【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが異なる４個の交点で交差するような定数ｈの範囲を求めよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが異なる４個の交点で交差するような定数ｈの範囲を求めよ。
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2026年3月21日土曜日
2026年3月17日火曜日
座標値が整数の点の集合を求める問題
【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
２ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。
【問２】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。
【問題の解説】
数ＸとＹとが整数であると定義されている問題では、当初の命題が、更に、有限個の点(X,Y) の集合を列記した命題に同値変形される。
特に、上記の問１と問２の解答は、同じ有限個の点(X,Y) の集合になる特徴がある。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
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無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
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２ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。
【問２】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。
【問題の解説】
数ＸとＹとが整数であると定義されている問題では、当初の命題が、更に、有限個の点(X,Y) の集合を列記した命題に同値変形される。
特に、上記の問１と問２の解答は、同じ有限個の点(X,Y) の集合になる特徴がある。
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二重根号の外し方の４つの方法
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2026年3月16日月曜日
同値変形の考え方の要約
ページ外へのリンク：
▷必要条件の見分け方
▷方程式の全ての解の導出公式
▷存在記号∃の意味
▷存在条件の代入原理
このページは、
「同値変形の考え方」のページの要約です。
【同値変形とは何か】
同値変形とは、条件Ａの全ての情報を過不足なく保持させて条件Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、条件Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて条件Ｂにする処理です。
条件Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
条件Ａがあらわす情報を限定する情報限定条件を条件Ａに加えて条件Ａ’を作ると、情報限定条件を加える前は同値ではなかった条件同士も、情報限定条件によって限定された情報同士が同じならば同値な条件になります。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例０》
方程式の必要十分条件が以下の命題Ｃであらわされる。
上記の、条件Ａと条件Ｂが必要十分条件の関係にあることをあらわす（真なる）命題Ｃは、通常は以下の命題Ｃのように記述する。
（注意）上式にある「ｏｒ」という用語は、命題を記述するために使う「又は」という用語とは異なる意味を持つ。「ｏｒ」という用語は、最初に示した命題Ｃの条件Ｂの内容（「解その１(and) 解その２」という意味）をあらわす。
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
《必要条件の見分け方》
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の条件が成り立つことである。
条件Ａならば条件Ｂである。
（注意）この論理式は、正しくは、以下の暗黙の条件（全ての実数Ｘに関して、）が付いた論理式である。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）ならば（条件Ｂ(X)）である。」
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いか、又は、（条件Ｂ(X)）である。」
例えば、以下の条件（第１の条件）が成り立つかどうかは、以下のようにして判定できる。
「全ての実数Ｘに関して、 Ｘ＝１， → Ｘ＝１０ー９，」
この第１の条件の左側の条件から、必ず右側の条件が "発想" できるか、必然的に右側の条件が導き出せるか、と問うと、必ずしもそうとは言えない。
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１ であるか、又は、Ｘ＝１０－９である。」
Ｘ＝１０－９の式を変形すると、
Ｘ＝１になる。
そのため、先の条件は、以下の条件に書き換えられる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１であるか、又は、Ｘ＝１である。」
これならば、この条件が成り立っていることがわかる。これにより、第１の条件の右側の条件が左側の条件の必要条件であった（第１の条件が成り立つ）ことが判定できた。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
|ｘ|≧２が成り立つことが、ｘの値からｔの値を導き出すことができる（ｔの解が存在する）存在条件である。
この連立方程式には、ｔの存在条件を与える式が加わっているので、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、以下の式を満足する全ての点(ｘ,ｙ) に対して、方程式の解(ｘ,ｙ,ｔ) が存在する。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
最初の連立方程式は、以下のようにも同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3) と、Ｙ≠０における式(4) と、を満足する全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例４》
例３の連立方程式において、以下の図の条件Ｂのように、条件のあらわす情報を、パラメータｍを利用してあらわした点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわすように限定する。そうした場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす条件Ｂの表現を同値変形で言い換える際には、そのパラメータｍは残す必要がない。そのため、以下の図のように、その条件Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報は、下図の右側の条件Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
なお、条件Ｂが表す点の集合(X,Y) の情報は、以下の条件Ｃや条件Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した条件Ｄの以下の表現の意味を説明する。
存在記号∃を使ってあらわしたこの条件Ｄが先の条件Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
条件Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。ｍのことを束縛変数（ダミー変数）と呼ぶ。条件Ｄがあらわす情報は、条件Ｄを「真」にする、（ダミー変数ｍ以外の）数ＸとＹ（自由変数と呼ぶ）の組の集合（点(X,Y) の集合）である。
束縛変数ｍには、条件Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。条件Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、条件Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、条件Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で条件Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。つまり、存在記号∃が付けられたパラメータｍは、条件があらわそうとする数の集合からは除外される。そのため、条件Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、条件Ｄは条件Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
【点(X,Y) の集合をあらわす条件だと認識すべし】
《存在条件の代入原理》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した条件Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした条件である。
