【課題】
以下の図の３次元ベクトルｚを、３次元ベクトルａとｂとｃの方向のベクトルの和であらわす公式を導き出す。
（課題おわり）
《究極の方法：先ず第１には》
空間ベクトルｚは以下の様に３次元の直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvを定義して計算して、それらの直交ベクトル系の成分を計算する事で容易に成分の分解を行うことができます。
このベクトルａ，ｈ，ａvは、互いに直交する単位ベクトルであり、任意のベクトルｚが以下の式で表せる。
３次元ベクトルｚは、この様に定義した直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvの成分を計算する事で容易に成分の分解を行うことができます。
３次元の斜交座標系の各座標軸の方向を向く、線型独立（一次独立）した３つのベクトルａとｂとｃがある場合に、空間ベクトルｚをベクトルａとｂとｃであらわす公式も、ベクトルｚを直交座標系の成分へ分解して求めるのが基本です。それによって、空間ベクトルｚを３つのベクトルａとｂとｃの和であらわす公式を導き出せます。
（究極の方法おわり）
しかし、以下では、最初は、究極の方法以外の方法を使って、空間ベクトルｚのベクトルａ，ｂ，ｃへの分解の公式を導き出します。
【２次元ベクトルの分解の公式の復習】
２次元ベクトルの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。
この図から類推すると、
３次元ベクトルの分解の公式は、以下の図の平行６面体の体積比を使ってあらわせる。
（3次元ベクトルの分解の公式）
この公式については各自で、もっと詳しい証明をしておいてください。
以下の図の３次元ベクトルｚを、３次元ベクトルａとｂとｃの方向のベクトルの和であらわす公式を導き出す。
《究極の方法：先ず第１には》
空間ベクトルｚは以下の様に３次元の直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvを定義して計算して、それらの直交ベクトル系の成分を計算する事で容易に成分の分解を行うことができます。
このベクトルａ，ｈ，ａvは、互いに直交する単位ベクトルであり、任意のベクトルｚが以下の式で表せる。
３次元ベクトルｚは、この様に定義した直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvの成分を計算する事で容易に成分の分解を行うことができます。
３次元の斜交座標系の各座標軸の方向を向く、線型独立（一次独立）した３つのベクトルａとｂとｃがある場合に、空間ベクトルｚをベクトルａとｂとｃであらわす公式も、ベクトルｚを直交座標系の成分へ分解して求めるのが基本です。それによって、空間ベクトルｚを３つのベクトルａとｂとｃの和であらわす公式を導き出せます。
（究極の方法おわり）
しかし、以下では、最初は、究極の方法以外の方法を使って、空間ベクトルｚのベクトルａ，ｂ，ｃへの分解の公式を導き出します。
【２次元ベクトルの分解の公式の復習】
２次元ベクトルの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。
この図から類推すると、
３次元ベクトルの分解の公式は、以下の図の平行６面体の体積比を使ってあらわせる。
この公式については各自で、もっと詳しい証明をしておいてください。
（ここをクリックした先に詳しい証明があります）
【第２の分解の公式】
また、以下の公式も成り立ちます。
（３次元ベクトルの第２の分解の公式）
この公式についても、各自で、証明をしておいてください。
【外積したベクトルを個々のベクトルで表すには】
外積したベクトルを個々のベクトルで表す課題を、ベクトル計算で行なおうとすると大変多くの計算量が必要になり、ベクトルの公式の無力さを実感します。そのため、「外積したベクトルを個々のベクトルで表す公式」の方が他のベクトルの公式よりも基本的な公式ではないかと考えます。
この様に基本的な公式を求めるには、ベクトルの公式を組み合わせた計算でその公式を導こうとするよりも、ベクトルを要素に分解して計算する方が良いと考えます。
この公式を求める準備として、先ず、以下の、２つのベクトルの外積同士を内積した値を計算する公式を求めます。
【第２の分解の公式】
また、以下の公式も成り立ちます。
この公式についても、各自で、証明をしておいてください。
【外積したベクトルを個々のベクトルで表すには】
外積したベクトルを個々のベクトルで表す課題を、ベクトル計算で行なおうとすると大変多くの計算量が必要になり、ベクトルの公式の無力さを実感します。そのため、「外積したベクトルを個々のベクトルで表す公式」の方が他のベクトルの公式よりも基本的な公式ではないかと考えます。
この様に基本的な公式を求めるには、ベクトルの公式を組み合わせた計算でその公式を導こうとするよりも、ベクトルを要素に分解して計算する方が良いと考えます。
この公式を求める準備として、先ず、以下の、２つのベクトルの外積同士を内積した値を計算する公式を求めます。
【２つのベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その１）】
（この式１の公式は大学生になると学べます。大学生になると学ぶ三重積の公式を使う方が、もっと楽に証明できます）
《式１の検算》
この式１の公式は、以下の計算のように、２つのベクトルａ，ｂの外積の大きさが、その２つのベクトルａ，ｂの大きさの積と、ベクトルａとｂの成す角θのsin(θ)との積であるという公式を満足する。
この計算によって、式１が検算できる。
《式１の公式の証明（その２）》
式１は、以下の様にして段階的に証明することができます。
先ず、以下の図の様に、XYZの３次元座標系の各座標軸方向の単位ベクトルX,Y,Zを考える。
この座標系で、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
（式１の公式の証明（その２）おわり）
《ベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その３）》
この公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に究極の方法の考え方で計算して証明できます。
下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。
そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。
次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。
