【円の外の拡張円周角】
上図のように、円周角Ａと同じ角の、
円の外の角
∠ＢＤＥと
∠ＣＤＦ
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。
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中学数学の目次
円の外の角
∠ＢＤＥと
∠ＣＤＦ
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。
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2017年10月30日月曜日
2017年10月29日日曜日
角の二等分線の長さ－相似図形による定理の証明
以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を適用する問題です。
【問１】 （難問）
上図のように、三角形ＡＢＣの頂角Ａの二等分線の長さｍに間して式１が成り立つことを証明しなさい。
（注意）
この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
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余弦定理やベクトルを使った解答
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【問１】 （難問）
（注意）
この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
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余弦定理やベクトルを使った解答
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2017年10月28日土曜日
想像力を使う角度連動公式
【角度連動公式】
上図で、
∠ＡＭＢ＝∠ＥＯＦ
とすると、
∠ＯＡＭ＝∠ＦＭＢ
になることが、
以下の図を想像することで分かる。
先ず、
∠ＡＭＢ＝∠ＥＯＦ
である２つの角ＡＭＢと角ＥＯＢが
同じ位置に重なって
点Ｍ＝点Ｏ
となっている場合を想像する。
次に、
点Ｍが点Ｏからわずかにずれた場合の上図を想像する。
上図を想像すると、
わずかな角度の
∠ＯＡＭ
と
∠ＦＭＢ
が連動して生まれることが想像できます。
これらの、連動して生まれる角度は、以下の様に生まれる。
∠ＡＭＢの値を∠ＥＯＦに等しい一定の角度に維持するために、
線分ＡＭと線分ＭＢが連動して同じ角度だけ回転する。
その線分ＡＭとＭＢの連動した回転に由来して、
∠ＯＡＭ＝∠ＦＭＢ
になる。
（角度連動公式）
（補足）
このように、連動する角度を想像することで、
連動して生まれる角度が等しいことが素早く把握できます。
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∠ＡＭＢ＝∠ＥＯＦ
とすると、
∠ＯＡＭ＝∠ＦＭＢ
になることが、
以下の図を想像することで分かる。
∠ＡＭＢ＝∠ＥＯＦ
である２つの角ＡＭＢと角ＥＯＢが
同じ位置に重なって
点Ｍ＝点Ｏ
となっている場合を想像する。
次に、
点Ｍが点Ｏからわずかにずれた場合の上図を想像する。
上図を想像すると、
わずかな角度の
∠ＯＡＭ
と
∠ＦＭＢ
が連動して生まれることが想像できます。
これらの、連動して生まれる角度は、以下の様に生まれる。
∠ＡＭＢの値を∠ＥＯＦに等しい一定の角度に維持するために、
線分ＡＭと線分ＭＢが連動して同じ角度だけ回転する。
その線分ＡＭとＭＢの連動した回転に由来して、
∠ＯＡＭ＝∠ＦＭＢ
になる。
（角度連動公式）
（補足）
このように、連動する角度を想像することで、
連動して生まれる角度が等しいことが素早く把握できます。
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2017年10月27日金曜日
二重相似の公式と折り返し図形の点の位置
【公式】
上式のように、Ｘ軸に原点Ｏと点Ａがある。
ＯＡ＝ｓ
である。
Ｘ軸から離れた位置の点ＢからＸ軸へ下ろした垂線のＸ軸上への足をＣとする。そして、
ＡＣ＝１，
ＢＣ＝ａ
とする。
線分ＡＢの延長線ＤＡを折り目線にして原点Ｏに頂点を持つ図形（三角形ＯＡＤ）を折り返すことでＯ点の位置の頂点をＦ点に移す。
線分ＯＦとＤＡの交点をＥとする。
点ＥのＸ軸へ下ろした垂線の足をＧとする。
そのとき、
となることを証明せよ。
（二重相似の公式）
（解説）
この二重相似の公式によって、
原点Ｏの位置の頂点を折り返した点Ｆの位置座標が、
で計算できる。
二重相似の公式によって、頂点Ｏを折り返した位置Ｆの座標を計算する式の分母がｃの二乗になっている。
これにより、ｃを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
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ＯＡ＝ｓ
である。
Ｘ軸から離れた位置の点ＢからＸ軸へ下ろした垂線のＸ軸上への足をＣとする。そして、
ＡＣ＝１，
ＢＣ＝ａ
とする。
線分ＡＢの延長線ＤＡを折り目線にして原点Ｏに頂点を持つ図形（三角形ＯＡＤ）を折り返すことでＯ点の位置の頂点をＦ点に移す。
線分ＯＦとＤＡの交点をＥとする。
点ＥのＸ軸へ下ろした垂線の足をＧとする。
そのとき、
（二重相似の公式）
（解説）
この二重相似の公式によって、
原点Ｏの位置の頂点を折り返した点Ｆの位置座標が、
二重相似の公式によって、頂点Ｏを折り返した位置Ｆの座標を計算する式の分母がｃの二乗になっている。
これにより、ｃを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
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2017年10月25日水曜日
平行線と線分の比の問題
【問１】
上図のように、ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，∠ＡＢＣ＜９０°である平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、∠ＤＡＢの二等分線と辺ＢＣのＣの方へ延長した直線との交点をＥとする。線分ＡＥと対角線ＢＤ，辺ＣＤとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。
ＧＥ＝３のとき、線分ＦＧの長さ ｘ を求めなさい。
（注意）
この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。
この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。
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ＧＥ＝３のとき、線分ＦＧの長さ ｘ を求めなさい。
（注意）