条件Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した条件にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。点(X,Y) の集合の情報をあらわす条件Ａの中の、パラメータｍをＸとＹであらわす式は、点(X,Y) の集合を制限する影響がない。なお、パラメータｍの値が存在すべき存在条件は、そのｍの式を導出する過程で、条件の中に組み込まれている。そのため、パラメータｍは、点(X,Y) の集合をあらわすためには、もはや残す必要がない式である。それゆえｍの式を削除する同値変形をして最後の条件に変形する。
その最後の条件は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す条件である。その条件には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて条件の意味が明確にされる。
その、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
以上の同値変形に対して、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の条件から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の条件では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が条件の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
〘重要〙ここをクリックした先のyoutubeで、存在記号∃の意味を詳しく説明して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が冗長だと分かるレベルまでの知識を与えた上で、存在条件の代入原理が当たり前だと分かる知識を与え、存在条件の代入原理の応用の練習もさせ、更には、存在条件の代入原理を使って解く大学入試問題の２問を解いている。
とても参考になるので、是非視聴して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉が冗長だというのが当たり前と分かるレベルまで成長することが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する情報が、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付随するパラメータ（あるいは、関係ないパラメータ）は、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、条件を偽にしてしまうという、条件に甚大な被害を与えるような事項（それは条件があらわす情報を変える重大事項である）は、条件から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の集合】
《同値変形の例６》
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
【解１】
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
（解１おわり）
この解き方を見ると、この問題の同値変形の特徴は、式(6)から(9) で与えるパラメータｓとｔの値が存在する条件を式(3) で与えたこと。そのように式(6)から(9) を導出する過程で式(3) が必要になったことこそがこの問題を解く本質である。その過程で式(3) というパラメータｓとｔの存在条件を見出すことこそが、「存在条件の導入」だと言える。
なお、上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、方程式(3) を使った点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの情報であり、点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき限定された情報ではないので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
【解２】
先に得た、ＸとＹの関係を表す方程式(3) を求める解き方は、以下のように、ｓとｔを順次に減らしていく解き方で以下の式(7) として求めることで解いても良い。
（解２おわり）
【２つのパラメータｘとｙであらわす数ｈの集合】
《同値変形の例７》
「円と放物線の交点の問題」を同値変形で解く。
ここまでの解き方を見ると、この問題の同値変形の特徴は、式(5) で与えるパラメータｙの値が存在する条件を式(6) で与えたこと。式(7) で与えるパラメータｘの値が存在する条件を式(12) で与えたこと。そのように式(6) と式(12) を導出する過程こそが問題を解く本質である。
そうして出来上がった上記の連立方程式から式(5) と式(7) を、数ｈを表す条件には不要な式だとして条件から削除することは、もはや、問題を解く本質ではない。単なる形式的な処理に過ぎず、式(5) と式(7) を条件から削除しても嬉しくはない。それよりは、むしろ（方程式の全ての解の導出公式に従って）残しておいた方が良いと思う。
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▷方程式の全ての解の導出公式
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このページは、
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【同値変形とは何か】
同値変形とは、条件Ａの全ての情報を過不足なく保持させて条件Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、条件Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて条件Ｂにする処理です。
条件Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
条件Ａがあらわす情報を限定する情報限定条件を条件Ａに加えて条件Ａ’を作ると、情報限定条件を加える前は同値ではなかった条件同士も、情報限定条件によって限定された情報同士が同じならば同値な条件になります。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例０》
方程式の必要十分条件が以下の命題Ｃであらわされる。
上記の、条件Ａと条件Ｂが必要十分条件の関係にあることをあらわす（真なる）命題Ｃは、通常は以下の命題Ｃのように記述する。
（注意）上式にある「ｏｒ」という用語は、命題を記述するために使う「又は」という用語とは異なる意味を持つ。「ｏｒ」という用語は、最初に示した命題Ｃの条件Ｂの内容（「解その１(and) 解その２」という意味）をあらわす。
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
《必要条件の見分け方》
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の条件が成り立つことである。
条件Ａならば条件Ｂである。
（注意）この論理式は、正しくは、以下の暗黙の条件（全ての実数Ｘに関して、）が付いた論理式である。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）ならば（条件Ｂ(X)）である。」
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いか、又は、（条件Ｂ(X)）である。」
例えば、以下の条件（第１の条件）が成り立つかどうかは、以下のようにして判定できる。
「全ての実数Ｘに関して、 Ｘ＝１， → Ｘ＝１０ー９，」
この第１の条件の左側の条件から、必ず右側の条件が "発想" できるか、必然的に右側の条件が導き出せるか、と問うと、必ずしもそうとは言えない。
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１ であるか、又は、Ｘ＝１０－９である。」
Ｘ＝１０－９の式を変形すると、
Ｘ＝１になる。
そのため、先の条件は、以下の条件に書き換えられる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１であるか、又は、Ｘ＝１である。」
これならば、この条件が成り立っていることがわかる。これにより、第１の条件の右側の条件が左側の条件の必要条件であった（第１の条件が成り立つ）ことが判定できた。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
|ｘ|≧２が成り立つことが、ｘの値からｔの値を導き出すことができる（ｔの解が存在する）存在条件である。
この連立方程式には、ｔの存在条件を与える式が加わっているので、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、以下の式を満足する全ての点(ｘ,ｙ) に対して、方程式の解(ｘ,ｙ,ｔ) が存在する。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
最初の連立方程式は、以下のようにも同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3) と、Ｙ≠０における式(4) と、を満足する全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例４》
