楕円と双曲線と放物線の接線の公式を覚える

「微分・積分」の勉強
【研究】
　高校３年で学ぶ楕円の接線の式を含めた、
楕円と双曲線と放物線の接線の式は、
以下の（大学で学ぶ）微分の計算によって導くことができる。

【楕円の接線】
楕円　ｘ^２／ａ^２＋ｙ^２／ｂ^２＝１　（式１）です。

　楕円の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。

この式３が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。

ｚ＝１の場合が、通常のｘｙ座標系での接線の式です。

 この式６が楕円の接線の式です。

【双曲線の接線】
　双曲線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。

この式３が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。

 ｚ＝１の場合が、通常のｘｙ座標系での接線の式です。

 この式５が双曲線の接線の式です。

【放物線の接線】
　放物線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。

この式３が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。

 ｚ＝１の場合が、通常のｘｙ座標系での接線の式です。

 この式６が放物線の接線の式です。

　このようにして接線の式を導き出すことを覚えたら、このやりかたで直ぐ接線の公式を導き出すことができるようになるので、各図形の接線の公式を覚えないでも良くなり便利です。

リンク：
高校数学の目次

高次式の因数分解

【問題】　以下の５つの高次多項式を因数分解した式がある。
それぞれの式について、その式が成り立つ事を示せ。

（式５の解き方については、ここをクリックした先のページに解答を書きました）

（コメント）この問題は、
「代数入門 (現代数学への入門) 」（上野 健爾（著）岩波書店）
から引用しました。
　 「代数入門 (現代数学への入門) 」の本の前半は高校数学を教えていますので、前半は高校生が読めます。後半は大学生向けですが、高校生でも十分に数学を研究したい学生は大学入学を待たずに読んで良いと思います。
　後半の内容は、「群論」が説明されています。

（本ブログによるエピソード）
　1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。
ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失した。 その後、ガロアは、デモ活動で逮捕され、禁固6ヵ月の刑を受けた。刑期の仮出所の間に、決闘によって死んだ。（２１歳）
不良学生であったが、彼の代数学が、もっと正当に扱われていたら、結果は大分変っていたのではないかと悔やまれる若き天才だった。

リンク：
高校数学の目次

平方根の式を多項式に変換する（２次方程式が成り立つ場合）

【問題１】　以下の二次方定式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式１を変形する。

（解答おわり）

（コメント）
　この計算以外の方法では、以下の計算のように、
（１）式１を解いてαを求めて、
（２）その値を√αに代入することで二重根号の式を求め、
（３）その二重根号を外して答えを求めることもできる。

　それに対して、上の解答の式の計算では、
（１）途中の式３の左辺のαの係数の二乗根が二重根号にならないので、式４に二重根号が出てこない。
（２）この式４に式１で得たαを代入した値も、二重根号を使わないであらわすことができる。 
　すなわち、式４を求めてから、式１の解のαを式４に代入した値を求めることで、二重根号を外す計算をしないで答えが得られる。

 リンク：
高校数学の目次

平方根の式を多項式に変換する問題（３次方程式が成り立つ場合）

【問題１】　以下の３次方程式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式４を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式５を計算する。

式４と式５を式３に代入する。

以上の計算で根号を外すことができた。

次に、この分数式を普通の多項式に変換する。

（Ｃ）先ず、１／（α－１）を計算する。
　式１を（α－１）で割り算した式を作り、変形することで１／（α－１）をあらわす以下の式７を計算する。

（Ｄ）次に、１／（α＋１）を計算する。
　式１を（α＋１）で割り算した式を作り、変形することで１／（α＋１）をあらわす以下の式８を計算する。

式７と式８を式６に代入する。

（解答おわり）

【解答のブラッシュアップ】
　先の解答は、計算の発想順が明確で良い解答だと思います。しかし、計算の手順に無駄がありました。
式４を導く計算部分を以下のように変えると、分数式を経由せずに解答することができます。

そのようにして、解答を書き直すと、
以下のように解答できます。

（解答はじめ）
問題の式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式１０を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式１１を計算する。

 式１０と式１１を式３に代入する。

（解答おわり）

次に、この問題をより一般化した問題を解く。
【問題２】　以下の式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
問題の式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式４を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式５を計算する。