この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。
この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。
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2017年10月23日月曜日
ラングレーの難問
以下の問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
【問】（超難問）
上図の四角形ＡＢＣＤにおいて、角ＡＣＤ＝θを求めなさい。
（注意）
図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。
この問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
くれぐれも、安易に解答を見ないように。
この問題を解こうとする努力によって得られる「知能向上」を受け損ねないように注意してください。
解答は、ここをクリックした先のページにあります。
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【問】（超難問）
（注意）
図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。
この問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
くれぐれも、安易に解答を見ないように。
この問題を解こうとする努力によって得られる「知能向上」を受け損ねないように注意してください。
解答は、ここをクリックした先のページにあります。
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2017年10月19日木曜日
正しい数学の勉強のしかた
正しい数学の勉強のしかた。
（１）難問を解く努力（解けないけどあきらめない）
（２）力つきて（しかたなく）眠る
このような努力をすると、
その様に勉強した後、眠って、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、
朝がとても気持ち良くなります。
この繰り返しが、学生の知能を上げます。
そのため、難問が簡単にとけてしまって、
難問という、とことん努力する課題を無くしてしまって、
知能を上げるホルモンの分泌をじゃましてはいけない
と考えます。
そのため、全ての難問の簡単な解き方を教えてしまって、
何もかも簡単にしてしまってはいけない
とも考えます。
難問は解けないですが、それを解く努力を続けること。
努力の後は十分眠って知能を高めること。
そして、その努力の過程で
（まだ問題が解けていない間に）
成果として得られた「知能」を、
他の課題の勉強のためにも使う知恵が大切です。
問題が解けていない矛盾をかかえ、
気分を変えて、その問題以外のことに取り組むことが、
成果として得られた「知能」を楽しむバランス感覚です。
（このことをよく自覚すること）
学生は自分で、何かをつかみ取る努力をすること。
そして、望んでも解答が得られない間
（すなわち、知能が高まる時）をよく自覚して、
それを省略しようとせず、
がまんして耐え、他のこともしっかり行う忍耐を養う。
それが、一番大切な勉強方法だと思います。
リンク：
勉強法がわからない人に取り入れてほしい5つの勉強法
中学数学の目次
（１）難問を解く努力（解けないけどあきらめない）
（２）力つきて（しかたなく）眠る
このような努力をすると、
その様に勉強した後、眠って、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、
朝がとても気持ち良くなります。
この繰り返しが、学生の知能を上げます。
そのため、難問が簡単にとけてしまって、
難問という、とことん努力する課題を無くしてしまって、
知能を上げるホルモンの分泌をじゃましてはいけない
と考えます。
そのため、全ての難問の簡単な解き方を教えてしまって、
何もかも簡単にしてしまってはいけない
とも考えます。
難問は解けないですが、それを解く努力を続けること。
努力の後は十分眠って知能を高めること。
そして、その努力の過程で
（まだ問題が解けていない間に）
成果として得られた「知能」を、
他の課題の勉強のためにも使う知恵が大切です。
問題が解けていない矛盾をかかえ、
気分を変えて、その問題以外のことに取り組むことが、
成果として得られた「知能」を楽しむバランス感覚です。
（このことをよく自覚すること）
学生は自分で、何かをつかみ取る努力をすること。
そして、望んでも解答が得られない間
（すなわち、知能が高まる時）をよく自覚して、
それを省略しようとせず、
がまんして耐え、他のこともしっかり行う忍耐を養う。
それが、一番大切な勉強方法だと思います。
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勉強法がわからない人に取り入れてほしい5つの勉強法
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2017年10月15日日曜日
公式の証明の補助線をまねて使って解く
【問１】（難問）
上の図において、円Ｏの半径は１２で、直径ＡＢをＢＤ＝４となるように延長した点がＤ、またＡＢ⊥ＣＯである。ＣＤと円Ｏの交点がＥである。
このとき、弦ＥＢの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
リンク：
中学数学の目次
このとき、弦ＥＢの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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2017年10月14日土曜日
三角形の面積を３辺から計算する
【問１】
上図の三角形の面積Ｓを求めよ。
【問２】
上図の三角形の面積Ｓを求めよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
解答のページに、この種の計算を楽にする頂点を選ぶ工夫を書きましたので、問題を解いた後に、この解答ページも見てください。
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【問２】
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
解答のページに、この種の計算を楽にする頂点を選ぶ工夫を書きましたので、問題を解いた後に、この解答ページも見てください。
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三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係
以下で、三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）と、三角形の中線の長さの公式との関係を整理します。
