やさしい微分積分
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《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、xの実数全体の区間で連続な放物線の関数f(x) を考える。下図の放物線のグラフy=f(x) の各点での傾きを調べる。
y=f(x) の放物線のグラフの曲線の点Cでの傾きは、点Cでグラフの曲線に接する直線DEの傾きと同じである。直線DEの傾きは、その直線に平行な直線ABの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Cでの傾きは、点Cの近くの曲線上の2つの点AとBを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Cでの傾きは、点Cの近くの曲線上の2点を通る直線の傾きとして求めることができる。
2点を定めて点Cでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、2点のうちの1つを点Cとし、もう1つの点を点Cの近くの曲線上の点Pとする方が計算がし易いので、その2点で計算する。
上図のグラフで、点Cから点Pまで独立変数xが変化する幅をxの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Aから点Bまで従属変数yが変化する幅の、(点Pの高さ)-(点Cの高さ) をyの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なxの増分Δx に対する放物線の微小なyの増分Δyの比Δy/Δx としてあらわすことができる。
(注意: Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。)
上図のように、点Cと右の点P2(Δx>0)との傾きと、点Cと左の点P1(Δx<0)との傾きとはわずかに異なる。直線CP2の傾きと、直線P1Cの傾きとは、Δx を0に近くすればするほど、変化していく。そして、点Pが限りなく点Cに近づくと、直線CPは点Cにおける接線DEに近づいていく。このとき、直線CPが接線DEに収束する、と言う。
その直線CPの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が0とは異なる値をとりながら限りなく0に近づくとき、Δy/Δx の値がある定数kに限りなく近づくならば、
Δx →0のとき、(Δy/Δx)→k
とか、
とあらわす。
そして、その定数kを、
Δx →0のときのΔy/Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
(注意: 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy/Δx が限りなくkに近づくだけで永遠にkに一致しないでも、「極限値がkである」と言うのです。)
ここで、増分Δx をhとあらわすことにする。そして、増分hを限りなく0に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点C(x0,y0) におけるこの式の極限値のことを、f'(x0)と表して、独立変数の数直線上のx=x0の点における微分係数という。
《関数f(x) は、定義域の閉区間の端では微分できない》
ここで、点C(x0, y0) の左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点C以外のもう1つの点のx座標は、x0 より小さい値からx0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するx座標の値x0 は関数f(x) の区間の内部になければならない。つまり、値x0 は関数f(x)の変数xの区間の端にあってはいけない。値x0 は変数xの区間の内部(開区間)になければならない。
上図の関数f(x) が0≦x≦2の閉区間 [0,2] で定義されている場合を考える。
この関数f(x) を定義域である閉区間の端点x=0やx=2で微分することは無意味である。定義域の外側ではどのようなグラフにつながっているか、または、つながっていないか、が決められていないからである。
関数f(x) の定義域が閉区間[a,b]である場合に、区間の端ではf(x) が微分できない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の独立変数xの数直線上のx=x0の点における微分係数を1つ求めた。しかし、独立変数xの数直線上の各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数f(x)の独立変数xの区間の内部の任意のxの点での微分係数を全部求める。つまり、関数f(x) のxの区間の内部(開区間)の点での微分係数f’(x) を計算する。
ここで、区間で連続な関数f(x) の微分係数f’(x) があらわす(開区間での)関数を、関数f(x)の導関数と言う。以下の図の関数f(x) の導関数f’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
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《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、xの実数全体の区間で連続な放物線の関数f(x) を考える。下図の放物線のグラフy=f(x) の各点での傾きを調べる。
y=f(x) の放物線のグラフの曲線の点Cでの傾きは、点Cでグラフの曲線に接する直線DEの傾きと同じである。直線DEの傾きは、その直線に平行な直線ABの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Cでの傾きは、点Cの近くの曲線上の2つの点AとBを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Cでの傾きは、点Cの近くの曲線上の2点を通る直線の傾きとして求めることができる。
