勉強しよう数学: 点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求める

【基本的知識】
　下図のように原点をＯとしたとき、点ＣからＸＹ平面に下した垂線の足Ｈの座標は以下の図の式であらわせる。また、ベクトルＯＣとＸＹ平面との成す角θは以下の図の式であらわせる。

【問１】
下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の３頂点が、ＡとＢとCである三角錘ＯＡＢCの頂点Cから底面ＯＡBに下した垂線の足ＨのベクトルOHをベクトルOAとOBであらわせ。（ベクトルOHはベクトルOCの平面OABへの正射影ベクトルである）

【解答１】
垂線の足Ｈの位置ベクトルＯＨを、ベクトルＯＡの未知数ｓ倍とベクトルOBの未知数ｔ倍の和であるとして、
ベクトル方程式を作る。
そのベクトル方程式を解いて未知数ｓとｔを求める事でベクトルＯＨを求める。

この式２と式３の連立方程式を解いて未知数ｓとｔを求める。

（解答おわり）

【解答２】
「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす公式」が、２つの空間ベクトルの張る面内の空間ベクトルに対しても成り立つ。
すなわち、ベクトルａとｂをその面内で９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖは、
以下の式でベクトルａとｂを用いてあらわすことができる。

計算の見通しを良くするために、ベクトルａとｂを単位ベクトルにして考える。
ベクトルａ_ｖとｂ_ｖを使って、以下の計算で係数ｓとｔが求められる。

分母は、以下の式であらわせる。

（解答おわり）

【究極の方法】
　垂線の足Hの位置ベクトルを直交しないベクトルａとｂとで表そうとするので難しくなった。
以下の様に、ベクトルｂの、ベクトルａに垂直な成分のベクトルｖを取り出すことができる。
そして、平面OABを構成する互いに直交するベクトルａとｖを使えば、ベクトルOCの平面OABへの正射影ベクトルOHは、以下の式で簡単に表すことができる。