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▷必要条件の見分け方
▷方程式の全ての解の導出公式
▷存在記号∃の意味
▷存在条件の代入原理
このページは、
「同値変形の考え方」のページの要約です。
【同値変形とはなにか】
同値変形とは、命題Ａの全ての情報を過不足なく保持させて命題Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、命題Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて命題Ｂにする処理です。
命題Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
《必要条件の見分け方》
命題Ｂが命題Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
命題Ｂが命題Ａの必要条件になるということは、以下の命題が成り立つことである。
命題Ａならば命題Ｂである。
この命題は、以下の命題に置き換えることができる。
（命題Ａ）で無いか、又は、（命題Ｂ）である。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
最初の連立方程式は、以下のようにも同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3) と、Ｙ≠０における式(4) と、を満足する全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例４》
例３の連立方程式において、以下の図の命題Ｂのように、命題のあらわす情報（条件Ｂ）を、パラメータｍを利用してあらわした点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわすようにする。そうした場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす命題Ｂ（条件Ｂ）の表現を同値変形で言い換える際には、そのパラメータｍは残す必要がない。そのため、以下の図のように、その命題Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報は、下図の右側の命題Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
なお、命題Ｂが表す点の集合(X,Y) の情報は、以下の命題Ｃや命題Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した命題Ｄの以下の表現の意味を説明する。
存在記号∃を使ってあらわしたこの命題Ｄが先の命題Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
命題Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。命題Ｄがあらわす情報は、命題Ｄを「真」にする、（パラメータｍ以外の）数ＸとＹの組の集合（点(X,Y) の集合）である。
パラメータｍには、命題Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。命題Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、命題Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、命題Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で命題Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。つまり、存在記号∃が付けられたパラメータｍは、命題があらわそうとする数の集合からは除外される。そのため、命題Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、命題Ｄは命題Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
【点(X,Y) の集合をあらわす命題だと認識すべし】
《存在条件の代入原理》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した命題Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした命題である。
命題Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した命題にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。点(X,Y) の集合の情報をあらわす命題Ａ（条件Ａ）の中の、パラメータｍをＸとＹであらわす式は、点(X,Y) の集合を制限する影響がない。そのため、点(X,Y) の集合をあらわすためには、残す必要がない式であるので削除する同値変形をして最後の命題に変形する。
その最後の命題は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す命題である。その命題には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて命題の意味が明確にされる。
その、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
以上の同値変形に対して、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の命題から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の命題では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が命題の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する情報が、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付随するパラメータ（あるいは、関係ないパラメータ）は、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、命題（条件）を偽にしてしまうという、命題（条件）に甚大な被害を与えるような事項（それは命題（条件）があらわす情報を変える重大事項である）は、命題（条件）から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の表現】
《同値変形の例６》
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、以下の方程式(3) を使って点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき情報とは関係ない不要な情報になるので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
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無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
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▷存在条件の代入原理
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同値変形とは、命題Ａの全ての情報を過不足なく保持させて命題Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、命題Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて命題Ｂにする処理です。
命題Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
