2017年9月9日土曜日

ひし形の対角線の直交の公式

「ベクトルの内積の式の変形が思うようにできない」という人は、以下のベクトルの内積の公式
(この公式は、後で説明する「ひし形の対角線の直交の公式」の名前で覚えた方が覚えやすいように思います)
をおぼえて、
式の変形計算を自由にできるようになりましょう。
 

【ひし形の対角線の直交の公式】
 この公式は、下図のひし形OAKBの2つの対角線OKとABが互いに直交することを示す、ひし形の対角線の直交の公式です。
ひし形の対角線が直交するので、
以下の図の線分OKの傾きが、線分ABに平行な線分OHの傾きの逆数×(-1)になります。
【公式の証明】
ベクトルOAの成分を実数aとaとし、ベクトルOBの成分を実数bとbとする。
(OA)-(OB)
ー1/(OHの傾き)=(OKの傾き)
∴ OKとOHは直交する。
∴ OKとABは直交する。
「この式6の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
(ひし型の対角線の直交の公式おわり)

【ひし形の対角線の直交の公式の応用】
ひし形の対角線の直交の公式は、以下のように、ベクトルの内積の式を変換する計算に使います。
上図のベクトルに関してひし形の対角線の直交の公式は、以下の式a1又はa2であらわせます。
式a3のように、ベクトルの内積の式が、式a2を使って変換できます。
また、この式a3を使うと、以下の式a4であらわす、
任意の定数sで成り立つベクトルの内積の変換公式が作れます。

(注意)ひし形の対角線の直交の公式は、ベクトルの絶対値が等しい場合に限り成り立ちます。この条件が成り立つ場合はあまり多くは無いので、ベクトルの内積の式を自由自在に変形するためには、この公式だけでは不十分で、その他の公式も必要です。

【ひし形の対角線の直交の公式の応用(その2)】
 以下のように、この公式を使って、以下の式2の公式が導けます。
 ここで、ベクトルBAとベクトルCAの内積を変形します。
・・(式2)
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さmをベクトルの内積で計算する定理(式2)が得られました。

(補足)

 ここで、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、円周角の定理が次の式1であらわされる。
cosA=m/R (1)
(この式1は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。ベクトル計算の枠外で、円周角の定理から導いたこの式1を使うことで以下のベクトル計算が楽に進みました。)
また、ベクトルの内積から以下の式が得られる。
この2つの式を、先に得た、外接円の中心の高さmをベクトルの内積で計算する定理の式2に代入する。
これで得た式3は、正弦定理を使うことで速やかに導かれる式である。
この式3も、式1と同様に、ベクトルを変換する公式として利用することで、ベクトルの式の変形の自由度が増すと考える。

リンク: 
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