例３の連立方程式において、以下の図の条件Ｂのように、条件のあらわす情報を、パラメータｍを利用してあらわした点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわすように限定する。そうした場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす条件Ｂの表現を同値変形で言い換える際には、そのパラメータｍは残す必要がない。そのため、以下の図のように、その条件Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報は、下図の右側の条件Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
なお、条件Ｂが表す点の集合(X,Y) の情報は、以下の条件Ｃや条件Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した条件Ｄの以下の表現の意味を説明する。
存在記号∃を使ってあらわしたこの条件Ｄが先の条件Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
条件Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。ｍのことを束縛変数（ダミー変数）と呼ぶ。条件Ｄがあらわす情報は、条件Ｄを「真」にする、（ダミー変数ｍ以外の）数ＸとＹ（自由変数と呼ぶ）の組の集合（点(X,Y) の集合）である。
束縛変数ｍには、条件Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。条件Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、条件Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、条件Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で条件Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。つまり、存在記号∃が付けられたパラメータｍは、条件があらわそうとする数の集合からは除外される。そのため、条件Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、条件Ｄは条件Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
【点(X,Y) の集合をあらわす条件だと認識すべし】
《存在条件の代入原理》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した条件Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした条件である。
条件Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した条件にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。点(X,Y) の集合の情報をあらわす条件Ａの中の、パラメータｍをＸとＹであらわす式は、点(X,Y) の集合を制限する影響がない。なお、パラメータｍの値が存在すべき存在条件は、そのｍの式を導出する過程で、条件の中に組み込まれている。そのため、パラメータｍは、点(X,Y) の集合をあらわすためには、もはや残す必要がない式である。それゆえｍの式を削除する同値変形をして最後の条件に変形する。
その最後の条件は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す条件である。その条件には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて条件の意味が明確にされる。
その、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
以上の同値変形に対して、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の条件から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の条件では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が条件の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
〘重要〙ここをクリックした先のyoutubeで、存在記号∃の意味を詳しく説明して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が冗長だと分かるレベルまでの知識を与えた上で、存在条件の代入原理が当たり前だと分かる知識を与え、存在条件の代入原理の応用の練習もさせ、更には、存在条件の代入原理を使って解く大学入試問題の２問を解いている。
とても参考になるので、是非視聴して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉が冗長だというのが当たり前と分かるレベルまで成長することが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する情報が、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付随するパラメータ（あるいは、関係ないパラメータ）は、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、条件を偽にしてしまうという、条件に甚大な被害を与えるような事項（それは条件があらわす情報を変える重大事項である）は、条件から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の集合】
《同値変形の例６》
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
【解１】
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
（解１おわり）
この解き方を見ると、この問題の同値変形の特徴は、式(6)から(9) で与えるパラメータｓとｔの値が存在する条件を式(3) で与えたこと。そのように式(6)から(9) を導出する過程で式(3) が必要になったことこそがこの問題を解く本質である。その過程で式(3) というパラメータｓとｔの存在条件を見出すことこそが、「存在条件の導入」だと言える。
なお、上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、方程式(3) を使った点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの情報であり、点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき限定された情報ではないので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
【解２】
先に得た、ＸとＹの関係を表す方程式(3) を求める解き方は、以下のように、ｓとｔを順次に減らしていく解き方で以下の式(7) として求めることで解いても良い。
（解２おわり）
【２つのパラメータｘとｙであらわす数ｈの集合】
《同値変形の例７》
「円と放物線の交点の問題」を同値変形で解く。
ここまでの解き方を見ると、この問題の同値変形の特徴は、式(5) で与えるパラメータｙの値が存在する条件を式(6) で与えたこと。式(7) で与えるパラメータｘの値が存在する条件を式(12) で与えたこと。そのように式(6) と式(12) を導出する過程こそが問題を解く本質である。
そうして出来上がった上記の連立方程式から式(5) と式(7) を、数ｈを表す条件には不要な式だとして条件から削除することは、もはや、問題を解く本質ではない。単なる形式的な処理に過ぎず、式(5) と式(7) を条件から削除しても嬉しくはない。それよりは、むしろ（方程式の全ての解の導出公式に従って）残しておいた方が良いと思う。
リンク：
無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
高校数学の目次
2026年3月7日土曜日
同値変形の考え方
（注意）このページは長くなり過ぎたので、このページの内容の要約を、
「同値変形の考え方の要約」
のページに記載した。
先ず、その要約ページを見てから、このページを読むと良いと思う。
第１に学ぶべきこと（ページ外リンク）：
▷命題、条件とは何か
ページ内リンク：
▷必要条件の見分け方
▷方程式の全ての解の導出公式
▷存在記号∃の意味
▷存在条件の代入原理
▷数の集合をあらわす表現の同値変形
▷２つのパラメータであらわす点(X,Y)の表現
《第１に学ぶべきこと【命題、条件とは何か】》この行をクリック
【同値変形とはなにか】
同値変形とは、条件Ａをそれに必要十分な条件Ｂに変換する処理です。
すなわち、同値変形とは、条件Ａの情報を過不足なく保持させて条件Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、条件Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて条件Ｂにする処理です。
その条件Ａと条件Ｂの間には、
条件Ａ⇒条件Ｂ，
条件Ｂ⇒条件Ａ，
の関係がある。すなわち、条件Ａと条件Ｂが必要十分な関係にある。
条件Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