【中線の長さの公式（中線定理）】
上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１が成り立つ。式１は式２の形に書き変えて使うことができる。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
この中線の長さの公式（中線定理）以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。
【頂点からの距離の積の公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積が以下の式であらわされる。
ＡＨ×ＡＢ＝ｍ２－ｓ２
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
一方、中点の長さの公式は：
（ｂ２＋ｃ２）／２＝ｍ２＋ｓ２
である。
これらから、ＡＨが以下の通り計算できる。
三角形の頂点Ｃの辺ＡＢ上への足Ｈまでの長さＡＨ
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。
【三角形の頂点の足の位置の公式】
上図の三角形ＡＢＣの頂点Ａの左右へのずれを計算する上の式が成り立つ。
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。
この式を使うと頂点Ａの辺ＢＣ上への足Ｄと点Ｂの間の長さＢＤが計算できる。
この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
上の図は、下の図をいっしょに覚えると覚え易いです。
この図から、以下の関係が成り立っている事も思い出せます。
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【中線の長さの公式（中線定理）】
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
この中線の長さの公式（中線定理）以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。
【頂点からの距離の積の公式】
ＡＨ×ＡＢ＝ｍ２－ｓ２
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
一方、中点の長さの公式は：
（ｂ２＋ｃ２）／２＝ｍ２＋ｓ２
である。
これらから、ＡＨが以下の通り計算できる。
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。
【三角形の頂点の足の位置の公式】
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。
この式を使うと頂点Ａの辺ＢＣ上への足Ｄと点Ｂの間の長さＢＤが計算できる。
この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
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2017年10月13日金曜日
三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）
以下の公式は、
円からはみ出す△ＡＨＤ∽△ＡＥＢの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積：
ＡＨ×ＡＢ
が、
辺ＢＣを直径２ｓとする円の中心Ｏと頂点Ａを結ぶ線と円との交点ＤとＥに関する線分の積：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
に等しいことを証明しなさい。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
（補足）
この公式：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
を覚えたい人は、この式のままでは覚えにくいと思います。
式を覚えるための工夫：
(1)点ＡからＡＯを２倍して延長した点Ｆを頂点の１つにする平行四辺形ＡＢＦCを考えて、
(2)その平行四辺形の２つの対角線ＡＦとＢＣを考えて、
４ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＦ)２－（ＢＣ）２
という式に変換して公式を覚える方が覚えやすいと思います。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
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円からはみ出す△ＡＨＤ∽△ＡＥＢの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
ＡＨ×ＡＢ
が、
辺ＢＣを直径２ｓとする円の中心Ｏと頂点Ａを結ぶ線と円との交点ＤとＥに関する線分の積：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
に等しいことを証明しなさい。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
（補足）
この公式：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
を覚えたい人は、この式のままでは覚えにくいと思います。
式を覚えるための工夫：
(1)点ＡからＡＯを２倍して延長した点Ｆを頂点の１つにする平行四辺形ＡＢＦCを考えて、
(2)その平行四辺形の２つの対角線ＡＦとＢＣを考えて、
４ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＦ)２－（ＢＣ）２
という式に変換して公式を覚える方が覚えやすいと思います。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
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2017年10月12日木曜日
知識不足を想像力で補う
【問題】
上図で、ＡＤ＝ＢＤ＝１２である。
ＤＣ＝４で、ＤＣの中点をＮとする。
ＡＢ＝１６で、ＡＢの中点をＭとする。
∠ＡＣＢ＝９０°
とする。
このとき、ＭＮの長さを求めよ。
（解答の方針）
この問題は、三角形ＭＣＢの辺ＣＤの中点Ｎと頂点Ｍを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。
しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
（高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います）
【解答】
以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
直角三角形ＡＭＤの辺の長さを計算するのを、相似な三角形を想像して、その辺を計算することで求めます。
