勉強しよう数学: ２次元ベクトルの分解の公式

【課題】
　以下の２次元ベクトルｚと、
単位ベクトルａとｂと、それらのベクトルを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖをがあるとき：

ベクトルｚをベクトルａとｂであらわす公式を導き出す。
（課題おわり）

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転したベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ
一方で、ベクトルａとベクトルｂと、それらを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖとの間の
以下の式の内積は、
全ベクトルを左回りに９０°回転する操作を繰り返すと、
以下の関係が成り立つ事が分かる。
ａ・ｂ
＝ａ_ｖ・ｂ_ｖ
＝(－ａ)・(－ｂ)＝ａ・ｂ

【解法その１】
　ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖを加えて考えると、以下の図の関係がある。

ベクトルＯＺは、上図の式、又は、以下の式で、ベクトルａとｂであらわせる。

この式がベクトルの分解の公式である。
（解答おわり）

ただし、この式の分母には、以下の関係があることに注意。

（補足１）
　この公式は、単位ベクトルａとｂとａ_ｖとｂ_ｖそれぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。

（補足２）
　この公式が正しいか否かを調べるため、ベクトルｚをこの公式で分解した式について、以下のように、ベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖとの内積を取ることで、ベクトルａとベクトルｂの方向の成分を計算する。

その結果、それらの方向の成分は、それらの方向のベクトルｚの成分に等しいので、この公式が正しいことがわかる。

【解法その２】
　以下の、ベクトルの係数ｋ_１とｋ_２が未知数であるベクトル方程式１を考える。

この式１に、係数ｋ_２を消去するベクトルｂ_ｖを掛け算する。

同様に式１に、係数ｋ_１を消去するベクトルａ_ｖを掛け算する。

以上の計算で式３と式５が得られた意味は、ベクトル方程式１をあらわした以下の連立方程式１ａと１ｂの解が式３と式５で与えられるという、連立方程式の解の公式があることを意味する。

式３と式５で得られたベクトルの係数ｋ_１とｋ_２を式１に代入する。

これにより、ベクトルの分解の公式がえられた。
（解答おわり）

【図形で説明】
ベクトルＺの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。

この図での三角形OZBの面積の三角形OAB面積の比の大きさのベクトルOA成分を計算している。上記のベクトルＺの分解の式が三角形の面積の比の式になる理由を以下の図を用いて説明する。

上図のように、ベクトルｃを９０°回転したベクトルとベクトルｂの内積はベクトルｂとベクトルｃで囲まれる三角形の面積Ｓの２倍という普遍的な定数を表す式です。

　先のベクトルＺの分解の式において、ベクトルOBを水平線として考える。それらの三角形の面積の比は、その水平線上の点Zの高さと点Aの高さの比である。

（補足２（その２））
　先に補足２でこの式６を証明しましたが、その証明の記載方法は、以下の様に書いた方が、より分かり易いのではないかと考えます。
（証明開始）
この式６の左辺と右辺のベクトルの成分を比較する。

式６の右辺と左辺のベクトルの成分が一致する。
そのため、式６の右辺と左辺は等しい。
（証明おわり）

（補足３）３つの２次元ベクトルの恒等式の公式

　この式７は、任意の３つの２次元のベクトルｚ，ａ，ｂに対して恒等的に成り立つ公式である。

（補足４：ベクトルの分解の公式の言い換え）
　ベクトルｕとｗを以下の式で定義する。

このベクトルｕとｗを使って公式２が以下の形の式であらわせる。

ベクトルの分解の公式はこの形の式に言い換えた方が覚えやすいかもしれない。

【究極の方法】

　経験的に分かって来たことですが、問題を解くためにとても役にたつ公式は、このベクトルの分解の公式等を使うよりも、以下の図の方法の方が優れている。

上図のように、ベクトルａとａvによる直交座標系を導入して、上の式の様に、ベクトルＺをその直交座標系への成分に分解して問題を解く方が、問題を解くのに役に立つ。

《究極の方法の応用》
以下の図のように、ベクトルａとｂを単位ベクトル化した２つのベクトルａ_eとｂ_eの和のベクトルと差のベクトルが互いに直交することを利用してベクトルｚを分解できる。