やさしい微分積分
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〔微分積分の目次〕
《連続関数》
微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。
【１つながりに連続する関数】
微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考える。具体的には、１つながりに連続する関数を単位にして考える。その１つながりに連続する関数が、正しく定義された連続関数である。 連続関数は、グラフが途切れることなくつながっている関数です。
〔連続関数の定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
【区間とは】
関数のグラフが途切れる、すなわグラフがちちぎれる場合は、下図のように、関数 f(x) のy=f(x) のグラフのｙ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と、
下図のように、変数ｘのｘ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と
の２通りのちぎれ方がある。
区間とは、ｘ軸上で実数がすき間なくつまって連結しているｘ軸上の領域を区間と呼ぶ。
上図の２通りのちぎれ方をともに判定できるようにするために、ｘ軸の数直線上の実数がすき間なくつまった区間内の点毎に、ちぎれているか、連続であるかを把握する。
区間内の点とはｘ軸の数直線上の点である。
《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限の概念》
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」極限の定義と、その極限の定義を基礎にした関数ｆ(x) の極限の定義は、関数ｆ(x) の定義域Ａに以下の条件が成り立つことを前提にしている。
（１）第１に、「変数ｘの無限数列が点ａへ収束すること」そして、「そのｘの無限数列の値ｘで関数ｆ(x) が定義されていなければならない」、という条件がある。その結果、ｘが限りなく近づく先の点ａは、関数ｆ(x) の定義域Ａの変数ｘの集積点である。
つまり、関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
（２）次に、点ａに収束する全てのｘの無限数列で、その無限数列で定義される関数ｆ(x) の値が同じ値に収束することが、点ａで関数ｆ(x) が収束する（極限値が存在する）ことの基本的条件である。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
（３）こうして、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束するｘの無限数列を使って数学的に定義した。そして、「変数ｘの極限の点ａは、ｘの無限数列の集積点である」という結論が得られる。
（４）先の条件（２）は、「点ａの近傍のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならない」という条件と、および、変数ｘがどのような無限数列で点ａに収束する場合にも、関数ｆ(x) が極限値Ｃに収束することとに同値である。
すなわち、古典的（基礎的）微分積分学では、 点ａが集積点であるとし、点ａに収束する点ｘのどの無限数列においても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することを、関数の極限値が存在する基本的条件とした。そして、その基本的条件を満足する関数の定義域Ａは、ａの近傍の全ての実数（区間）であると定義した。
そのことを、ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
そのように関数の極限Ｃを定義した上で、その収束する値Ｃ＝ｆ(a) になることを、点ａで関数ｆ(x) が連続であると定義した。
連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。
日本の大学数学では、1817年にBolzanoが定義した連続関数を、「区間で連続な関数」と呼んでいる。
関数の連続性に係る定理には、必ず「区間で連続な関数」という言葉が使われる。
（補足）
高校数学の数Ⅲの教科書「数学Ⅲ Advanced」(東京書籍)では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、以下のように正しく定義している。
「関数ｆ(x) がある区間Ｉに属するすべての値ｘで連続であるとき、ｆ(x) は区間Ｉで連続である。」
関数f(x)の連続性は、x軸でのxの点毎に、各点の近傍に微小区間（ｘの点が連結している領域）を定めてその微小区間で関数の連続性を判定する。
更に、ｘ軸での所定の幅の広がりがある区間において、その区間内の全ての実数のｘの点で関数f(x)が連続である場合に、その区間で定義された関数f(x)が連続関数であるという。
下図の３つの区間で定義された３つの関数F1(x), F2(x), F3(x)が３つの連続関数です。