条件Ａがあらわす情報を限定する情報限定条件を条件Ａに加えて条件Ａ’を作ると、情報限定条件を加える前は同値ではなかった条件同士も、情報限定条件によって限定された情報同士が同じならば同値な条件になります。
（情報限定条件を加えて変則的な同値変形をするのは、考えがややこしくなるのであまり推奨しません）
なお、情報を限定する情報限定条件の下での、条件Ａ’と条件Ｂ’が、それらの条件があらわす限定された情報同士が過不足なく一致する場合は、
条件Ａ’ならば、条件Ｂ’であり、
条件Ｂ’ならば、条件Ａ’であり、
条件Ａ’⇔条件Ｂ’であり、互いに、相手に対して必要十分な条件になります。
大学数学の述語論理での、意味解釈上まったく同じことを表わす論理式（高校数学で言う条件Ａと条件Ｂのこと）が 「論理的に同値である」という．正確な定義は 次の通りである．
【定義】論理式φとψが すべての L-構造 M と 自由変数のすべての値割り当て v に対して同じ真理値をもつ （すなわち等式 (M,v)[φ] = (M,v)[ψ] が成立する）とき， 論理的に同値であるという．この関係を記号的に φ ≡ ψ と表わす．
〘補足〙この大学数学の定義で使われている「自由変数」とは、論理式（条件Ａ）における、条件Ａを記述する方程式で使われている文字変数のうち、量化記号（∃ｍや、∀ｍ）によって束縛されている文字ｍ（「束縛変数」と呼ぶ）以外の文字変数のことを言う。この定義の意味は、条件Ａの情報は、量化記号を付けた文字ｍが除去されて情報が限定されるのである。情報が限定された条件Ａの情報は、文字ｍ以外の文字の集合だけ（条件Ａを「真」にする文字の集合）である。
【方程式の集合の同値変形】同値変形の基本形
《同値変形の例０》
方程式の必要十分条件が以下の命題Ｃであらわされる。
上記の、命題Ｃは、通常は以下のように、「全ての数ｘに関して」という前提条件の記載を省略して書かれる。
（注意）上式にある「ｏｒ」という用語は、命題を記述するために使う「又は」という用語とは異なる意味を持つ。「ｏｒ」という用語は、最初に示した命題Ｃの条件Ｂの内容（「解その１(and) 解その２」という意味）をあらわす。
つまり、以下の命題Ｃ２が成り立つ。
《同値変形の例１》
〘条件（連立方程式）の情報が同じならば同値である〙
複素数ｋとｘに関する以下の条件（連立方程式）に関して以下の必要十分の関係が成り立つ。
〘注意〙以下に示す、条件（連立方程式）同士が必要十分条件の関係にある、ことを表す命題は、正しくは、「全ての複素数の組（ｋ，ｘ）に関して」と言う前提条件が付く。しかし、表現を簡略化するためにその前提条件の記載を省略して命題を記載する。
以下で、この連立方程式(1)(2)の解がそうなることを計算する。
（解答おわり）
連立方程式(1)と(2)の情報は、上記に示したｋとｘの値の組み合わせの集合である。そして、このｋとｘの組み合わせの集合（連立方程式の情報）が同じ連立方程式同士は、互いに必要十分条件なのである。
〘補足〙
なお、上記の計算の途中で得た方程式(3)の情報は、以下のようにあらわせる。
正しくは、「全ての複素数の組（ｘ，ｋ）に関して」と言う前提条件が付く命題；
この方程式(3) の情報の数の組(x,k) の集合は、連立方程式(1)(2) の情報の数の組(x,k) の集合を包含する。そのため、方程式(3) は、連立方程式式(1)(2) の必要条件である。そして、連立方程式(1)(2) は、方程式(3) の十分条件である。
方程式の解答とは、方程式を同値変形することです。
〘普通の解答〙
方程式の解答は、普通は以下のように書く。
（解答おわり）
〘前提条件によって、同値なものが変わる〙
上記の連立方程式(1)(2)は、「全ての複素数の組（ｘ，ｋ）に関して」と言う前提条件が付いていた。
その同値変形の結果が上記の解であった。
その前提条件を変えて、
「全ての実数の組（ｘ，ｋ）に関して」と言う前提条件に変えた場合は、
連立方程式(1)(2)に同値なものは、
すなわち、連立方程式(1)(2)の解は、
ｋ＝－６，ｘ＝２
「同値変形の考え方の要約」
のページに記載した。
先ず、その要約ページを見てから、このページを読むと良いと思う。
第１に学ぶべきこと（ページ外リンク）：
▷命題、条件とは何か
ページ内リンク：
▷必要条件の見分け方
▷方程式の全ての解の導出公式
▷存在記号∃の意味
▷存在条件の代入原理
▷数の集合をあらわす表現の同値変形
▷２つのパラメータであらわす点(X,Y)の表現
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【同値変形とはなにか】
同値変形とは、条件Ａをそれに必要十分な条件Ｂに変換する処理です。
すなわち、同値変形とは、条件Ａの情報を過不足なく保持させて条件Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、条件Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて条件Ｂにする処理です。
その条件Ａと条件Ｂの間には、
条件Ａ⇒条件Ｂ，
条件Ｂ⇒条件Ａ，
の関係がある。すなわち、条件Ａと条件Ｂが必要十分な関係にある。
条件Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
条件Ａがあらわす情報を限定する情報限定条件を条件Ａに加えて条件Ａ’を作ると、情報限定条件を加える前は同値ではなかった条件同士も、情報限定条件によって限定された情報同士が同じならば同値な条件になります。
（情報限定条件を加えて変則的な同値変形をするのは、考えがややこしくなるのであまり推奨しません）
なお、情報を限定する情報限定条件の下での、条件Ａ’と条件Ｂ’が、それらの条件があらわす限定された情報同士が過不足なく一致する場合は、
条件Ａ’ならば、条件Ｂ’であり、
条件Ｂ’ならば、条件Ａ’であり、
条件Ａ’⇔条件Ｂ’であり、互いに、相手に対して必要十分な条件になります。
大学数学の述語論理での、意味解釈上まったく同じことを表わす論理式（高校数学で言う条件Ａと条件Ｂのこと）が 「論理的に同値である」という．正確な定義は 次の通りである．
【定義】論理式φとψが すべての L-構造 M と 自由変数のすべての値割り当て v に対して同じ真理値をもつ （すなわち等式 (M,v)[φ] = (M,v)[ψ] が成立する）とき， 論理的に同値であるという．この関係を記号的に φ ≡ ψ と表わす．
〘補足〙この大学数学の定義で使われている「自由変数」とは、論理式（条件Ａ）における、条件Ａを記述する方程式で使われている文字変数のうち、量化記号（∃ｍや、∀ｍ）によって束縛されている文字ｍ（「束縛変数」と呼ぶ）以外の文字変数のことを言う。この定義の意味は、条件Ａの情報は、量化記号を付けた文字ｍが除去されて情報が限定されるのである。情報が限定された条件Ａの情報は、文字ｍ以外の文字の集合だけ（条件Ａを「真」にする文字の集合）である。
【方程式の集合の同値変形】同値変形の基本形
《同値変形の例０》
方程式の必要十分条件が以下の命題Ｃであらわされる。
上記の、命題Ｃは、通常は以下のように、「全ての数ｘに関して」という前提条件の記載を省略して書かれる。
（注意）上式にある「ｏｒ」という用語は、命題を記述するために使う「又は」という用語とは異なる意味を持つ。「ｏｒ」という用語は、最初に示した命題Ｃの条件Ｂの内容（「解その１(and) 解その２」という意味）をあらわす。
つまり、以下の命題Ｃ２が成り立つ。
《同値変形の例１》
〘条件（連立方程式）の情報が同じならば同値である〙
複素数ｋとｘに関する以下の条件（連立方程式）に関して以下の必要十分の関係が成り立つ。
〘注意〙以下に示す、条件（連立方程式）同士が必要十分条件の関係にある、ことを表す命題は、正しくは、「全ての複素数の組（ｋ，ｘ）に関して」と言う前提条件が付く。しかし、表現を簡略化するためにその前提条件の記載を省略して命題を記載する。
以下で、この連立方程式(1)(2)の解がそうなることを計算する。
（解答おわり）
連立方程式(1)と(2)の情報は、上記に示したｋとｘの値の組み合わせの集合である。そして、このｋとｘの組み合わせの集合（連立方程式の情報）が同じ連立方程式同士は、互いに必要十分条件なのである。
〘補足〙
なお、上記の計算の途中で得た方程式(3)の情報は、以下のようにあらわせる。
正しくは、「全ての複素数の組（ｘ，ｋ）に関して」と言う前提条件が付く命題；
この方程式(3) の情報の数の組(x,k) の集合は、連立方程式(1)(2) の情報の数の組(x,k) の集合を包含する。そのため、方程式(3) は、連立方程式式(1)(2) の必要条件である。そして、連立方程式(1)(2) は、方程式(3) の十分条件である。
方程式の解答とは、方程式を同値変形することです。
〘普通の解答〙
方程式の解答は、普通は以下のように書く。
（解答おわり）
〘前提条件によって、同値なものが変わる〙
上記の連立方程式(1)(2)は、「全ての複素数の組（ｘ，ｋ）に関して」と言う前提条件が付いていた。
その同値変形の結果が上記の解であった。
その前提条件を変えて、
「全ての実数の組（ｘ，ｋ）に関して」と言う前提条件に変えた場合は、
連立方程式(1)(2)に同値なものは、
すなわち、連立方程式(1)(2)の解は、
ｋ＝－６，ｘ＝２
のみになる。
この場合は、これが、連立方程式(1)(2)に同値なのである。
《命題の必要条件の例２》
以下の論理式全体であらわす条件は、その全体の条件の左側の条件Ａと右側の条件Ｂとに、以下の関係があるものとする条件である。
（条件Ａ）→（条件Ｂ）
（条件Ｂが条件Ａの必要条件である）
（注意）この論理式は、正しくは、以下の暗黙の条件（全ての実数ｘに関して、）が付いた論理式（真偽が定まる論理式＝命題）である。
命題Ｃ「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ(X)）→（条件Ｂ(X)）」
命題Ｃの具体例：
