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▷必要条件の見分け方
▷方程式の全ての解の導出公式
▷存在記号∃の意味
▷存在条件の代入原理
このページは、
「同値変形の考え方」のページの要約です。
【同値変形とは何か】
同値変形とは、条件Ａの全ての情報を過不足なく保持させて条件Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、条件Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて条件Ｂにする処理です。
条件Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
条件Ａがあらわす情報を限定する情報限定条件を条件Ａに加えて条件Ａ’を作ると、情報限定条件を加える前は同値ではなかった条件同士も、情報限定条件によって限定された情報同士が同じならば同値な条件になります。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
《必要条件の見分け方》
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の条件が成り立つことである。
条件Ａならば条件Ｂである。
（注意）この論理式は、正しくは、以下の暗黙の条件（全ての実数Ｘに関して、）が付いた論理式である。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）ならば（条件Ｂ(X)）である。」
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いか、又は、（条件Ｂ(X)）である。」
例えば、以下の条件（第１の条件）が成り立つかどうかは、以下のようにして判定できる。
「全ての実数Ｘに関して、 Ｘ＝１， → Ｘ＝１０ー９，」
この第１の条件の左側の条件から、必ず右側の条件が "発想" できるか、必然的に右側の条件が導き出せるか、と問うと、必ずしもそうとは言えない。
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１ であるか、又は、Ｘ＝１０－９である。」
Ｘ＝１０－９の式を変形すると、
Ｘ＝１になる。
そのため、先の条件は、以下の条件に書き換えられる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１であるか、又は、Ｘ＝１である。」
これならば、この条件が成り立っていることがわかる。これにより、第１の条件の右側の条件が左側の条件の必要条件であった（第１の条件が成り立つ）ことが判定できた。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
|ｘ|≧２が成り立つことが、ｘの値からｔの値を導き出すことができる（ｔの解が存在する）存在条件である。
この連立方程式には、ｔの存在条件を与える式が加わっているので、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、以下の式を満足する全ての点(ｘ,ｙ) に対して、方程式の解(ｘ,ｙ,ｔ) が存在する。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
最初の連立方程式は、以下のようにも同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3) と、Ｙ≠０における式(4) と、を満足する全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例４》
例３の連立方程式において、以下の図の条件Ｂのように、条件のあらわす情報を、パラメータｍを利用してあらわした点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわすように限定する。そうした場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす条件Ｂの表現を同値変形で言い換える際には、そのパラメータｍは残す必要がない。そのため、以下の図のように、その条件Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報は、下図の右側の条件Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
なお、条件Ｂが表す点の集合(X,Y) の情報は、以下の条件Ｃや条件Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した条件Ｄの以下の表現の意味を説明する。
存在記号∃を使ってあらわしたこの条件Ｄが先の条件Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
条件Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。ｍのことを束縛変数（ダミー変数）と呼ぶ。条件Ｄがあらわす情報は、条件Ｄを「真」にする、（ダミー変数ｍ以外の）数ＸとＹ（自由変数と呼ぶ）の組の集合（点(X,Y) の集合）である。
束縛変数ｍには、条件Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。条件Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、条件Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、条件Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で条件Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。つまり、存在記号∃が付けられたパラメータｍは、条件があらわそうとする数の集合からは除外される。そのため、条件Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、条件Ｄは条件Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
▷必要条件の見分け方
▷方程式の全ての解の導出公式
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▷存在条件の代入原理
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【同値変形とは何か】
同値変形とは、条件Ａの全ての情報を過不足なく保持させて条件Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、条件Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて条件Ｂにする処理です。
条件Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
条件Ａがあらわす情報を限定する情報限定条件を条件Ａに加えて条件Ａ’を作ると、情報限定条件を加える前は同値ではなかった条件同士も、情報限定条件によって限定された情報同士が同じならば同値な条件になります。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
《必要条件の見分け方》
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
条件Ｂが条件Ａの必要条件になるということは、以下の条件が成り立つことである。
条件Ａならば条件Ｂである。
（注意）この論理式は、正しくは、以下の暗黙の条件（全ての実数Ｘに関して、）が付いた論理式である。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）ならば（条件Ｂ(X)）である。」
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、（条件Ａ(X)）で無いか、又は、（条件Ｂ(X)）である。」
例えば、以下の条件（第１の条件）が成り立つかどうかは、以下のようにして判定できる。
「全ての実数Ｘに関して、 Ｘ＝１， → Ｘ＝１０ー９，」
この第１の条件の左側の条件から、必ず右側の条件が "発想" できるか、必然的に右側の条件が導き出せるか、と問うと、必ずしもそうとは言えない。
この条件は、以下の条件に置き換えることができる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１ であるか、又は、Ｘ＝１０－９である。」
Ｘ＝１０－９の式を変形すると、
Ｘ＝１になる。
そのため、先の条件は、以下の条件に書き換えられる。
「全ての実数Ｘに関して、Ｘ≠１であるか、又は、Ｘ＝１である。」
これならば、この条件が成り立っていることがわかる。これにより、第１の条件の右側の条件が左側の条件の必要条件であった（第１の条件が成り立つ）ことが判定できた。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
|ｘ|≧２が成り立つことが、ｘの値からｔの値を導き出すことができる（ｔの解が存在する）存在条件である。