式４と式５を式３に代入する。

 計算をここで終えた方が答えの式が簡易な式になる。
（解答おわり）

（補足）
上の計算で、式４から６までの計算を以下の式７から９までの計算に変えた方が、より簡単な式で答えをあらわすことができると考える。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。

式７と式８を式３に代入する。

（解答おわり）

 リンク：
高校数学の目次

分数式を多項式に変換する問題（３次方程式が成り立つ場合）

【問題】　以下の式１が成り立つとき、分数式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式１を（α＋１）で割り算した以下の式３を計算する。

この式３を使って、式２の分子の値１を（α＋１）の倍数の式に置き換える。

（解答おわり） 
 
リンク：
高校数学の目次

二項定理に関連する公式

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^５
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ＝１とおけば、上の式１のように、２^５が組合わせの数_ｎＣ_ｒの和であらわされます。
上のように式１が得られたので、この式１を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式１を覚える気にはならないと思います。
（そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです）
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式１が成り立つのかを具体的に調べます。

何と！全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式１が別の方法で証明できるならばこの式１を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
（その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます）

そのために、組合せの数_ｎＣ_ｒの式の定義を使ってこの式１を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数_ｎＣ_ｒの式の変形可能性を調べます。

上のように、組合せの数_ｎＣ_ｒには、式２の関係があることを確認できました。
（この式２は覚えておきましょう）
この式２を使って、もう少し調べてみます。

この式３も成り立つことが分かりました。
この式３を使うことで、組合せの数_ｎＣ_ｒを、そのパラメータｎをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
（便利なので、この式３を覚えましょう）
下図では、各行の各項_ｎＣ_ｒが、式３に従って、その下の行の２つの項の和であらわされます。

上の図で、下方の行の各項が上方の行で２回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の２倍です。
それゆえ、式１が成り立ちます。
（式１の証明おわり）

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式１を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

リンク：
高校数学の目次

二項定理

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^６
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ^２の係数は、（ｘ＋１）の６つの項の積において掛け合わされる数の組み合わせが２^６個あるうちの、ｘを２つ選ぶ組合せの数＝６＊５／（２＊１）になります。

リンク：
高校数学の目次

当ブログは共謀罪法案の提出に反対します

共謀罪法案が閣議決定されようとしています。
当ブログは共謀罪法案の提出に反対します。

共謀罪法案は、内心を罰する法案であり、
科学の批判精神に敵対するものだからです。

当ブログは、日本の学生の数学の学力向上をめざして、
数学教育に努めてきましたが、

共謀罪の成立によって、
当ブログがこれまで行なってきた科学教育の努力が
全て無駄になってしまいます。

そのため、当ブログは、共謀罪法案の提出に反対します。
 

ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く

・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
以下のようにベクトルＡＥを分解する道ＡＯＥを視線でたどります。

ベクトルAE＝点Aから点Eまで行く道
です。

ベクトルＡＥを、以下の式のように、実数の未知数ｔを使ってベクトルａとベクトルｃであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする。
①は、視線がベクトルａを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”＋”のまま。

　ベクトルＡＥのＡからの道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けてベクトルＡＥの展開式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

また、以下の式を変形する公式については：

無理して公式を覚えるよりは、以下の様に視線で考えて（体で使う技を覚えて）計算する様にしましょう。

紐OAの向きを逆の紐AOにしてマイナスを無くし、
紐AOと紐OＥを共通の点Oでつないだ紐AOEにして、
紐AOE＝ベクトルＡＥにする。
（以上が、体の技として覚える公式）

また、以下の式で表されたベクトルＡＤの終端の点Ｄが線分ＢＣ上にある事は、以下の様に視線で考えて（体で使う技を覚えて）計算する様にしましょう。

 この式は、以下の様に、視線と手を使って（紙に書いて）考える。

（以上が、体の技として覚える公式）

《点Ｄが直線ＢＣ上にある公式の証明》
　念のために、以下で、上図の公式を証明しておきます。
　先ず、上図で点Ｄが直線ＢＣ上にあるとき、以下の式が成り立つ。

このとき、１－ｋをｂとおくと、以下の公式が成り立っている。

（公式の証明おわり）

リンク：
高校数学の目次