１つながりのグラフが１つの連続関数です。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がなく連結している１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、連続性の公理を満足する実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【連続でない点】
ｙ＝ｆ（ｘ） ≡ １／ｘは、ｘ＝０でグラフが途切れた関数です。
関数の連続性は、ｘ軸上の点毎に判定する。ｘ軸上のｘ＝０という点が存在します。その点で f(x) の値が無いので、ｘ＝０の点では関数 f(x) は連続ではない。ｘ＝０の点は、関数 f(x) が「連続でない点」と呼ぶ。
連続関数とは、関数の定義域が実数の区間で連結していて、
その連結区間の点毎に関数の値域が連結することで、関数のグラフが１つながりに連結している関数の事である。
《連続関数の定義域の指定》
連続関数は、関数の定義域が連結するために、所定の区間とセットにして定義される。
上図の y=f(x) であらわされたグラフは、X＝０とＸ＝２で不連続ですが、
０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義された関数 f(x) は連続関数です。
高校数学で学ぶ初等関数はすべて、区間の全ての点で関数が連続な区間を選び、その区間とセットにして区間で連続な関数が作れる。
例えば、
は、２つの区間（－∞，２）、（２，∞）で連続である。すなわち、２つの、「区間で連続な関数」が作れる。
その個別の「区間で連続な関数」を単位にして微分積分を考える。
このサイトでは、以降では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、誤って定義された連続関数と区別するために、「区間で連続な関数」と呼ぶ。
《位相空間論に注意すること》
大学数学で登場する現代数学の位相空間論に係わる関数ｆ(x) の連続性の定義では、実数の区間に限定されない（例えば有理数を定義域とする）関数ｆ(x) の、点ａでの連続性が定義される。しかし、その関数ｆ(x) は、積分可能ではない。また、その関数ｆ(x) は、〔連続関数の定義の役割〕の第１の条件を満足していないから、千切れている。
また、位相空間論に係わる関数の極限の定義では、古典的（基礎的）微分積分学の変数ｘの極限に必須な条件の「変数ｘが限りなく近づく先の点ａが、関数ｆ(x) の定義域の変数ｘの集積点である」を否定して、集積点では無い孤立点ａを変数ｘの極限にしている。
そういう現代数学の位相空間論に係わる連続関数を学ぶ以前に、微分積分の基礎知識として、古典的（基礎的）微分積分学の極限の概念と連続関数（区間で連続な関数）の概念をしっかり学んでおく必要がある。
区間で連続な関数の性質を、位相空間論では、「位相空間論に係わる関数の（値域の）連続性（関数が定義域で千切れていても良い）」と、関数の（定義域の）連結性、という２つの要素に分けて解析している。その位相空間論を理解する以前の基礎知識として、区間で連続な関数（千切れていない関数）の概念を学んでおく必要がある。
大学数学で学ぶ位相空間論に係わる微分積分学を学ぶには、
「嶺幸太郎 著「微分積分学の試練」」を学ぶと良い。
最近の大学数学の微分積分の講義は、微分積分を０から学び始めた初心者向けの古典的な（基礎的な）微分積分の概念は教えなくなっているようです。「微分積分の概念の正しい基礎は高校数学で学んで来たハズだから、大学では現代数学の位相空間論に係わる微分積分を教える」という大学の数学の講義の方針があるように思います。
（位相空間論に係わる微分積分学の教科書には、《杉浦光夫著「解析入門Ⅰ」》 https://bookmeter.com/books/4078 がある）
しかし、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を知らずして位相空間論に係わる微分積分は理解できないと思います。 そういう状況なので、高校数学を学ぶ中で、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を自力でしっかり学ぶしかないようです。
（古典的微分積分学の教科書には、《高木貞治著「増訂解析概論」》
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/index.html がある）
（ここをクリックした先の大学では古典的（基礎的）微分積分学の知識から教えてくれます。）
《位相空間論の不連続点の意味》
位相空間論が定義する「不連続点」は、古典的（基礎的）微分積分学が点と関数との関係によって点の性質を分類して与えた「不連続点」、とは異なる概念である。正しくは、位相空間論の「不連続点」とは、
「関数が位相空間論での不連続性を持つ関数の定義域の点」
を指す数学用語である。
また、位相空間論の「連続点」とは、
「関数が位相空間論での連続性を持つ関数の定義域の点」
を指す数学用語である。
古典的微分積分学で使っている数学用語と同じ言葉（連続点、不連続点）を使っていても、その元の概念とは異なる概念・対象を位相空間論で定義している。（例えば、極限点（集積点）ではない孤立点を「連続点」とする等、古典的微分積分学とは異なる対象を位相空間論が定義している）
