４次曲線の２点への接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】４次曲線
ｙ＝　ｘ^４－ｘ^２＋ｘ　（式１）
に、直線
ｙ＝ａｘ＋ｂ　（式２）
が相異なる２点で接するときａ、ｂの値を求めよ。

（解答の方針）
問題の条件をあらわす方程式の形に従って、問題の解き方が決まってしまう。問題を解き易い形に問題の条件をあらわすには、問題の条件を可能な限り図形であらわして問題の条件をどういう図形であわらすかを工夫することが大切です。

この問題では、グラフを想像しながら方程式（のあらわすグラフ）を変形して問題を解くことが大切なポイントです。

４次曲線は、上の図のようにあらわせる。
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根であることが、式２の直線が式１のグラフに２点で接する接線になる条件である。

ここで、そのような式３を求めるということは、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。

（１）４次曲線は、座標軸ｘを平行移動することで、３次の項が無い式になる（式１は既にそうなっている）。
（２）次に、その４次曲線はｘの１次の項を無くせば、ｙ軸に関して、ｘ方向の左右で対称な形のグラフになる。そのグラフは、ｘ軸に平行な直線に２点で接する。
 　すなわち、式３のｘの項の（１－ａ）＝０にすれば、ｘ軸に平行な線に接するグラフになる。
（３）そうすれば、ｙ軸に関して、ｘ軸方向で左右対称なグラフになるので、接点のｘ座標はαと－αとになる。
つまり、式４は、
ｙ＝（（ｘ－α）（ｘ＋α））^２＋Ｃ
ｙ＝（ｘ^２－α^２）^２＋Ｃ
というグラフになる。

このＣ＝０とするように、値ｂを調整したグラフにすれば、そのグラフはｘ軸に２点で接する。
そのようにグラフを変形するように、ａとｂを定めれば良い。

【解答１】
（１）
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式２の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。

（２）
先ず、
ａ＝１　（式５）
とすると、
式４は、以下の式になる。
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２－ｂ＝０　（式６）
この式６のグラフはｘ軸に平行な線に２点で接するグラフである。
この式６を変形する。
ｙ＝（ｘ^２－（１／２））^２－（１／４）－ｂ＝０　（式７）
（３）
次に、
ｂ＝－１／４　（式８）
とすると、
式７は以下の式になる。
ｙ＝（ｘ^２－（１／２））^２＝０　（式９）
この式９はｘ軸と２点で接するグラフである。
その接点のｘ座標は、
ｘ^２－（１／２）＝０
ｘ＝±√２／２

このように、式４で、ａ＝１、ｂ＝－１／４としたら、ｘ軸にｘ＝±√２／２で接する式９のグラフになったので、求める直線のａとｂは、
ａ＝１　（式５）
ｂ＝－１／４　（式８）
である。
（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形を思い描かないで計算力だけで答えを得ようとすると落とし穴に落ちる難問です。
　なぜなら、この問題で、（重なることを許した）２点で接するという問題と考えて計算力だけで答えを計算しようとすると、答えは：
（１）下凸の異なる２点で接する。
（２）下凸の１点と上凸の１点との２点が１点に重なった点で接する。
という２種類の答えが出て来るからです。
その２種類の答えのうち、（１）の答えのみが、異なる２点で接しますので、計算力で求めた答えを選別してやっと答えにたどり着きますので、その回り道をする分だけ時間がかかってしまうという落とし穴に落ちます。
　その落とし穴に落ちないために、先ず、グラフの図形を思い描いて答えの条件を絞り込んだ上で答えを計算することが望ましいです。

【解答２】
　以下で、図形を思い描かないで計算力だけで行なった解答例を示します。

（１）
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３は、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式２の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、式９であらわされる。

この式９の形をしている式 ｆ を微分した式ｇを計算する。

この式 ｇ と式 ｆ の最大公約多項式 ｈ が式１２になる。
「グラフが直線に相異なる２点で接する」という条件を、上の式１３であらわす。
（２）
　次に、ユークリッドの互除法を利用して式 ｆ を式 ｇ で割り算した余り ｈ が式 ｆ と ｇ の最大公約多項式になる条件を導き出す。

ここで、この余りの式 ｈ ＝式１２に関する式１３の条件は、以下の式１５であらわせる。

余りの式 ｈ が式 ｆ と ｇ の最大公約多項式になる条件は、この式 ｈ で式 ｇ を割り算した余り ｋ が０になることである。

この式１６であらわされる余りの多項式 ｋ が０になる。
そのため、以下の式１７と１８が成り立つ。

（３）
この式１７と１８を連立して解を求め、その解のうち、式１５を満足する解を選別する。
式１８から式１９が得られる。

この解は式１５を満足した。
次に、ｂ＝１／１２の場合の解を調べる。

この解は式１５を満足しない。
よって、求める解は、
ａ＝１，
ｂ＝－１／４，
である。
（解答おわり）

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