命題「全ての実数ｘに関して、Ｘ＝１ → Ｘ＝１０ー９」
上記の全体の条件の論理式の右側の部分の条件Ｂは、Ｘを、
１０－９
という数式であらわしている。この条件Ｂの情報は、結局は１０－９の計算の結果で得られた値１が、Ｘの値であることをあらわしている条件である。
この条件Ｂを、条件が最も本質的な形になるまで同値変形することで、
１０－９
という計算の結果の値の１のみを残すという、条件が最も本質的な形になるまで同値変形して条件Ｂ’にする。 条件Ｂのあらわす情報を説明するために使った計算式１０－９を除去した条件Ｂ’（それは条件Ｂと同じ情報である）が、条件Ａの必要条件（条件Ａが成り立てば必ず成り立つ情報）である。
《必要条件の見分け方》
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の命題（真偽が定まる）が成り立つ（真である）ことである。
命題C「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X)ならば条件Ｂ(X)である」
命題Ｃは、以下の命題Ｄに置き換えることができる。
命題Ｄ「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いか、又は、（条件Ｂ(x)）である」
これが成り立つことを以下で確かめてみる。
全ての実数ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いことは、
Ｘ≠１である、ということである。
（条件Ｂ(X)）であることは、
Ｘ＝１０－９である、ということである。
つまり、
Ｘ＝１である、ということである。
そのため、「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。」
ということは、
全ての実数ｘに関して、
Ｘ≠１であるか、
Ｘ＝１である、ということである。
全ての実数ｘに関してこれが成り立つ。
そのため、「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。」
よって、「全ての実数ｘに関して、条件Ａならば条件Ｂである。」
ゆえに、条件Ｂが条件Ａの必要条件である。
《同値変形の例３》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
上記のように、t=の形の式を作ったことで、|ｘ|≧２が成り立つことがｔの解が存在する必要十分条件であることが分かった。
式がこの形に同値変形できたので、以下で説明する「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、以下の式を満足する全ての点(ｘ,ｙ) に対して、方程式の解(ｘ,ｙ,ｔ) が存在する。
《同値変形の例４》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
《方程式の全ての解の導出公式》
上記の（例４の）左側の連立方程式を同値変形して、以下の式(a1) から式(a3) の連立方程式が得られた場合は、条件(a3) を満足する軌跡の式(a1) で表される全ての点(X,Y) が、連立方程式の全ての解(X,Y,m) を与える。
詳しくは、以下の内容である。すなわち、方程式の群（連立方程式）の同値変形によって；①、パラメータｍが点(X,Y) の解として与えられる方程式(a2) と(a3) が求められた。また、②、ＸとＹとの軌跡の方程式(a1) が求められた。①と②が得られたならば、条件(a3) を満足する軌跡の方程式(a1) があらわす全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。という公式である。
この公式は、（存在条件の代入原理：）「①と②が得られたならば、パラメータｍを消して全ての点が解となる軌跡の式(a1) が求められる」という、（消さなくても良い）「パラメータｍを消す」回りくどい言い方をする「存在条件の代入原理」よりも分かりやすいと思う。
また、（消さなくても良い）パラメータｍを、下図の右の連立方程式のようにｍを主役にしてｍでＸとＹをあらわすと見通しが良くなる。
すなわち、ｍを－∞から＋∞まで推移させて、それに応じて点（Ｘ，Ｙ）が動いていく様子を見通し良く見ることができる。
《例４の続き》
例４の方程式は、以下のように同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3)(4) によるｍ＝０での解(X,Y,0) 、及び（orは及びという意味）、Ｙ≠０の条件下で式(9) を満足する全ての点(X,Y) と式(7)で与えられるｍとの解(X,Y,m) がある。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】変則形
《同値変形の例５》
同値変形する元の条件Ａのあらわす「方程式」の情報（点（Ｘ，Ｙ，ｍ）の情報）に、情報限定条件を加えて、条件Ａのあらわす情報から方程式中のパラメータｍを除外して、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす情報にした条件Ａ’を同値変形する場合（変則的同値変形）を考える。
その変則同値変形の場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使われているパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす条件Ａ’の表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータｍは残す必要がないことを注意しておく。例えば、以下の図のように点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす条件Ｂ’の表現を、以下のようにパラメータｍを消して条件Ａ’に同値変形できる。
このように、情報限定条件を加えて、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみの情報をあらわした条件Ｂ’の表現を、情報限定条件の下で、条件Ａ’に言い換える変則的同値変形があるので要注意である。一方で、基本的同値変形では、方程式の群に何も情報限定条件を加えない。
以下の問題を解く場合の同値変形を考える。
【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
この問題の直線１と直線２の連立方程式は、先ずは、方程式の同値変形ができる。
下図の左側の条件Ｂとして、その方程式のあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合だけ（ｍの値に応じて点の位置が動く）をあらわす条件Ｂを考える。条件Ｂは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報を、ー∞＜ｍ＜∞の範囲の値が可能なパラメータｍを使ってあらわしている。
その条件Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合は、下図の右側の条件Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
下の図であらわす条件Ｂにおいて、パラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の説明に使っているだけである。条件Ｂが与える情報にはパラメータｍは含まれない。そのため、条件Ｂは条件Ａから導き出される必要条件になる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の条件が成り立つことである。
条件Ａならば条件Ｂである。
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。
これが成り立つことを以下で確かめてみる。
（条件Ａ）で無いことは、
以下の図の、「点（－５，０）を除いた半径５の円周上の点」では無い点（Ｘ，Ｙ）である、ということである。
一方で、（条件Ｂ）であることは、
上図の、点（－５，０）を除いた半径５の円周上の点（Ｘ，Ｙ）である、ということである。
そのため、「（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である」
ということは、点(X,Y) のあり得る位置が、ＸＹ平面上のどの点でも良いということである。
これは常に成り立つ。
そのため、（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。
よって、条件Ａならば条件Ｂである。
ゆえに、条件Ｂが条件Ａの必要条件である。
なお、条件Ａが表す点の集合(X,Y) を表現を変えて表した条件Ｂは、以下の条件Ｃや条件Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した条件Ｄの以下の表現の意味を説明する。
〘条件Ｄ〙
存在記号∃を使ってあらわしたこの条件Ｄが先の条件Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
条件Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。∃記号は量化記号と言い、∃ｍとあらわした変数ｍは束縛変数と言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。∃ｍを「あるｍで～」と言うことがあるが、それは正確な言い換えでは無い。正しくは、条件Ｄの表す情報が、パラメータｍによって束縛されるパラメータｍ以外の情報、に限定される。つまり、条件Ｄがあらわす情報は、条件Ｄを「真」にする、（パラメータｍ以外の）数ＸとＹの組の集合（点(X,Y) の集合）である。∃記号を使った∃ｍ、という表現を加える以前の条件は、点(X,Y,m)の集合（その条件を真にする点(X,Y,m)の集合）を表していたが、∃ｍという表現を追加することで、その条件Ｄが、点(X,Y)の集合（条件Ｄを真にする点(X,Y)の集合）を表す条件に変わる。