式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その３）おわり）
この「ベクトルの外積同士の内積の公式」を、３次元ベクトルの分解の公式に利用することで、
《式１の公式の証明（その２）》
式１は、以下の様にして段階的に証明することができます。
先ず、以下の図の様に、XYZの３次元座標系の各座標軸方向の単位ベクトルX,Y,Zを考える。
この座標系で、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
この式が成り立つので、この式の対称性を守ってＸＹＺを交換した以下の式も成り立つ。
これらの式が成り立つので、以下の式が成り立つ。
（式１の公式の証明（その２）おわり）
《ベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その３）》
この公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に究極の方法の考え方で計算して証明できます。
下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。
そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。
次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。
式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。
（公式の証明（その３）おわり）
この「ベクトルの外積同士の内積の公式」を、３次元ベクトルの分解の公式に利用することで、
ベクトルの外積を個々のベクトルで表す公式が以下の様にして導けます。
【ベクトルの外積を個々のベクトルで表す公式】
（公式おわり）
この計算で得た式２は、ベクトルａとの内積が０になり、ベクトルｂとの内積も０になるので、少なくともベクトルａとベクトルｂの外積に平行である事が確認できる。
（補足）
この外積したベクトルを個々のベクトルで表す式２が複雑な式である事を見ると、外積したベクトルは、外積の形のままであらわした式の方が基本的な式になるように思います。
２次元ベクトルでは、２次元ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａｖとｂｖをベクトルａとｂで表すよりも、ベクトルａｖとｂｖのみで単純に表す方が優れた表現でした。
それと同様に、３次元ベクトルａ，ｂ，ｃでも、３次元ベクトルの外積をベクトルａとｂとｃで表すよりも、外積の形のままの式を使って計算する方が良いように思います。
その外積の形の式同士の内積は、「２つのベクトルの外積同士の内積の公式」を使って、ベクトルａ，ｂ，ｃの単純な内積であらわせますので、問題無いと思います。
なお、以下の３つの３次元ベクトルは、互いに直交するので、究極の方法によるベクトルの分解用に便利に利用できる。
【３次元ベクトルの恒等式の公式】
３次元ベクトルの分解の公式：
が成り立つことから、
以下の式が恒等式である事がわかる。
式の項の符号が、＋と－が交替して繰り返す。
（３次元ベクトルの恒等式の公式おわり）
空間ベクトルの外積の公式は、ここをクリックした先のサイトのページが参考になります。
この「３次元ベクトルの恒等式の公式」の様な複雑な公式の見通しを良くするためには、もう高校までの知識＋個人の数学の力だけでは足りず、行列の知識など、大学で学ぶ数学の深い知恵が必要になります。
行列を理解し易くするには、アインシュタインの縮約記法も学ぶ事が望ましいです。研究の先人から、その様に便利な手法を学ぶ事で数学の理解が深まります。
《付録》ベクトルの公式一覧
リンク：
点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求める
２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２元連立方程式の解
高校数学の目次
【ベクトルの外積を個々のベクトルで表す公式】
この計算で得た式２は、ベクトルａとの内積が０になり、ベクトルｂとの内積も０になるので、少なくともベクトルａとベクトルｂの外積に平行である事が確認できる。
（補足）
この外積したベクトルを個々のベクトルで表す式２が複雑な式である事を見ると、外積したベクトルは、外積の形のままであらわした式の方が基本的な式になるように思います。
２次元ベクトルでは、２次元ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａｖとｂｖをベクトルａとｂで表すよりも、ベクトルａｖとｂｖのみで単純に表す方が優れた表現でした。
それと同様に、３次元ベクトルａ，ｂ，ｃでも、３次元ベクトルの外積をベクトルａとｂとｃで表すよりも、外積の形のままの式を使って計算する方が良いように思います。
その外積の形の式同士の内積は、「２つのベクトルの外積同士の内積の公式」を使って、ベクトルａ，ｂ，ｃの単純な内積であらわせますので、問題無いと思います。
実際、２つのベクトルの外積同士の内積の公式（式１）の第３の証明においても、２つのベクトルの外積を、そのままの形で１つのベクトルｈと考えて計算を進めて証明できました。
なお、以下の３つの３次元ベクトルは、互いに直交するので、究極の方法によるベクトルの分解用に便利に利用できる。
【３次元ベクトルの恒等式の公式】
３次元ベクトルの分解の公式：
以下の式が恒等式である事がわかる。
（３次元ベクトルの恒等式の公式おわり）
空間ベクトルの外積の公式は、ここをクリックした先のサイトのページが参考になります。
この「３次元ベクトルの恒等式の公式」の様な複雑な公式の見通しを良くするためには、もう高校までの知識＋個人の数学の力だけでは足りず、行列の知識など、大学で学ぶ数学の深い知恵が必要になります。
行列を理解し易くするには、アインシュタインの縮約記法も学ぶ事が望ましいです。研究の先人から、その様に便利な手法を学ぶ事で数学の理解が深まります。
《付録》ベクトルの公式一覧
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点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求める
２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２元連立方程式の解
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