（注意） 位相空間論の関数の連続性の定義から、「関数ｆがそもそも点ａにおいて定義されていない場合、すなわちａ∉定義域Ａである場合、関数ｆは点ａにおいて連続ではない」という結論になる。位相空間論の「不連続点」の定義はその結論とも整合しない。そのため、「不連続点」と呼ぶよりは「定義域における不連続点」と呼んだ方が良い。
《位相空間論に係わる微分積分学を見た感想》
位相空間論に係わる微分積分学では、そもそも、点ａでの関数ｆ(x) の極限を定義する上での大前提の「点ａが集積点であるときにのみ、点ａでの関数ｆ(x) の極限が定義できる」を否定している。すなわち、集積点でなければならないという条件を否定して「関数の連続性」を再構築した。「極限の概念から乖離して定義した位相空間論に係わる関数の連続性」の性質が不自然なのはあたり前なのだろう。現時点での位相空間論は、一旦捨てた「極限の概念」を必死に理論の中に取り戻そうとしている課程の途上にあるのだろう。
古典的（基礎的）微分積分学は、位相空間の数の集合を実数全体にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。しかし、「連続点」と「不連続点」の数学用語は、位相空間論と古典的微分積分学とでは異なる対象を指す言葉になっている。
リンク：
関数が連続であるとは
やさしい微分積分
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
コンパクトであれば有界な閉区間である
『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版
高校数学の目次
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《連続関数》
微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。
【１つながりに連続する関数】
微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考える。具体的には、１つながりに連続する関数を単位にして考える。その１つながりに連続する関数が、正しく定義された連続関数である。 連続関数は、グラフが途切れることなくつながっている関数です。
〔連続関数の定義の役割〕
連続関数とは、第１の条件として、関数の定義域が連結していること、第２の条件として、定義域の点毎に関数ｆ(x) の値域が連結していること。その２つの条件が成り立ちグラフが１つながりに連結している関数ｆ(x) をどのように表すかが連続関数の定義の役割である。
【区間とは】
関数のグラフが途切れる、すなわグラフがちちぎれる場合は、下図のように、関数 f(x) のy=f(x) のグラフのｙ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と、
下図のように、変数ｘのｘ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と
の２通りのちぎれ方がある。
区間とは、ｘ軸上で実数がすき間なくつまって連結しているｘ軸上の領域を区間と呼ぶ。
上図の２通りのちぎれ方をともに判定できるようにするために、ｘ軸の数直線上の実数がすき間なくつまった区間内の点毎に、ちぎれているか、連続であるかを把握する。
区間内の点とはｘ軸の数直線上の点である。
《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えてくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
以下の図で、「数の集合Ａの要素で、点ａ以外の値の、変数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
（ここで、記号∞は”無限大”と読む。∞は数をあらわすものではない）
すなわち、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、変数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、変数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の点ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａを考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは実数ではあるが、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）数の集合Ａの要素のある数の点ｙが集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限の概念》
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」極限の定義と、その極限の定義を基礎にした関数ｆ(x) の極限の定義は、関数ｆ(x) の定義域Ａに以下の条件が成り立つことを前提にしている。
（１）第１に、「変数ｘの無限数列が点ａへ収束すること」そして、「そのｘの無限数列の値ｘで関数ｆ(x) が定義されていなければならない」、という条件がある。その結果、ｘが限りなく近づく先の点ａは、関数ｆ(x) の定義域Ａの変数ｘの集積点である。
