ひし形の対角線の直交の公式

ページ内リンク
▷ひし形の対角線の直交の第１の公式
▷ひし形の対角線のベクトル変換の公式

「ベクトルの内積の式の変形が思うようにできない」という人は、以下のベクトルの内積の公式
（この公式は、後で説明する「ひし形の対角線の直交の公式」の名前で覚えた方が覚えやすいように思います）
をおぼえて、
式の変形計算を自由にできるようになりましょう。
 

【ひし形の対角線の直交の第１の公式】
　この公式は、下図のひし形ＯＡＫＢの２つの対角線ＯＫとＡＢが互いに直交することを示す、ひし形の対角線の直交の公式です。
ひし形の対角線が直交するので、
以下の図の線分ＯＫの傾きが、線分ＡＢに平行な線分ＯＨの傾きの逆数×（－１）になります。


【公式の証明】
ベクトルＯＡの成分を実数ａ_１とａ_２とし、ベクトルＯＢの成分を実数ｂ_１とｂ_２とする。
（ＯＡ）^２－（ＯＢ）^２：

ー１／（ＯＨの傾き）＝（ＯＫの傾き）
∴　ＯＫとＯＨは直交する。
∴　ＯＫとＡＢは直交する。
「この式６の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
（ひし型の対角線の直交の公式おわり）

【ひし形の対角線の直交の公式の応用】
ひし形の対角線の直交の公式は、以下のように、ベクトルの内積の式を変換する計算に使います。

上図のベクトルに関してひし形の対角線の直交の公式は、以下の式ａ１又はａ２であらわせます。

式ａ３のように、ベクトルの内積の式が、式ａ２を使って変換できます。
また、この式ａ３を使うと、以下の式ａ４であらわす、
任意の定数ｓで成り立つベクトルの内積の変換公式が作れます。

（注意）ひし形の対角線の直交の公式は、ベクトルの絶対値が等しい場合に限り成り立ちます。この条件が成り立つ場合はあまり多くは無いので、ベクトルの内積の式を自由自在に変形するためには、この公式だけでは不十分で、その他の公式も必要です。

《ひし形の対角線のベクトル変換の公式》
　また、それらのベクトルが直交するため、以下の式が成り立つ。

この式は、ベクトルの絶対値|A|=|B|の場合に成り立つ、ベクトル変換の公式です。


【ひし形の対角線の直交の公式の応用（その２）】
ひし形の対角線の直交の公式は、
下図の様に、外接円の直径を斜辺に持つ三角形が直角三角形になる事とも結びついている。

また、この図に、ベクトルの内積の変換公式を使うと、以下の公式も導くことができます。

【ひし形の対角線の直交の公式の応用（その３）】
　以下のように、この公式を使って、以下の式２の公式が導けます。

 ここで、ベクトルＢＡとベクトルＣＡの内積を変形します。
・・（式２）
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理（式２）が得られました。

（補足）

　ここで、三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ　（１）
（この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。ベクトル計算の枠外で、円周角の定理から導いたこの式１を使うことで以下のベクトル計算が楽に進みました。）
また、ベクトルの内積から以下の式が得られる。

この２つの式を、先に得た、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理の式２に代入する。

これで得た式３は、正弦定理を使うことで速やかに導かれる式である。
この式３も、式１と同様に、ベクトルを変換する公式として利用することで、ベクトルの式の変形の自由度が増すと考える。

リンク：
円の極の座標の解の変換
高校数学の目次