１であって、また、１’＝０だから、

接点（ｘ，ｙ）での接線の傾きｙ’は、
（ｙが０で無い場合は）
式２を変形した以下の式であらわせます。

接点を（ｘ_１，ｙ_１）とすると、式３は以下の式になります。

接線の式は、

点（ｘ_１，ｙ_１）は式１を満足するので、 

（ｙ＝０の場合は）
ｙ’＝∞になって、ｙ’が存在しません。
しかし、ｙ’が存在しなくても、
ｄｘ／ｄｙ＝０になって、ｄｘ／ｄｙが存在します。
（その場合は、最初の計算を変えて、ｙで式全体を微分する計算を行うことで、改めて上の式を導きます。）
この場合（ｙ＝０の場合）の接線も上の式であらわされて、
ｘ＝±ａ
であらわされる接線があらわせます。

こうして、楕円の接線の公式が得られました。

　なお、下図のように、接線を持つグラフの集合方が、微分可能な点を持つグラフの集合よりも広いので、上の計算の様に、ｙ≠０の場合と、ｙ＝０の場合に分けて計算する必要がありました。 
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》

【研究問題その３】
なお、グラフの式の左右の式を同時に微分する場合は、
以下の注意をする必要があります。

yがxで微分可能な場合のみに成り立つ式を、合成関数の微分の公式を使って求めています。
y=f(x)
がxで微分可能で無い場合は、得られた式は使えないと、後で考えます。

また、
y=f(x)
という関数f(x)が存在しない場合は、
式の両辺を微分しても正しい式が得られるための前提条件である、y=f(x)を式に代入して方程式を恒等式にできる、という前提条件が成り立っていない。
そのため、その式の両辺を微分して得た式は間違っていると考えます。

【事例１】
x=0,
という方程式のグラフの場合には、
y=f(x),
という（陰）関数f(x)が存在しません。
その場合は、
微分すべき対象になる関数が存在しないので、
方程式：
x=0,
の両辺をｘで微分した式：
1=0,
は、
無効な式になります
　事例２を参考にして考えると、
ｘｙ座標でのグラフを表す式の両辺をｘで微分できる条件は：
「（ｄｙ／ｄｘ）が存在する点に限る」
という条件があります。
ｘ＝０というグラフでは、そのグラフのどの点（ｘ，ｙ）においても、
ｄｙ/ｄｘが存在しません。
そのため、ｘ＝０の両辺をｘで微分することはできない。

【事例２】 
以下のグラフ
y=f(x)
は、x=0の位置では変数ｘで微分不可能です。

このグラフは、
y≦0 :  x = −y^2,
y≧0 :  x = y^2,
という式であらわせます。
この式の左辺と右辺をxで微分した式は、
x=0
の位置で、
1=0・y' ,   ただし、y'=∞ ,
という式になり、
右辺が不定値を表す式になり、左辺の値１と同じでは無い、
無効な式になります。

【事例３】
y=0,
という方程式で表されるグラフの場合には、
y=f(x),
という関数f(x)が存在します。
その場合は、
方程式：
y=0,
の両辺をｘで微分した式：
y'=0,
は、
有効な式になります。

《円の接線の公式をベクトルの内積で求める》
　円の接線の公式は、以下のようにして、ベクトルの内積を使って求めることができます。

このようにベクトルによって円の接線の公式を導き出す方が明確だと思います。

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微分の基本公式

「微分・積分」の勉強

関数ｆ（ｘ）であらわされるグラフの傾きは、以下のようにあらわされます。

この傾きは以下に説明する微分によって求めます。

---（定義2.1　「微分積分学入門」（横田 壽）６７ページ---
 （注：横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載していたWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。）

関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき，極限値

が存在するならば，
関数f(x) は， x = x0 で微分可能(differentiable) であるといいます．
また，この極限値A を点x0 における微分係数といい，