つまり、関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａから、ａと異なる数ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・ を選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作った場合に、その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなってｆ(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限値Ｃが存在するための基礎条件である。
（２）次に、点ａに収束する全てのｘの無限数列で、その無限数列で定義される関数ｆ(x) の値が同じ値に収束することが、点ａで関数ｆ(x) が収束する（極限値が存在する）ことの基本的条件である。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
（３）こうして、「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束するｘの無限数列を使って数学的に定義した。そして、「変数ｘの極限の点ａは、ｘの無限数列の集積点である」という結論が得られる。
（４）先の条件（２）は、「点ａの近傍のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならない」という条件と、および、変数ｘがどのような無限数列で点ａに収束する場合にも、関数ｆ(x) が極限値Ｃに収束することとに同値である。
すなわち、古典的（基礎的）微分積分学では、 点ａが集積点であるとし、点ａに収束する点ｘのどの無限数列においても関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束することを、関数の極限値が存在する基本的条件とした。そして、その基本的条件を満足する関数の定義域Ａは、ａの近傍の全ての実数（区間）であると定義した。
そのことを、ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
そのように関数の極限Ｃを定義した上で、その収束する値Ｃ＝ｆ(a) になることを、点ａで関数ｆ(x) が連続であると定義した。
連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。
日本の大学数学では、1817年にBolzanoが定義した連続関数を、「区間で連続な関数」と呼んでいる。
関数の連続性に係る定理には、必ず「区間で連続な関数」という言葉が使われる。
（補足）
高校数学の数Ⅲの教科書「数学Ⅲ Advanced」(東京書籍)では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、以下のように正しく定義している。
「関数ｆ(x) がある区間Ｉに属するすべての値ｘで連続であるとき、ｆ(x) は区間Ｉで連続である。」
関数f(x)の連続性は、x軸でのxの点毎に、各点の近傍に微小区間（ｘの点が連結している領域）を定めてその微小区間で関数の連続性を判定する。
更に、ｘ軸での所定の幅の広がりがある区間において、その区間内の全ての実数のｘの点で関数f(x)が連続である場合に、その区間で定義された関数f(x)が連続関数であるという。
下図の３つの区間で定義された３つの関数F1(x), F2(x), F3(x)が３つの連続関数です。
【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がなく連結している１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「隙間が無い」大前提のために、連続性の公理を満足する実数の集合でなければならない。
a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。
【連続でない点】
関数の連続性は、ｘ軸上の点毎に判定する。ｘ軸上のｘ＝０という点が存在します。その点で f(x) の値が無いので、ｘ＝０の点では関数 f(x) は連続ではない。ｘ＝０の点は、関数 f(x) が「連続でない点」と呼ぶ。
連続関数とは、関数の定義域が実数の区間で連結していて、
その連結区間の点毎に関数の値域が連結することで、関数のグラフが１つながりに連結している関数の事である。
《連続関数の定義域の指定》
連続関数は、関数の定義域が連結するために、所定の区間とセットにして定義される。
０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義された関数 f(x) は連続関数です。
高校数学で学ぶ初等関数はすべて、区間の全ての点で関数が連続な区間を選び、その区間とセットにして区間で連続な関数が作れる。
例えば、
は、２つの区間（－∞，２）、（２，∞）で連続である。すなわち、２つの、「区間で連続な関数」が作れる。
その個別の「区間で連続な関数」を単位にして微分積分を考える。
このサイトでは、以降では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、誤って定義された連続関数と区別するために、「区間で連続な関数」と呼ぶ。