すなわち、∃記号を使った∃ｍ、という表現を加える以前の条件の情報は、その条件を真にする点(X,Y,m)であった。その条件の情報では、あるｍの値毎に点(X,Y) が結び付けられていた。∃ｍという表現をその条件に加える意味は、そういうあるｍの値が存在するという意味では無い。条件を真にする点を点(X,Y,m)から点(X,Y)に変えること、つまり、条件が表す情報（条件を真にする集合）を変えることが、∃ｍという表現を加える意味である。
∃ｍ、という表現を加える以前の条件は、Ｘの値とＹの値とｍの値を代入することで、真偽が確定した命題になった。∃ｍ、という表現を加えてｍを束縛変数に変えた後の条件においては、変数ｍには「ある変数ｍにおいて」という前提条件を付与する役割があるので、その役割を持った変数ｍに定数値を代入することはできない。ｍが束縛変数となった条件では、その条件の変数ＸとＹとに定数値を代入するだけで、真か偽かが確定した命題になる。
∃記号で束縛されたパラメータｍには、条件Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。条件Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、条件Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、条件Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で条件Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。そのため、条件Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、条件Ｄは条件Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
〘必要条件の意味〙
命題Ｃ「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X,ｈ)ならば条件Ｂ(X,ｈ)である」（ｈは定数である）
について考える。
（１）２つの変数ＸとＹとで表した条件；
条件Ｆ「条件Ａ(X,Y)ならば条件Ｂ(X,Y)である」
を考える。
（２）条件Ｆに「全ての実数ｘに関して」という前提条件を付けて、
条件Ｅ「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X,Y)ならば条件Ｂ(X,Y)である」
を作る。
（３）条件Ｅの変数Ｙに、定数値ｈを代入すると、
命題Ｃ「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X,ｈ)ならば条件Ｂ(X,ｈ)である」
が出来上がる。
条件Ａ(X,ｈ)を真にする実数Ｘの集合が条件Ｂ(X,ｈ)を真にする集合に包含されているならば、命題Ｃは真であり、そうでなければ命題Ｃは偽である。
命題Ｃが真のとき、条件Ｂ(X,ｈ)は条件Ａ(X,ｈ)の必要条件である。
（４）一方で、条件Ｅの変数Ｘについては、「全ての実数ｘに関して」という前提条件を付与する役割が与えられているので、条件Ｅの変数Ｘに値を代入することはできない。
この変数ｘは条件Ｅの束縛変数と言い、変数Ｙを条件Ｅの自由変数と言う。
【点(X,Y) の集合をあらわす条件だと認識すべし】
《存在条件の代入原理の証明》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した条件Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした条件である。
条件Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した条件にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。それゆえ、点(X,Y) の集合の情報をあらわす条件Ａの表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータｍは残す必要がない。
その条件Ａを同値変形して得た最後の条件は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す条件である。その条件には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて条件の意味が明確にされる。
特に、ここをクリックした先の問題のように、数ＸとＹとが整数であると定義されている問題では、当初の条件が、更に、有限個の点(X,Y) の集合を列記した条件に同値変形される。
その問題では、与えられた方程式の解の有限個の点(X,Y) の集合にあてはまる方程式が複数ある。その複数の方程式は、同じ有限個の点(X,Y) の集合をあらわす、という共通点しかない。その有限個の点(X,Y) の集合をあらわす複数の方程式は、座標の値が整数の点(X,Y) 以外の余分な情報を含んでいる。その余分な情報があるので、それらの複数の方程式は互いに変換されない。その状況では、それらの方程式は、問題の解の本質を表現する基本的な式ではない。いずれの方程式も、「座標の値が整数の点(X,Y) 」という前提条件と結び付けられることで、余分な情報が消え、点の集合をあらわす条件Ｆという必要十分な情報になる。
そのように、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
上記の方程式に至る以下の同値変形をすると、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の条件から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の条件では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が条件の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
〘重要〙ここをクリックした先のyoutubeで、存在記号∃の意味を詳しく説明して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が冗長だと分かるレベルまでの知識を与えた上で、存在条件の代入原理が当たり前だと分かる知識を与え、存在条件の代入原理の応用の練習もさせ、更には、存在条件の代入原理を使って解く大学入試問題の２問を解いている。
とても参考になるので、是非視聴して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉が冗長だというのが当たり前と分かるレベルまで成長することが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例６》
以下の図に、同値変形する元の条件Ａのあらわす「方程式」の情報（点（ｘ，ａ）の情報）に、情報限定条件を加えて、条件Ａのあらわす情報から方程式中のパラメータｘを除外して、数ａの集合のみをあらわす情報にした条件Ａ’を同値変形する場合を考える。
この場合は、数ａの集合の情報あらわすために使われているパラメータｘは、数ａの情報には含まれない。それゆえ、数ａの集合をあらわす条件Ａ’の表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータｘは残す必要がない。
すなわち、条件Ａ’は、以下のように同値変形できる。
最初の同値変形によって、パラメータｘによるａの説明がａの情報に完全に取り込まれて、逆にｘがａで表されるようになった条件に同値変形された。その条件ではもはや、ａはｘによって説明されてはいないので、そのパラメータｘを残す必要はない。そのため、パラメータｘを除去した最後の条件に同値変形される。
《同値変形の例７》
同値変形する情報が、「方程式」という情報ではなく、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付属するパラメータは、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、方程式の群を同値変形しているわけではない。数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、条件を偽にしてしまうという、条件に甚大な被害を与えるような事項（それは条件があらわす情報を変える重大事項である）は、条件から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の表現】
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、以下の方程式(3) を使って点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき情報とは関係ない不要な情報になるので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
また、以下の式であらわす同値な関係も成り立っているのである。
リンク：
無理方程式を解くときに注意すること3つ
命題、条件とは何か
二重根号の外し方の４つの方法
高校数学の目次
この場合は、これが、連立方程式(1)(2)に同値なのである。
《命題の必要条件の例２》
以下の論理式全体であらわす条件は、その全体の条件の左側の条件Ａと右側の条件Ｂとに、以下の関係があるものとする条件である。
（条件Ａ）→（条件Ｂ）