で表わします．
-----（定義おわり）--------------------------- 

関数f(x) が，ある区間 Ｉ の各点で微分可能のとき
f(x) は区間 Ｉ で微分可能(differentiable on I) であるといいます．
この場合，区間 Ｉ の各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を
f(x) の導関数(derivative) といい，

であらわします。
微分（導関数）を（ｄｆ／ｄｘ）で表すことをライプニッツの記法と呼んでいます。
また、ｆの微分（導関数）を、ｆ’とも書くことができます。その記法はラグランジュの記法と呼ばれています。

  この微分の定義に従って、関数の微分を考えると、
以下の公式が導かれます。

（基本公式）
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
（証明開始）

（証明おわり）

　この「関数の積の微分の公式」は、ライプニッツ則と呼ばれる微分法の重要な公式です。
ライプニッツが、1684年に「極大と極小にかんする新しい方法」を出版して、その中で微分法を発表し、
ついで1686年に「深遠な幾何学」を出版して積分法を発表しましたが、
その研究の中心核を成す重要な公式です。

（基本公式の適用例）
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
   この基本公式から、以下のことが言えます。

ｘ’＝１ですが、
（ｘ^２）’＝（ｘ・ｘ）’＝ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’＝２ｘ
（ｘ^３）’＝（ｘ・ｘ・ｘ）’＝ｘ’・（ｘ・ｘ）＋ｘ・ｘ’・ｘ＋（ｘ・ｘ）・ｘ’＝３ｘ^２
同様にして
（ｘ^４）’＝４ｘ^３
（ｘ^５）’＝５ｘ^４

　ライプニッツが、この「関数の積の微分の公式」を発見して、その応用の広さを知って感動し、『これは数学の１分野となり得る』と思って「微分学」を発表する理由の１つになったのではないかと推察します。

何と！この感動的な基本公式は、高校２年では教わらないことになっているそうです。
（この教育方針は１９８９年ころから続いているようです）
　この基本公式は、微分の定義を学んだなら、その定義の意味を知るためにも、直ぐ学ぶべき公式と考えます。
　この公式を教えないと言うのは、高校生には微分を教えないということに等しいと考えます。

　微分の本質が教えられていないと、その微分の応用を教えることができません。逆に、微分の応用が教えられない場合は、「微分の本質が教えられていないからである」と、微分の本質が教育できたか否かをチェックできます。
　この基本公式を教えられないというチェック結果から、高校生には微分の本質が教えられていないことが確認できます。

　そういうふうに教育されると、微分は全く理解できないことになると考えます。実際、その通りに、微分は高校生に全く理解されない結果が出ているようです。 

　実際、変数ｘで表される２つの関数があって、
変数ｘのある値ｘにおける、２つの関数のｘによる微分係数が、以下の式であらわされて等しい場合に：

この関数を他の変数ｔで微分した場合に、

が成り立つと普通は考えますが、それが成り立たない場合もあります。
それが成り立つ場合と成り立たない場合を区別する条件は、「合成関数の微分の公式」を学ぶことで理解されますが、それが教えられていません。
高校生に微分が理解されないのも無理ないと考えます。

　このブログを読んでいる、数学を学ぶ後輩に、先輩から一言助言します。
　高校の微分積分の参考書は良くわからない。それに比べて、大学生向けの微分積分の参考書は分かりやすい。大学生向けの参考書は数学の本流にそって、ていねいに、公式は必ず証明した上で学生に使わせるようにしている。新しい知識は、必ず定義したり説明してから紹介している。
　ハッキリ言って、大学生向けの微分積分の参考書は、高校の微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれている。
　しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、やさしく分かり易い。
　高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。

　以前は、大学生向けの参考書で無料でダウンロードできた、
「微分積分学入門」（横田 壽）
 （注：横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載していたWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。）
をお勧めします。 
（しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分（2012年）」の１版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門（2004年）」を読んでください。）

　その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
この本の３６ページから始めて、４５ページまで読めば、微分の概念から始めて合成関数の微分の公式まで学ぶことができます。

「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の読み方は、 ３６ページから始まる２章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、２章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、３６ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。

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