三角形ＤＭＣについて、相似な三角形を想像します。
寸法が簡単な相似な三角形を見ると、三平方の定理により、この三角形が直角三角形であることがわかります。
∠Ｃが直角なので、線分ＭＮの長さは直角三角形ＮＭＣの斜辺を計算すれば良くなり、問題が簡単になりました。
（この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました）
よって、
（解答おわり）
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ＤＣ＝４で、ＤＣの中点をＮとする。
ＡＢ＝１６で、ＡＢの中点をＭとする。
∠ＡＣＢ＝９０°
とする。
このとき、ＭＮの長さを求めよ。
（解答の方針）
この問題は、三角形ＭＣＢの辺ＣＤの中点Ｎと頂点Ｍを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。
しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
（高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います）
【解答】
以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
（この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました）
よって、
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三角形の中線の長さの公式（中線定理）
【中線の長さの公式（中線定理）】
上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１又は式２が成り立つことを証明しなさい。
中線定理は、上図の平行四辺形の、
対角線の二乗の和＝２（ｂ２＋ｃ２）
という公式だと覚えて下さい。
《重要な注意》
高校で「ベクトルの内積」を学ぶと、中線定理が簡単に導き出せるようになります。そのベクトルの内積を利用する計算方法が中線定理の究極の導出方法になります。ベクトルの内積を学ぶと、中線定理を暗記する必要が無くなります。
ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理も覚え易くなります。
ベクトルを学びましょう。
対角線の二乗の和＝２（ｂ２＋ｃ２）
《重要な注意》
高校で「ベクトルの内積」を学ぶと、中線定理が簡単に導き出せるようになります。そのベクトルの内積を利用する計算方法が中線定理の究極の導出方法になります。ベクトルの内積を学ぶと、中線定理を暗記する必要が無くなります。
ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理も覚え易くなります。
ベクトルを学びましょう。
やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》
の９章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。
「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト：
「【期末対策】「ベクトル」を１週間でマスターしよう！玉名高校2年生必見！」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/
「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・Ｂ〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》
ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。
でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。
そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。
イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。
まずはこれを読み進めましょう。
ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ（約130ページ）に分かれています。
なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」
以上のように助言されていますが、
種々の定理を覚えるための「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの３５ページを読むだけで足りる。
７３７ページから７７２ページまで読めば良い。（１日で読めると思います）。
（補足１）
中線定理は覚え易い定理ですが、高校入試問題で中線定理を使うよう誘導している問題を見ると、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
その出題高校の意図を推測すると、
「単に中線定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
そのため、この中線定理を学ぶ目的は、
この中線定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この定理を自力で証明するまで解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。
また、中線定理を一旦覚えても、他の定理を覚えていくと、記憶がごちゃごちゃになって、結局、覚えたハズの中線定理を忘れ去ってしまいます。中線定理の暗記は無駄で、それを速やかに導き出す道（根源的な導出の道）を覚える事が大切です。中線定理を使う必要がある場合には、毎回、その道をたどって速やかに中線定理を導き出して使う、その導出の道を覚えましょう。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページに書きました。
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高校数学の目次
2017年10月11日水曜日
三角形の頂点からの距離の積の公式
距離の積の公式は、ある三角形同士の相似の公式です。
【公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの垂心Ｈに関して、頂点Ａからの各点までの距離の積が等しいことを証明しなさい。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この公式の証明は、ここをクリックした先にあります。
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【公式】
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