《位相空間論に注意すること》
大学数学で登場する現代数学の位相空間論に係わる関数ｆ(x) の連続性の定義では、実数の区間に限定されない（例えば有理数を定義域とする）関数ｆ(x) の、点ａでの連続性が定義される。しかし、その関数ｆ(x) は、積分可能ではない。また、その関数ｆ(x) は、〔連続関数の定義の役割〕の第１の条件を満足していないから、千切れている。
また、位相空間論に係わる関数の極限の定義では、古典的（基礎的）微分積分学の変数ｘの極限に必須な条件の「変数ｘが限りなく近づく先の点ａが、関数ｆ(x) の定義域の変数ｘの集積点である」を否定して、集積点では無い孤立点ａを変数ｘの極限にしている。
そういう現代数学の位相空間論に係わる連続関数を学ぶ以前に、微分積分の基礎知識として、古典的（基礎的）微分積分学の極限の概念と連続関数（区間で連続な関数）の概念をしっかり学んでおく必要がある。
区間で連続な関数の性質を、位相空間論では、「位相空間論に係わる関数の（値域の）連続性（関数が定義域で千切れていても良い）」と、関数の（定義域の）連結性、という２つの要素に分けて解析している。その位相空間論を理解する以前の基礎知識として、区間で連続な関数（千切れていない関数）の概念を学んでおく必要がある。
大学数学で学ぶ位相空間論に係わる微分積分学を学ぶには、
「嶺幸太郎 著「微分積分学の試練」」を学ぶと良い。
最近の大学数学の微分積分の講義は、微分積分を０から学び始めた初心者向けの古典的な（基礎的な）微分積分の概念は教えなくなっているようです。「微分積分の概念の正しい基礎は高校数学で学んで来たハズだから、大学では現代数学の位相空間論に係わる微分積分を教える」という大学の数学の講義の方針があるように思います。
（位相空間論に係わる微分積分学の教科書には、《杉浦光夫著「解析入門Ⅰ」》 https://bookmeter.com/books/4078 がある）
しかし、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を知らずして位相空間論に係わる微分積分は理解できないと思います。 そういう状況なので、高校数学を学ぶ中で、古典的な（基礎的な）微分積分の概念を自力でしっかり学ぶしかないようです。
（古典的微分積分学の教科書には、《高木貞治著「増訂解析概論」》
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/index.html がある）
（ここをクリックした先の大学では古典的（基礎的）微分積分学の知識から教えてくれます。）
《位相空間論の不連続点の意味》
位相空間論が定義する「不連続点」は、古典的（基礎的）微分積分学が点と関数との関係によって点の性質を分類して与えた「不連続点」、とは異なる概念である。正しくは、位相空間論の「不連続点」とは、
「関数が位相空間論での不連続性を持つ関数の定義域の点」
を指す数学用語である。
また、位相空間論の「連続点」とは、
「関数が位相空間論での連続性を持つ関数の定義域の点」
を指す数学用語である。
古典的微分積分学で使っている数学用語と同じ言葉（連続点、不連続点）を使っていても、その元の概念とは異なる概念・対象を位相空間論で定義している。（例えば、極限点（集積点）ではない孤立点を「連続点」とする等、古典的微分積分学とは異なる対象を位相空間論が定義している）
（注意） 位相空間論の関数の連続性の定義から、「関数ｆがそもそも点ａにおいて定義されていない場合、すなわちａ∉定義域Ａである場合、関数ｆは点ａにおいて連続ではない」という結論になる。位相空間論の「不連続点」の定義はその結論とも整合しない。そのため、「不連続点」と呼ぶよりは「定義域における不連続点」と呼んだ方が良い。
《位相空間論に係わる微分積分学を見た感想》
位相空間論に係わる微分積分学では、そもそも、点ａでの関数ｆ(x) の極限を定義する上での大前提の「点ａが集積点であるときにのみ、点ａでの関数ｆ(x) の極限が定義できる」を否定している。すなわち、集積点でなければならないという条件を否定して「関数の連続性」を再構築した。「極限の概念から乖離して定義した位相空間論に係わる関数の連続性」の性質が不自然なのはあたり前なのだろう。現時点での位相空間論は、一旦捨てた「極限の概念」を必死に理論の中に取り戻そうとしている課程の途上にあるのだろう。
古典的（基礎的）微分積分学は、位相空間の数の集合を実数全体にした上で、実数の区間を定義域とする関数ｆ(x) の微分積分学である。しかし、「連続点」と「不連続点」の数学用語は、位相空間論と古典的微分積分学とでは異なる対象を指す言葉になっている。
リンク：
関数が連続であるとは
やさしい微分積分
連続関数の定義
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
関数の極限の定義
実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
コンパクトであれば有界な閉区間である
『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版
高校数学の目次
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