2011年3月27日日曜日

第2講2節 2直線の関係(三角形の外接円の中心の座標)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】三角形ABCの外心(外接円の中心)の座標Dをもとめよ。ただし、頂点A,B,Cの座標は、点A(4,7)、点B(2,1)、点C(8,3)とする。

外接円の中心Dは、線分ABの垂直二等分線mと線分BCの垂直二等分線nとの交点を計算することで求める。


(予備知識)
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
(難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)


(まず、問題を単純化する)
上の図形の座標軸(x,y)を、平行移動して、点Bを座標原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
X=x-2 (式1)
Y=y-1 (式2)


この座標系X,Yでは、上図のように、点Bが座標の原点にあります。

線分ABの垂直二等分線mは線分ABの中点Mを通る直線であり、
線分BCの垂直二等分線nは線分BCの中点Nを通る直線である。

線分ABの垂直二等分線mの式は、ベクトルMDとそれに垂直なベクトルMの内積が0であることをあらわす式である。

上の図のように、直線ABの垂直二等分線の式は、式3であらわされる。
(X-1)+3(Y-3)=0 (式3)

同様にして、直線BCの垂直二等分線nの式は、式4であらわされる。
3(X-3)+(Y-1)=0 (式4)
式3と式4を連立して解けば、垂直二等分線mとnの交点の座標Dが求められる。
式3を展開して式5を得る。
X+3Y=10 (式5)
式4を展開して式6を得る。
3X+Y=10 (式6)


Yを消去するために、(式5)-(式6)・3を計算する。
X+3Y=10 (式5)
-9X-3Y=-30 (式6’)
-8X=-20
X=5/2 (式7)


式7を式6に代入する。
3・(5/2)+Y=10
Y=5/2 (式8)
式7と式8でD点の座標(5/2,5/2)が得られた。


こうして得た解答を元の複雑な問題の解答に翻訳する。
(計算方針)式7と式8それぞれに、式1と式2を代入して座標X,Yを元の座標x,yに戻す。
式7に式1を代入する。
x-2=5/2
x=9/2 (式9)


式8に式2を代入する。
y-1=5/2
y=7/2 (式10)
これで、点Dの座標系x,yでの座標値(9/2,7/2)が得られた。
(解答おわり)


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