この公式の証明は、ここをクリックした先にあります。
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2017年10月9日月曜日
円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ
円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さの計算は、
２つの場合に応じて、解き方が変わります。
【第１の場合】
三角形ＡＥＤと三角形ＢＥＣは相似です。
△AED ∽ △BEC
上図のように、三角形ＡＥＤの辺ＡＤの長さａ１と三角形ＢＥＣの辺ＢＣの長さａ２が異なる場合は、
相似な三角形同士で辺の比が同じであることを表す方程式１と２を立てて、以下のように計算して長さｘとｙを求めます。
【第２の場合】
上図のように、三角形ＡＥＤの辺ＡＤと三角形ＢＥＣの辺ＢＣの長さａが同じ場合は、
先ず、頂点Ｄの足Ｆを考え、ＦＢ＝Ｃ２を計算する。
この式は、ここをクリックした先に書きました。
そして、このＣ２を使った式６の計算で長さｚを求めます。
この式６は、以下の計算で導き出します。
この式を変形して式６を得る。
（補足）
この第２の場合で、線分ＤＣの長さもわかっている場合は、
（１）
Ｃ２＝（ＡＢ＋ＤＣ）／２
で計算できます。
また、
（２）相似な△ＥＣＤと△ＥＢＡの辺ＣＤの長さと辺ＢＡの長さが等しくない場合は、第１の場合の計算を使うことができます。
（３）辺ＣＤの長さと辺ＢＡの長さが等しく、辺ＡＤの長さと辺ＢＣの長さも等しい場合は、四角形ＡＢＣDが長方形になり、簡単に解けます。
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２つの場合に応じて、解き方が変わります。
【第１の場合】
△AED ∽ △BEC
上図のように、三角形ＡＥＤの辺ＡＤの長さａ１と三角形ＢＥＣの辺ＢＣの長さａ２が異なる場合は、
相似な三角形同士で辺の比が同じであることを表す方程式１と２を立てて、以下のように計算して長さｘとｙを求めます。
【第２の場合】
先ず、頂点Ｄの足Ｆを考え、ＦＢ＝Ｃ２を計算する。
そして、このＣ２を使った式６の計算で長さｚを求めます。
（補足）
この第２の場合で、線分ＤＣの長さもわかっている場合は、
（１）
Ｃ２＝（ＡＢ＋ＤＣ）／２
で計算できます。
また、
（２）相似な△ＥＣＤと△ＥＢＡの辺ＣＤの長さと辺ＢＡの長さが等しくない場合は、第１の場合の計算を使うことができます。
（３）辺ＣＤの長さと辺ＢＡの長さが等しく、辺ＡＤの長さと辺ＢＣの長さも等しい場合は、四角形ＡＢＣDが長方形になり、簡単に解けます。
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2017年10月8日日曜日
図形を対称な形に完成させてから解く
【問１】（難問）
上の図のように、四角形ＡＢＣＤが円に内接していて、
ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝４、ＢＣ＝６である。
円周上に、点Ｄと異なる点ＰをＢＤ＝ＢＰとなるようにとる。このとき、ＡＰの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、足りない図形は埋め、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
図形をどのような対称な形に完成させるかは、ここをクリックした先に書きました。
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ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝４、ＢＣ＝６である。
円周上に、点Ｄと異なる点ＰをＢＤ＝ＢＰとなるようにとる。このとき、ＡＰの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、足りない図形は埋め、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
図形をどのような対称な形に完成させるかは、ここをクリックした先に書きました。
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高校受験用：三角形の高さと外接円の半径Ｒの関係
以下の、
「外接円の半径Ｒと三角形の高さｈの関係の式」
は、高校入学試験問題を解く上で便利な式です。
【公式】
三角形の外接円の半径Ｒに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
（補足）
この公式は、以下の図のように頂点Ａから引いた２つの線の長さの積が等しいという関係です。
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「外接円の半径Ｒと三角形の高さｈの関係の式」
は、高校入学試験問題を解く上で便利な式です。
【公式】
この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
（補足）
この公式は、以下の図のように頂点Ａから引いた２つの線の長さの積が等しいという関係です。
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2017年10月7日土曜日
180度の５分の１の頂角の二等辺三角形の辺の長さ
【問１】
上の図のように、１８０度の５分の１の３６度の頂角Ａを持つ二等辺三角形ＡＢＣがある。
この二等辺三角形の辺の長さｙを、補助線ＣＥとＢＤを利用して解け。
ただし、線分ＢＤは∠Ｂの二等分線であり、線分ＣＥは∠Ｃの二等分線である。
この問題の答えは、ここをクリックした先のページにあります。
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この二等辺三角形の辺の長さｙを、補助線ＣＥとＢＤを利用して解け。
ただし、線分ＢＤは∠Ｂの二等分線であり、線分ＣＥは∠Ｃの二等分線である。
この問題の答えは、ここをクリックした先のページにあります。
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2017年10月6日金曜日
足りない図形を埋めてから解く
【問１】（難問）
上の図のように、点Ｏを中心とする直径ＡＢが４である半円を、弦ＣＤを折り目にして折り返したら、線分ＡＢと弧ＣＤが線分ＡＢ上の点Ｐで接した。ＯＰ＝１のとき、
弦ＣＤの中点をＭとするとき、
ＯＭの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、足りない図形を埋めて図形を完成させてから問題を解くように心がけてください。
図形をどのような形に完成させるかは、ここをクリックした先のページに書きました。
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弦ＣＤの中点をＭとするとき、