《必要条件の見分け方》
命題Ｂが命題Ａの必要条件になるか否かは、以下のように考えて判定できる。
命題Ｂが命題Ａの必要条件になるということは、以下の命題が成り立つことである。
命題Ａならば命題Ｂである。
この命題は、以下の命題に置き換えることができる。
（命題Ａ）で無いか、又は、（命題Ｂ）である。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
最初の連立方程式は、以下のようにも同値変形できる。
式がこの形に同値変形できたので、元の方程式の解は、「方程式の全ての解の導出公式」にしたがって、式(3) と、Ｙ≠０における式(4) と、を満足する全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例４》
例３の連立方程式において、以下の図の命題Ｂのように、命題のあらわす情報（条件Ｂ）を、パラメータｍを利用してあらわした点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわすようにする。そうした場合は、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合のみをあらわす命題Ｂ（条件Ｂ）の表現を同値変形で言い換える際には、そのパラメータｍは残す必要がない。そのため、以下の図のように、その命題Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報は、下図の右側の命題Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
なお、命題Ｂが表す点の集合(X,Y) の情報は、以下の命題Ｃや命題Ｄとして表現することもできる。
《存在記号∃の意味》
上記の必要十分条件の連鎖の最後に示した命題Ｄの以下の表現の意味を説明する。
存在記号∃を使ってあらわしたこの命題Ｄが先の命題Ｃと必要十分な関係にある。以下で、なぜそうだと言えるのかを説明する。
命題Ｄにおいて、存在記号∃を付けたパラメータｍを存在記号∃が束縛すると言う。パラメータｍは存在記号∃に束縛されている。命題Ｄがあらわす情報は、命題Ｄを「真」にする、（パラメータｍ以外の）数ＸとＹの組の集合（点(X,Y) の集合）である。
パラメータｍには、命題Ｄにあらわれている点(X,Y) を制約する役割がある。命題Ｄが、パラメータｍが存在しなければならないという指令によって制約されることで、点(X,Y) が所定の範囲内に制限され、その結果、命題Ｄが、そのように制限された点(X,Y) の集合をあらわす。点(X,Y) の情報をあらわすためにパラメータｍが利用されている。
すなわち、命題Ｄは、パラメータｍの具体的値ｍ1で命題Ｄが成り立つ場合の点(X,Y) の集合の情報（のみ）をあらわす。つまり、存在記号∃が付けられたパラメータｍは、命題があらわそうとする数の集合からは除外される。そのため、命題Ｄは、「確かに在るパラメータｍを使ってあらわされた点(X,Y) の集合をあらわす。それゆえ、命題Ｄは命題Ｃと同じ（必要十分な関係にある）である。
【点(X,Y) の集合をあらわす命題だと認識すべし】
《存在条件の代入原理》
上記の式において、最初の、存在記号を付けたパラメータｍを使って表した命題Ａは、パラメータｍを利用して点(X,Y) の集合の情報をあらわした命題である。
命題Ａは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と明示した命題にすべきである。
点(X,Y) の集合の情報をあらわすために使ったパラメータｍは、点(X,Y) の集合の情報には含まれない。点(X,Y) の集合の情報をあらわす命題Ａ（条件Ａ）の中の、パラメータｍをＸとＹであらわす式は、点(X,Y) の集合を制限する影響がない。そのため、点(X,Y) の集合をあらわすためには、残す必要がない式であるので削除する同値変形をして最後の命題に変形する。
その最後の命題は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合の情報を表す命題である。その命題には、存在記号∃を消す際に、先ずは、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が補われて命題の意味が明確にされる。
その、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。
「冗長」だと言った意味は、
以上の同値変形に対して、
（先生Ａ曰く）「そもそも方程式は点の集合をあらわすものなので、点(X,Y) の集合という言葉を使ってあらわされていた（パラメータｍがある）当初の命題から余分なパラメータｍを使った文が消えた最後の命題では、わざわざ『以下の式を満足する点(X,Y) の集合』という言葉を残す必要もない。」
という先生もいるからです。
高校生が先生から、「そもそも方程式は点の集合をあらわすものである。更には～」と言われても、方程式の深い意味や、更には～、という知識を教わっていないので、わけが分からない。高校生にとって、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が命題の意味を理解する助けになるので、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」と言う言葉は、たとえ冗長（人によっては当たり前）であっても、消さずに残しておくことが望ましい。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する情報が、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付随するパラメータ（あるいは、関係ないパラメータ）は、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、命題（条件）を偽にしてしまうという、命題（条件）に甚大な被害を与えるような事項（それは命題（条件）があらわす情報を変える重大事項である）は、命題（条件）から除去できない。
【２つのパラメータであらわす点(X,Y) の表現】
《同値変形の例６》
点(X,Y) をパラメータｓとｔであらわす以下の連立方程式(1) と(2) が以下のように同値変形できる。
最初の連立方程式の式(1) と(2) は、点(X,Y) を、２つのパラメータｓとｔであらわす式である。２つのパラメータを使ってあらわされた点(X,Y) の集合は面になる。その連立方程式を、上記の同値変形によって、パラメータｓとｔを点(X,Y) の座標によって表す式(6) から(9) を得た。パラメータｓとｔの実数の解が存在するためには、点(X,Y) が式(3) の条件を満足しなければならない。
上記の連立方程式の同値変形の結果は、実数のパラメータｓとｔを使った連立方程式で点(X,Y) の集合をあらわす表現が、以下の方程式(3) を使って点(X,Y) の集合をあらわす表現に同値変形できることをあらわしている。
すなわち、先の、同値変形した方程式の群は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けると、式(6) ～(8) が、パラメータｓとｔが求められるというだけの点(X,Y) を制限するわけでもない情報なので、表すべき情報とは関係ない不要な情報になるので削除される。
なお、式(3) は、実数のパラメータｓとｔの解が存在し得る条件であるが、それがそのまま、点(X,Y) の集合があらわす面の領域の範囲をあらわしている。
なお、元の式のパラメータｓとｔに存在記号∃を付けてあらわした以下の式は、パラメータｓとｔを、あらわすべき情報から除外するという意味の式になる。そのため、その式は、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という、情報の限定条件を付けた式と同じ情報をあらわす式（等価な式）になる。
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