（条件Ｂが条件Ａの必要条件である）
（注意）この論理式は、正しくは、以下の暗黙の条件（全ての実数ｘに関して、）が付いた論理式（真偽が定まる論理式＝命題）である。
命題Ｃ「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ(X)）→（条件Ｂ(X)）」
命題Ｃの具体例：
命題「全ての実数ｘに関して、Ｘ＝１ → Ｘ＝１０ー９」
上記の全体の条件の論理式の右側の部分の条件Ｂは、Ｘを、
１０－９
という数式であらわしている。この条件Ｂの情報は、結局は１０－９の計算の結果で得られた値１が、Ｘの値であることをあらわしている条件である。
この条件Ｂを、条件が最も本質的な形になるまで同値変形することで、
１０－９
という計算の結果の値の１のみを残すという、条件が最も本質的な形になるまで同値変形して条件Ｂ’にする。 条件Ｂのあらわす情報を説明するために使った計算式１０－９を除去した条件Ｂ’（それは条件Ｂと同じ情報である）が、条件Ａの必要条件（条件Ａが成り立てば必ず成り立つ情報）である。
《必要条件の見分け方》
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の命題（真偽が定まる）が成り立つ（真である）ことである。
命題C「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X)ならば条件Ｂ(X)である」
命題Ｃは、以下の命題Ｄに置き換えることができる。
命題Ｄ「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いか、又は、（条件Ｂ(x)）である」
これが成り立つことを以下で確かめてみる。
全ての実数ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いことは、
Ｘ≠１である、ということである。
（条件Ｂ(X)）であることは、
Ｘ＝１０－９である、ということである。
つまり、
Ｘ＝１である、ということである。
そのため、「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。」
ということは、
全ての実数ｘに関して、
Ｘ≠１であるか、
Ｘ＝１である、ということである。
全ての実数ｘに関してこれが成り立つ。
そのため、「全ての実数ｘに関して、（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。」
よって、「全ての実数ｘに関して、条件Ａならば条件Ｂである。」
ゆえに、条件Ｂが条件Ａの必要条件である。
《同値変形の例３》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
上記のように、t=の形の式を作ったことで、|ｘ|≧２が成り立つことがｔの解が存在する必要十分条件であることが分かった。
式がこの形に同値変形できたので、以下で説明する「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、以下の式を満足する全ての点(ｘ,ｙ) に対して、方程式の解(ｘ,ｙ,ｔ) が存在する。
《同値変形の例４》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
《方程式の全ての解の導出公式》
上記の（例４の）左側の連立方程式を同値変形して、以下の式(a1) から式(a3) の連立方程式が得られた場合は、条件(a3) を満足する軌跡の式(a1) で表される全ての点(X,Y) が、連立方程式の全ての解(X,Y,m) を与える。
詳しくは、以下の内容である。すなわち、方程式の群（連立方程式）の同値変形によって；①、パラメータｍが点(X,Y) の解として与えられる方程式(a2) と(a3) が求められた。また、②、ＸとＹとの軌跡の方程式(a1) が求められた。①と②が得られたならば、条件(a3) を満足する軌跡の方程式(a1) があらわす全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。という公式である。
この公式は、（存在条件の代入原理：）「①と②が得られたならば、パラメータｍを消して全ての点が解となる軌跡の式(a1) が求められる」という、（消さなくても良い）「パラメータｍを消す」回りくどい言い方をする「存在条件の代入原理」よりも分かりやすいと思う。
また、（消さなくても良い）パラメータｍを、下図の右の連立方程式のようにｍを主役にしてｍでＸとＹをあらわすと見通しが良くなる。
すなわち、ｍを－∞から＋∞まで推移させて、それに応じて点（Ｘ，Ｙ）が動いていく様子を見通し良く見ることができる。
《例４の続き》
例４の方程式は、以下のように同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3)(4) によるｍ＝０での解(X,Y,0) 、及び（orは及びという意味）、Ｙ≠０の条件下で式(9) を満足する全ての点(X,Y) と式(7)で与えられるｍとの解(X,Y,m) がある。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】変則形
《同値変形の例５》
同値変形する元の条件Ａのあらわす「方程式」の情報（点（Ｘ，Ｙ，ｍ）の情報）に、情報限定条件を加えて、条件Ａのあらわす情報から方程式中のパラメータｍを除外して、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす情報にした条件Ａ’を同値変形する場合（変則的同値変形）を考える。
その変則同値変形の場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使われているパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす条件Ａ’の表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータｍは残す必要がないことを注意しておく。例えば、以下の図のように点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす条件Ｂ’の表現を、以下のようにパラメータｍを消して条件Ａ’に同値変形できる。
このように、情報限定条件を加えて、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみの情報をあらわした条件Ｂ’の表現を、情報限定条件の下で、条件Ａ’に言い換える変則的同値変形があるので要注意である。一方で、基本的同値変形では、方程式の群に何も情報限定条件を加えない。
以下の問題を解く場合の同値変形を考える。
【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
この問題の直線１と直線２の連立方程式は、先ずは、方程式の同値変形ができる。
下図の左側の条件Ｂとして、その方程式のあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合だけ（ｍの値に応じて点の位置が動く）をあらわす条件Ｂを考える。条件Ｂは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報を、ー∞＜ｍ＜∞の範囲の値が可能なパラメータｍを使ってあらわしている。
その条件Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合は、下図の右側の条件Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
下の図であらわす条件Ｂにおいて、パラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の説明に使っているだけである。条件Ｂが与える情報にはパラメータｍは含まれない。そのため、条件Ｂは条件Ａから導き出される必要条件になる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の条件が成り立つことである。
条件Ａならば条件Ｂである。
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。
これが成り立つことを以下で確かめてみる。
（条件Ａ）で無いことは、
以下の図の、「点（－５，０）を除いた半径５の円周上の点」では無い点（Ｘ，Ｙ）である、ということである。
一方で、（条件Ｂ）であることは、
上図の、点（－５，０）を除いた半径５の円周上の点（Ｘ，Ｙ）である、ということである。
そのため、「（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である」
ということは、点(X,Y) のあり得る位置が、ＸＹ平面上のどの点でも良いということである。
これは常に成り立つ。
そのため、（条件Ａ）で無いか、又は、（条件Ｂ）である。
よって、条件Ａならば条件Ｂである。
ゆえに、条件Ｂが条件Ａの必要条件である。
なお、条件Ａが表す点の集合(X,Y) を表現を変えて表した条件Ｂは、以下の条件Ｃや条件Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した条件Ｄの以下の表現の意味を説明する。
〘条件Ｄ〙
存在記号∃を使ってあらわしたこの条件Ｄが先の条件Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