ＯＭの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、足りない図形を埋めて図形を完成させてから問題を解くように心がけてください。
図形をどのような形に完成させるかは、ここをクリックした先のページに書きました。
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2017年10月4日水曜日
三角形の辺と角度の難問
【問１】（難問）
上の図のように、ＯＡ＝１，ＯＢ＝３とする。
∠ＯＰＡ＝∠ＡＰＢ
のとき、
ＯＰの長さを求めなさい。
【解答】
この問題では、以下の様に、水平線上の点の高さの比の公式を使って解く。
先ず、線分ＰＡを、高さ０（０ｈ）の水平線であるものとする。
点Ｂの水平線上の高さを（２ｈ）とすると、
点Ｏの高さは（－ｈ）になる。
∠ＯＰＡ＝∠ＡＰＢであり
水平線ＰＡに対する傾きが同じ斜め線に、この高さの比が反映されて、
ＢＰ：ＯＰ＝２：１
になる。
ここで、正三角形を２分した直角三角形の各辺同士の長さの比を思い出すこと。
直角三角形ＯＰＢは、斜辺と他の辺の比が、正三角形を２分した直角三角形の斜辺と他の辺の比と同じなので、
その直角三角形と相似である。
よって、
∠ＯＰＢ＝６０°
正三角形を２分した直角三角形との相似比を用いて計算した結果、
ＯＰ＝√３
である。
（解答おわり）
（補足）
この計算過程を答案に書く場合に、
（もし覚えていれば）
「三角形の角の二等分線の公式により、
ＯＰ：ＢＰ＝ＯＡ：ＢＡ＝１：２
である。」
と、答案に書いても良いが、
上に書いた様に考えて解く方が、
より応用が利く解き方なので、
優れていると思う。
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∠ＯＰＡ＝∠ＡＰＢ
のとき、
ＯＰの長さを求めなさい。
【解答】
この問題では、以下の様に、水平線上の点の高さの比の公式を使って解く。
先ず、線分ＰＡを、高さ０（０ｈ）の水平線であるものとする。
点Ｏの高さは（－ｈ）になる。
∠ＯＰＡ＝∠ＡＰＢであり
水平線ＰＡに対する傾きが同じ斜め線に、この高さの比が反映されて、
ＢＰ：ＯＰ＝２：１
になる。
その直角三角形と相似である。
よって、
∠ＯＰＢ＝６０°
ＯＰ＝√３
である。
（解答おわり）
（補足）
この計算過程を答案に書く場合に、
（もし覚えていれば）
「三角形の角の二等分線の公式により、
ＯＰ：ＢＰ＝ＯＡ：ＢＡ＝１：２
である。」
と、答案に書いても良いが、
上に書いた様に考えて解く方が、
より応用が利く解き方なので、
優れていると思う。
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水平線上の点の高さの比の公式
【水平線上の点の高さの比の公式】
上の図のように、ＯＡ＝６，ＯＢ＝４の三角形ＯＡＢにおいて、
ＡＰ：ＢＰの比を求めよ。
【解答】
この問題では、
線分ＯＡを、高さ０（０ｈ）の水平線とする。
点Ａの水平線上の高さを（６ｈ）とする。
すると、
点Ｂの高さは（－４ｈ）になる。
この高さの比が反映されて、
ＡＰ：ＰＢ＝６：４＝３：２
になる。
（解答おわり）
（補足）
この結果は、
∠ＡＯＢの二等分線ＯＰと線分ＡＢの交点をＰとすると、
ＯＡ：ＯＢ＝ＰＡ：ＰＢ
となる
（角の二等分線の公式）
を示している。
角の二等分線の公式は、上の計算のように、
水平線上の点の高さの比の計算で即座に導き出すことができるので、無理して覚えなくても良い。
上の解き方のパターン、すなわち、水平線上の点の高さの比の公式を、第一に優先して覚えてください。
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ＡＰ：ＢＰの比を求めよ。
【解答】
この問題では、
線分ＯＡを、高さ０（０ｈ）の水平線とする。
点Ａの水平線上の高さを（６ｈ）とする。
すると、
点Ｂの高さは（－４ｈ）になる。
この高さの比が反映されて、
ＡＰ：ＰＢ＝６：４＝３：２
になる。
（解答おわり）
（補足）
この結果は、
∠ＡＯＢの二等分線ＯＰと線分ＡＢの交点をＰとすると、
ＯＡ：ＯＢ＝ＰＡ：ＰＢ
となる
（角の二等分線の公式）
を示している。
角の二等分線の公式は、上の計算のように、
水平線上の点の高さの比の計算で即座に導き出すことができるので、無理して覚えなくても良い。
上の解き方のパターン、すなわち、水平線上の点の高さの比の公式を、第一に優先して覚えてください。
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2017年10月2日月曜日
子供を理系に育てる勧め
子を持つ親にお勧めします。
子供は理系に育てることをお勧めします。
何故なら、子育てが楽になるからです。
小学生の間は親に素直に従う子は良い子だと思います。
しかし、思春期の子は、特に親が勉強に干渉すると、
特に、数学の模範解答を、子供ためと思って覚えさせよう教えようとすると、
「ウルセイ！」
と言って反発する子は、完全に理系の子であって、
自分で勝手に勉強するので、安心と思います。
なぜなら、本当に理系に染まっている子には、参考書の模範解答は正しい答えでは無いことが本能的に分かっているからです。
そういう。本質が分かっている子は、
親が押し付け教育をしようとすると、
「ウルセイ！｝
と言って反発するからです。
親は、反抗期だと思って心配するかもしれませんが、
全く心配する必要はありません。
なぜなら、以下の理系学生の心構えがあるからです。
【解答の心構え】
数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
（問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない）
問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
-----おわり------
これが分かっている理系学生は、
親の押し付け教育に反発します。
それが理系学生の正常な反応と思います。
（間違っていたらゴメンナサイ）
理系学生は、野良猫の一種で、
夜遅くまでヘロヘロになるまで勉強したりします。
その勉強をする理由は、その様に勉強した後、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、朝がとても気持ち良いからです。
人間とは自分勝手であって、また、複雑なのだと、つくづく思います。
結論：
理系の子は育てるのが楽なので、子供は理系に育てるのが良いと思います。
「算数オリンピックの長尾賞」
の記事が良い。
「長尾くんは、中学１年生のときから、ぼくの塾に入会した。すでに塾業界ではその名は天才として轟いており、彼を教えることになった(なってしまった)ぼくは戦々恐々となっていた。
数学の早熟の天才というには、嫌な奴が少なくない。自信過剰で、人を見下し、視線さえ合わせることのできないコミュニケーション障害があったりする。
でも、長尾くんはその手のタイプとは違っていた。礼節をわきまえ、物静かで、そして健やかな中学生だった。」
