複素数平面で円の方べきの定理を導き出す

【課題】
　方べきの定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で方べきの定理があらわされることを計算により導き出す。

【解答】
　図形の問題として解く方べきの定理は、試行錯誤によって種々の補助線を引いて考察して導き出すことができた。複素数平面の問題として解く方べきの定理は、試行錯誤によって複素数平面の式を種々に変形して考察する。その結果、以下のような式の変形を行なうならば方べきの定理が導き出せる。

（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形の考察で問題が解け、その解を複素数の計算の形で証明したものである。複素数の式を計算する前に図形問題の解を得ているからこそ、あたかも複素数の計算で解が得られたように解が表現できた事に注意すること。

　すなわち、上図のようにな図形を考え、補助線を引いて考察して方べきの定理が証明できたからこそ、複素数平面の計算での式の変形の方針が決められる。
　複素数平面の複素数の計算式をただ変形するだけの試行錯誤の計算で方べきの定理を証明しようと、計算の見通しが悪く、計算の森で迷子になってしまう事が多い。そのやり方で方べきの定理を証明するのは難しい。図形の問題の試行錯誤で補助線を引いて考察した方が実りが多いと思う。
　このように、方べきの定理の知識は、図形の考察によって先行して与えられている。複素数の計算よりも図形の考察の方が視野が広く融通性があり、常に先行するものである。
　複素数平面の複素数の式の計算は、その図形の、補助線を引いて図形の性質を導き出す考察プロセスを、複素数の加減乗除を計算するという抽象化したプロセスで表現しているだけと解釈できる。問題の答えを導き出す発想の源泉は、図形の考察から生み出される。

リンク：
方べきの定理の証明
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