この連立方程式には、ｔの存在条件を与える式が加わっているので、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、以下の式を満足する全ての点(ｘ,ｙ) に対して、方程式の解(ｘ,ｙ,ｔ) が存在する。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
最初の連立方程式は、以下のようにも同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3) と、Ｙ≠０における式(4) と、を満足する全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例４》
例３の連立方程式において、以下の図の条件Ｂのように、条件のあらわす情報を、パラメータｍを利用してあらわした点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわすように限定する。そうした場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす条件Ｂの表現を同値変形で言い換える際には、そのパラメータｍは残す必要がない。そのため、以下の図のように、その条件Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報は、下図の右側の条件Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
なお、条件Ｂが表す点の集合(X,Y) の情報は、以下の条件Ｃや条件Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した条件Ｄの以下の表現の意味を説明する。
存在記号∃を使ってあらわしたこの条件Ｄが先の条件Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
条件Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。ｍのことを束縛変数（ダミー変数）と呼ぶ。条件Ｄがあらわす情報は、条件Ｄを「真」にする、（ダミー変数ｍ以外の）数ＸとＹ（自由変数と呼ぶ）の組の集合（点(X,Y) の集合）である。
束縛変数ｍには、条件Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。条件Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、条件Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、条件Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で条件Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。つまり、存在記号∃が付けられたパラメータｍは、条件があらわそうとする数の集合からは除外される。そのため、条件Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、条件Ｄは条件Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
【点(X,Y) の集合をあらわす条件だと認識すべし】
《存在条件の代入原理》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した条件Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした条件である。
条件Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した条件にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。点(X,Y) の集合の情報をあらわす条件Ａの中の、パラメータｍをＸとＹであらわす式は、点(X,Y) の集合を制限する影響がない。なお、パラメータｍの値が存在すべき存在条件は、そのｍの式を導出する過程で、条件の中に組み込まれている。そのため、パラメータｍは、点(X,Y) の集合をあらわすためには、もはや残す必要がない式である。それゆえｍの式を削除する同値変形をして最後の条件に変形する。
その最後の条件は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す条件である。その条件には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて条件の意味が明確にされる。
その、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
以上の同値変形に対して、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の条件から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の条件では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が条件の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
〘重要〙ここをクリックした先のyoutubeで、存在記号∃の意味を詳しく説明して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が冗長だと分かるレベルまでの知識を与えた上で、存在条件の代入原理が当たり前だと分かる知識を与え、存在条件の代入原理の応用の練習もさせ、更には、存在条件の代入原理を使って解く大学入試問題の２問を解いている。
とても参考になるので、是非視聴して、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉が冗長だというのが当たり前と分かるレベルまで成長することが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する情報が、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付随するパラメータ（あるいは、関係ないパラメータ）は、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、条件を偽にしてしまうという、条件に甚大な被害を与えるような事項（それは条件があらわす情報を変える重大事項である）は、条件から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の集合】
《同値変形の例６》
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
【解１】
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
（解１おわり）
この解き方を見ると、この問題の同値変形の特徴は、式(6)から(9) で与えるパラメータｓとｔの値が存在する条件を式(3) で与えたこと。そのように式(6)から(9) を導出する過程で式(3) が必要になったことこそがこの問題を解く本質である。その過程で式(3) というパラメータｓとｔの存在条件を見出すことこそが、「存在条件の導入」だと言える。
なお、上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、方程式(3) を使った点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの情報であり、点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき限定された情報ではないので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
【解２】
先に得た、ＸとＹの関係を表す方程式(3) を求める解き方は、以下のように、ｓとｔを順次に減らしていく解き方で以下の式(7) として求めることで解いても良い。
（解２おわり）
【２つのパラメータｘとｙであらわす数ｈの集合】
《同値変形の例７》
「円と放物線の交点の問題」を同値変形で解く。
ここまでの解き方を見ると、この問題の同値変形の特徴は、式(5) で与えるパラメータｙの値が存在する条件を式(6) で与えたこと。式(7) で与えるパラメータｘの値が存在する条件を式(12) で与えたこと。そのように式(6) と式(12) を導出する過程こそが問題を解く本質である。
そうして出来上がった上記の連立方程式から式(5) と式(7) を、数ｈを表す条件には不要な式だとして条件から削除することは、もはや、問題を解く本質ではない。単なる形式的な処理に過ぎず、式(5) と式(7) を条件から削除しても嬉しくはない。それよりは、むしろ（方程式の全ての解の導出公式に従って）残しておいた方が良いと思う。
リンク：
無理方程式を解くときに注意すること3つ
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