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子供は理系に育てることをお勧めします。
何故なら、子育てが楽になるからです。
小学生の間は親に素直に従う子は良い子だと思います。
しかし、思春期の子は、特に親が勉強に干渉すると、
特に、数学の模範解答を、子供ためと思って覚えさせよう教えようとすると、
「ウルセイ！」
と言って反発する子は、完全に理系の子であって、
自分で勝手に勉強するので、安心と思います。
なぜなら、本当に理系に染まっている子には、参考書の模範解答は正しい答えでは無いことが本能的に分かっているからです。
そういう。本質が分かっている子は、
親が押し付け教育をしようとすると、
「ウルセイ！｝
と言って反発するからです。
親は、反抗期だと思って心配するかもしれませんが、
全く心配する必要はありません。
なぜなら、以下の理系学生の心構えがあるからです。
【解答の心構え】
数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
（問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない）
問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
-----おわり------
これが分かっている理系学生は、
親の押し付け教育に反発します。
それが理系学生の正常な反応と思います。
（間違っていたらゴメンナサイ）
理系学生は、野良猫の一種で、
夜遅くまでヘロヘロになるまで勉強したりします。
その勉強をする理由は、その様に勉強した後、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、朝がとても気持ち良いからです。
人間とは自分勝手であって、また、複雑なのだと、つくづく思います。
結論：
理系の子は育てるのが楽なので、子供は理系に育てるのが良いと思います。
「算数オリンピックの長尾賞」
の記事が良い。
「長尾くんは、中学１年生のときから、ぼくの塾に入会した。すでに塾業界ではその名は天才として轟いており、彼を教えることになった(なってしまった)ぼくは戦々恐々となっていた。
数学の早熟の天才というには、嫌な奴が少なくない。自信過剰で、人を見下し、視線さえ合わせることのできないコミュニケーション障害があったりする。
でも、長尾くんはその手のタイプとは違っていた。礼節をわきまえ、物静かで、そして健やかな中学生だった。」
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2017年10月1日日曜日
中学数学の目次
中学数学の全般については、
中学から数学だいすき！のサイトと、
最新の高校入試問題の解説のサイトと、
NoSchoolと、
まっつんのお役立ちチャンネルのサイトが
参考になると思います。
以下では、中学数学の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。
【小学さんすうのもくじ】
数学が得意になる考え方
数学の力とは
子供を理系に育てる勧め
正しい数学の勉強のしかた
神奈川、東京の中高一貫校生と公立高校受験組との差
【分数】
正しい分数の計算
【試験中に心を落ちつかせる】
試験中に心を落ちつかせる：図形の線形変換
【連立方程式】
連立方程式の計算をやさしくする
解の無い連立方程式
無数の解がある連立方程式の高校生の解答
【２次方程式】
平方完成の公式
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
２次方程式の解き方（解の公式を使わず以下の様に解く）
【図形】
参考書「中学 数学 自由自在」では、メネラウスの定理や方べきの定理まで教えている。
そのため、このブログでも、それらも中学の数学の範囲とみなす。
ピタゴラスの定理
三角形の辺の二乗の引き算の公式
拡張三平方の定理
三角錐の体積の公式
微妙な合同の条件
想像力を使う角度連動公式
ＸＹ座標系と二等辺三角形に関する問題
高校入試の難問の解き方
足りない図形を埋めてから解く
図形を対称な形に完成させてから解く
「三角形の性質」
三角形の重心をとらえる想像の翼
（１）線分の長さと比
水平線上の点の高さの比の公式
（２）三角形の角の２等分線
（その２）
平行線と線分の比の問題
中線の長さの公式（中線定理）
知識不足を想像力で補う
角の二等分線の長さ－相似図形による定理の証明
三角形の底辺を頂点の足で分割する問題
３辺が定まった三角形の頂点の足の位置
三角形の面積を３辺から計算する
三角形の高さの公式を導く
三角形の頂点からの距離の積の公式
三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）
三角形の垂心の周りの角度
三角形の垂心を通る線分の長さの積が同じ
三角形の垂心の高さ
三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係
二等辺三角形と直角三角形の辺の長さの関係
180度の５分の１の頂角の二等辺三角形の辺の長さ
頂角３６°の直角三角形の辺の長さ
図形を完成させる手順の例
三角形の辺と角度の難問
ラングレーの難問
「作図」
作図の難問
「折り返し図形」
二重相似の公式と折り返し図形の点の位置
「円の性質」
中学で習う円周角のまとめ
円の外の拡張円周角の定理
使い易い形の拡張円周角の定理と円周角の定理
円の外の点に拡張した円周角の定理
円の中の点に拡張した円周角の定理
接弦定理を思い出す視線：微小変位の想像の翼
点を微小に移動し接弦定理と拡張円周角の定理を思い出す
三角形の外角の二等分線と外接円の交点
公式の証明の補助線をまねて使って解く
図形を先ずなるべく対称な形に完成させる
（４８）三角形と円の角度の関係図形をおぼえる
円と直線の関係の問題１
（２／２）方べきの定理の証明
問題をやさしくする数学（２７）方べきの定理を思い出す視線
等しい長さの証明
高校受験用：三角形の高さと外接円の半径Ｒの関係
円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ
計算がややこしい問題の先行検算
相似図形の難問
線分の長さが一定の証明
「メネラウスの定理等」
メネラウスの定理の証明：線の垂直線への射影の利用
メネラウスの定理
チェバの定理
スーパーメネラウスの定理
メネラウスの定理に係わる難問（究極の方法）
等しい角度を傾きで比較する問題
【立体図形】
立体図形の想像力
自分の想像力を助けることを覚えること
立体図形の頂点から面への垂線の長さ
立体図形のややこしい問題
平面の水平面に対する傾き
直方体の角の断片の四面体の展開図
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算数の実践
算数ランド
算数・数学教育のホームページ
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学びの場
中学から数学だいすき！
数学の小部屋