条件Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。∃記号は量化記号と言い、∃ｍとあらわした変数ｍは束縛変数と言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。∃ｍを「あるｍで～」と言うことがあるが、それは正確な言い換えでは無い。正しくは、条件Ｄの表す情報が、パラメータｍによって束縛されるパラメータｍ以外の情報、に限定される。つまり、条件Ｄがあらわす情報は、条件Ｄを「真」にする、（パラメータｍ以外の）数ＸとＹの組の集合（点(X,Y) の集合）である。∃記号を使った∃ｍ、という表現を加える以前の条件は、点(X,Y,m)の集合（その条件を真にする点(X,Y,m)の集合）を表していたが、∃ｍという表現を追加することで、その条件Ｄが、点(X,Y)の集合（条件Ｄを真にする点(X,Y)の集合）を表す条件に変わる。
すなわち、∃記号を使った∃ｍ、という表現を加える以前の条件の情報は、その条件を真にする点(X,Y,m)であった。その条件の情報では、あるｍの値毎に点(X,Y) が結び付けられていた。∃ｍという表現をその条件に加える意味は、そういうあるｍの値が存在するという意味では無い。条件を真にする点を点(X,Y,m)から点(X,Y)に変えること、つまり、条件が表す情報（条件を真にする集合）を変えることが、∃ｍという表現を加える意味である。
∃ｍ、という表現を加える以前の条件は、Ｘの値とＹの値とｍの値を代入することで、真偽が確定した命題になった。∃ｍ、という表現を加えてｍを束縛変数に変えた後の条件においては、変数ｍには「ある変数ｍにおいて」という前提条件を付与する役割があるので、その役割を持った変数ｍに定数値を代入することはできない。ｍが束縛変数となった条件では、その条件の変数ＸとＹとに定数値を代入するだけで、真か偽かが確定した命題になる。
∃記号で束縛されたパラメータｍには、条件Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。条件Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、条件Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、条件Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で条件Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。そのため、条件Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、条件Ｄは条件Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
〘必要条件の意味〙
命題Ｃ「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X,ｈ)ならば条件Ｂ(X,ｈ)である」（ｈは定数である）
について考える。
（１）２つの変数ＸとＹとで表した条件；
条件Ｆ「条件Ａ(X,Y)ならば条件Ｂ(X,Y)である」
を考える。
（２）条件Ｆに「全ての実数ｘに関して」という前提条件を付けて、
条件Ｅ「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X,Y)ならば条件Ｂ(X,Y)である」
を作る。
（３）条件Ｅの変数Ｙに、定数値ｈを代入すると、
命題Ｃ「全ての実数ｘに関して、条件Ａ(X,ｈ)ならば条件Ｂ(X,ｈ)である」
が出来上がる。
条件Ａ(X,ｈ)を真にする実数Ｘの集合が条件Ｂ(X,ｈ)を真にする集合に包含されているならば、命題Ｃは真であり、そうでなければ命題Ｃは偽である。
命題Ｃが真のとき、条件Ｂ(X,ｈ)は条件Ａ(X,ｈ)の必要条件である。
（４）一方で、条件Ｅの変数Ｘについては、「全ての実数ｘに関して」という前提条件を付与する役割が与えられているので、条件Ｅの変数Ｘに値を代入することはできない。
この変数ｘは条件Ｅの束縛変数と言い、変数Ｙを条件Ｅの自由変数と言う。
【点(X,Y) の集合をあらわす条件だと認識すべし】
《存在条件の代入原理の証明》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した条件Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした条件である。
条件Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した条件にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。それゆえ、点(X,Y) の集合の情報をあらわす条件Ａの表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータｍは残す必要がない。
その条件Ａを同値変形して得た最後の条件は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す条件である。その条件には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて条件の意味が明確にされる。
特に、ここをクリックした先の問題のように、数ＸとＹとが整数であると定義されている問題では、当初の条件が、更に、有限個の点(X,Y) の集合を列記した条件に同値変形される。
その問題では、与えられた方程式の解の有限個の点(X,Y) の集合にあてはまる方程式が複数ある。その複数の方程式は、同じ有限個の点(X,Y) の集合をあらわす、という共通点しかない。その有限個の点(X,Y) の集合をあらわす複数の方程式は、座標の値が整数の点(X,Y) 以外の余分な情報を含んでいる。その余分な情報があるので、それらの複数の方程式は互いに変換されない。その状況では、それらの方程式は、問題の解の本質を表現する基本的な式ではない。いずれの方程式も、「座標の値が整数の点(X,Y) 」という前提条件と結び付けられることで、余分な情報が消え、点の集合をあらわす条件Ｆという必要十分な情報になる。
そのように、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
上記の方程式に至る以下の同値変形をすると、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の条件から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の条件では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が条件の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
〘重要〙ここをクリックした先のyoutubeで、存在記号∃の意味を詳しく説明して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が冗長だと分かるレベルまでの知識を与えた上で、存在条件の代入原理が当たり前だと分かる知識を与え、存在条件の代入原理の応用の練習もさせ、更には、存在条件の代入原理を使って解く大学入試問題の２問を解いている。
とても参考になるので、是非視聴して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉が冗長だというのが当たり前と分かるレベルまで成長することが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例６》
以下の図に、同値変形する元の条件Ａのあらわす「方程式」の情報（点（ｘ，ａ）の情報）に、情報限定条件を加えて、条件Ａのあらわす情報から方程式中のパラメータｘを除外して、数ａの集合のみをあらわす情報にした条件Ａ’を同値変形する場合を考える。
この場合は、数ａの集合の情報あらわすために使われているパラメータｘは、数ａの情報には含まれない。それゆえ、数ａの集合をあらわす条件Ａ’の表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータｘは残す必要がない。
すなわち、条件Ａ’は、以下のように同値変形できる。
最初の同値変形によって、パラメータｘによるａの説明がａの情報に完全に取り込まれて、逆にｘがａで表されるようになった条件に同値変形された。その条件ではもはや、ａはｘによって説明されてはいないので、そのパラメータｘを残す必要はない。そのため、パラメータｘを除去した最後の条件に同値変形される。
《同値変形の例７》
同値変形する情報が、「方程式」という情報ではなく、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付属するパラメータは、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、方程式の群を同値変形しているわけではない。数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、条件を偽にしてしまうという、条件に甚大な被害を与えるような事項（それは条件があらわす情報を変える重大事項である）は、条件から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の表現】
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、以下の方程式(3) を使って点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき情報とは関係ない不要な情報になるので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
また、以下の式であらわす同値な関係も成り立っているのである。
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