連続関数とは何か

やさしい微分積分
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《連続関数》
　微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。

【１つながりに連続する関数】
　微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考える。具体的には、１つながりに連続する関数を単位にして考える。その１つながりに連続する関数が、正しく定義された連続関数である。 連続関数は、グラフが途切れることなくつながっている関数です。

【区間とは】
　関数のグラフが途切れる、すなわグラフがちちぎれる場合は、下図のように、関数 f(x) のy=f(x) のグラフのｙ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と、

下図のように、変数ｘのｘ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と

の２通りのちぎれ方がある。
　区間とは、ｘ軸上で実数がすき間なくつまったｘ軸上での１つの連結領域のことを区間と呼ぶ。
　上図の２通りのちぎれ方をともに判定できるようにするために、ｘ軸の数直線上の実数がすき間なくつまった区間内の点毎に、ちぎれているか、連続であるかを把握する。
　区間内の点とはｘ軸の数直線上の点である。

《実数の連続性》
　実数には連続性がある。有理数には連続性が無い。
　実数の連続性とは、連続性の公理を満足することである。連続性の公理とは、
「実数の部分集合のうち、上に有界かつ空でないものは、必ず最小上界を持つ（連続性の公理）」
というものである。
　
　連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。

　日本の大学数学では、1817年にBolzanoが定義した連続関数を、「区間で連続な関数」と呼んでいる。

　関数の連続性に係る定理には、必ず「区間で連続な関数」という言葉が使われる。

　関数f(x)の連続性は、x軸でのxの点毎に、各点の近傍に微小区間を定めてその微小区間で関数の連続性を判定する。
　更に、ｘ軸での所定の幅の広がりがある区間において、その区間内の全ての実数のｘの点で関数f(x)が連続である場合に、その区間で定義された関数f(x)が連続関数であるという。

　下図の３つの区間で定義された３つの関数F1(x), F2(x), F3(x)が３つの連続関数です。

１つながりのグラフが１つの連続関数です。

【区間の定義】
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。

　a, b を実数とする. a≦ｘ≦ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区間と呼ぶ.
　a＜ｘ＜ｂ の実数ｘをすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.

　変数ｘの「区間」の大切な特徴は、「区間」は、所定の１かたまりのｘの範囲内での隙間が無い全ての実数の集合が「区間」である。

【連続でない点】

ｙ＝ｆ（ｘ） ≡ １／ｘは、ｘ＝０でグラフが途切れた関数です。
　関数の連続性は、ｘ軸上の点毎に判定する。ｘ軸上のｘ＝０という点が存在します。その点で f(x) の値が無いので、ｘ＝０の点では関数 f(x) は連続ではない。ｘ＝０の点は、関数 f(x) が「連続でない点」と呼ぶ。

　連続関数とは、関数の定義域が（連結）区間であって、
その連結区間で１つながりに連続している関数の事である。

《連続関数の定義域の指定》
　連続関数は、所定の区間とセットにして定義されます。

上図の y=f(x) であらわされたグラフは、X＝０とＸ＝２で不連続ですが、
０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義された関数 f(x) は連続関数です。

　高校数学で学ぶ初等関数はすべて、区間の端点以外には関数が連続でない点が存在しない区間を選び、その区間とセットにして区間で連続な関数が作れます。
例えば、

は、２つの区間（－∞，２）、（２，∞）で連続である。すなわち、２つの「区間で連続な関数」が作れます。
その「区間で連続な関数」を単位にして微分積分を考えます。

　このサイトでは、以降では、1817年にBolzanoが正しく定義した連続関数を、誤って定義された連続関数と区別するために、「区間で連続な関数」と呼ぶ。

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