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三角形の性質
学ぶ 教える.com
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まっつんのお役立ちチャンネルのサイトが
参考になると思います。
以下では、中学数学の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。
【小学さんすうのもくじ】
数学が得意になる考え方
数学の力とは
子供を理系に育てる勧め
正しい数学の勉強のしかた
神奈川、東京の中高一貫校生と公立高校受験組との差
【分数】
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【試験中に心を落ちつかせる】
試験中に心を落ちつかせる：図形の線形変換
【連立方程式】
連立方程式の計算をやさしくする
解の無い連立方程式
無数の解がある連立方程式の高校生の解答
【２次方程式】
平方完成の公式
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
２次方程式の解き方（解の公式を使わず以下の様に解く）
【図形】
参考書「中学 数学 自由自在」では、メネラウスの定理や方べきの定理まで教えている。
そのため、このブログでも、それらも中学の数学の範囲とみなす。
ピタゴラスの定理
三角形の辺の二乗の引き算の公式
拡張三平方の定理
三角錐の体積の公式
微妙な合同の条件
想像力を使う角度連動公式
ＸＹ座標系と二等辺三角形に関する問題
高校入試の難問の解き方
足りない図形を埋めてから解く
図形を対称な形に完成させてから解く
「三角形の性質」
三角形の重心をとらえる想像の翼
（１）線分の長さと比
水平線上の点の高さの比の公式
（２）三角形の角の２等分線
（その２）
平行線と線分の比の問題
中線の長さの公式（中線定理）
知識不足を想像力で補う
角の二等分線の長さ－相似図形による定理の証明
三角形の底辺を頂点の足で分割する問題
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三角形の面積を３辺から計算する
三角形の高さの公式を導く
三角形の頂点からの距離の積の公式
三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）
三角形の垂心の周りの角度
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三角形の垂心の高さ
三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係
二等辺三角形と直角三角形の辺の長さの関係
180度の５分の１の頂角の二等辺三角形の辺の長さ
頂角３６°の直角三角形の辺の長さ
図形を完成させる手順の例
三角形の辺と角度の難問
ラングレーの難問
「作図」
作図の難問
「折り返し図形」
二重相似の公式と折り返し図形の点の位置
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中学で習う円周角のまとめ
円の外の拡張円周角の定理
使い易い形の拡張円周角の定理と円周角の定理
円の外の点に拡張した円周角の定理
円の中の点に拡張した円周角の定理
接弦定理を思い出す視線：微小変位の想像の翼
点を微小に移動し接弦定理と拡張円周角の定理を思い出す
三角形の外角の二等分線と外接円の交点
公式の証明の補助線をまねて使って解く
図形を先ずなるべく対称な形に完成させる
（４８）三角形と円の角度の関係図形をおぼえる
円と直線の関係の問題１
（２／２）方べきの定理の証明
問題をやさしくする数学（２７）方べきの定理を思い出す視線
等しい長さの証明
高校受験用：三角形の高さと外接円の半径Ｒの関係
円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ
計算がややこしい問題の先行検算
相似図形の難問
線分の長さが一定の証明
「メネラウスの定理等」
メネラウスの定理の証明：線の垂直線への射影の利用
メネラウスの定理
チェバの定理
スーパーメネラウスの定理
メネラウスの定理に係わる難問（究極の方法）
等しい角度を傾きで比較する問題
【立体図形】
立体図形の想像力
自分の想像力を助けることを覚えること
立体図形の頂点から面への垂線の長さ
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高校入試の難問の解き方
【問１】（難問）
上の図のように、ＯＡ＝６，ＯＢ＝４の三角形ＯＡＢにおいて、∠ＡＯＢの二等分線とＡＢとの交点をＰとする。
ＯＰ＝１２／５のとき、次の各問いに答えなさい。
（１）∠ＡＯＢの大きさを求めなさい。
（２）ＡＰの長さを求めなさい。
【解答のこころがけ】
数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
（問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない）
問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
そのため、以下で、自然に浮かぶと考えられる問いに答えつつ問題を解く解答の１例を書きます。
【解答例】
（１）
この図形に以下の補助線を引いて、考えやすい直角三角形ＯＢＣとＯＡＤを作る。
すると、その直角三角形以外に、その他の考えやすい直角三角形ＰＢＣとＰＡＤも作られた。
それらの直角三角形の間に以下の相似の関係がある。
これから、直角三角形ＯＢＣの辺の長さＯＣ＝ｍを計算できる。
直角三角形ＯＣＢで、ＯＣ＝２で、ＯＢ＝４なので、
頂角∠ＣＯＢ＝６０°であることがわかる。
よって、∠ＡＯＢ＝１２０°
である。
（（１）の解答おわり）
（２）
次に、三平方の定理を使ってＡＰの長さを計算する。
（（２）の解答おわり）
リンク：
中学数学の目次
ＯＰ＝１２／５のとき、次の各問いに答えなさい。
（１）∠ＡＯＢの大きさを求めなさい。
（２）ＡＰの長さを求めなさい。
【解答のこころがけ】
数学の問題の解き方は種々あります。正しい解き方は、問題を解くために自分の心の奥底から湧きあがる疑問に答えて問題を解くことだと考えます。
（問題集の模範解答は、自分の心に一致すれば覚えるし、一致しなければ覚える必要がない）
問題に対して自分が何を問うか。そして、その問いにどう応えるかを覚えることが、数学を勉強するということだと思います。
そのため、以下で、自然に浮かぶと考えられる問いに答えつつ問題を解く解答の１例を書きます。
【解答例】
（１）
この図形に以下の補助線を引いて、考えやすい直角三角形ＯＢＣとＯＡＤを作る。
それらの直角三角形の間に以下の相似の関係がある。
頂角∠ＣＯＢ＝６０°であることがわかる。
よって、∠ＡＯＢ＝１２０°
である。
（（１）の解答おわり）
（２）
次に、三平方の定理を使ってＡＰの長さを計算する。
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