2点を定めて点Cでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、2点のうちの1つを点Cとし、もう1つの点を点Cの近くの曲線上の点Pとする方が計算がし易いので、その2点で計算する。
上図のグラフで、点Cから点Pまで独立変数xが変化する幅をxの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Aから点Bまで従属変数yが変化する幅の、(点Pの高さ)-(点Cの高さ) をyの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なxの増分Δx に対する放物線の微小なyの増分Δyの比Δy/Δx としてあらわすことができる。
(注意: Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。)
上図のように、点Cと右の点P2(Δx>0)との傾きと、点Cと左の点P1(Δx<0)との傾きとはわずかに異なる。直線CP2の傾きと、直線P1Cの傾きとは、Δx を0に近くすればするほど、変化していく。そして、点Pが限りなく点Cに近づくと、直線CPは点Cにおける接線DEに近づいていく。このとき、直線CPが接線DEに収束する、と言う。
その直線CPの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が0とは異なる値をとりながら限りなく0に近づくとき、Δy/Δx の値がある定数kに限りなく近づくならば、
Δx →0のとき、(Δy/Δx)→k
とか、
とあらわす。
そして、その定数kを、
Δx →0のときのΔy/Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
(注意: 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy/Δx が限りなくkに近づくだけで永遠にkに一致しないでも、「極限値がkである」と言うのです。)
ここで、増分Δx をhとあらわすことにする。そして、増分hを限りなく0に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点C(x0,y0) におけるこの式の極限値のことを、f'(x0)と表して、独立変数の数直線上のx=x0の点における微分係数という。
《関数f(x) は、定義域の閉区間の端では微分できない》
ここで、点C(x0, y0) の左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点C以外のもう1つの点のx座標は、x0 より小さい値からx0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するx座標の値x0 は関数f(x) の区間の内部になければならない。つまり、値x0 は関数f(x)の変数xの区間の端にあってはいけない。値x0 は変数xの区間の内部(開区間)になければならない。
上図の関数f(x) が0≦x≦2の閉区間 [0,2] で定義されている場合を考える。
この関数f(x) を定義域である閉区間の端点x=0やx=2で微分することは無意味である。定義域の外側ではどのようなグラフにつながっているか、または、つながっていないか、が決められていないからである。
関数f(x) の定義域が閉区間[a,b]である場合に、区間の端ではf(x) が微分できない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の独立変数xの数直線上のx=x0の点における微分係数を1つ求めた。しかし、独立変数xの数直線上の各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数f(x)の独立変数xの区間の内部の任意のxの点での微分係数を全部求める。つまり、関数f(x) のxの区間の内部(開区間)の点での微分係数f’(x) を計算する。
ここで、区間で連続な関数f(x) の微分係数f’(x) があらわす(開区間での)関数を、関数f(x)の導関数と言う。以下の図の関数f(x) の導関数f’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
導関数f’(x) を求めることを、関数f(x) を微分すると言う。
また、関数f(x) の導関数f'(x) をdf/dxと書くこともある。更に、導関数f’(x) をdy/dx と書いたり、y’ と書くこともある。
【関数f(x) の微分係数が定まらない場合もある】
ここで、関数f(x) によっては、所定の点Cの左右の点を平等に考えて傾きを計算する場合に、左側の点P1 と点Cとを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きと、点Cと右側の点P2 とを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きが一致しない関数f(x) もある。
以下の図の関数f(x)=|x| のx=0の点Oで、それがおきている。
この場合には、その点Oでは、微分係数が定まらず微分ができない。
(注意)
独立変数xの実数全体の区間で連続な関数f(x) =|x| の導関数f’(x) は、以下のグラフであらわされる。
この導関数f’(x) は、x=0の点では定義されず、その点でグラフが千切れるため、実数全体の区間で連続な関数ではない。この導関数f’(x) は、x<0の区間の連続関数とx>0の区間の連続関数とを合わせた、複合区間を定義域とする関数である。
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