（１）複素数平面

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第６講　複素数平面

複素数平面は高校３年の範囲ですが、昔は高校２年で、虚数を教わると同時に、数直線が平面になって複素数があらわされると教わっていました。
　そのため、高校２年から、複素数平面を複素数を理解するための便利な道具として使う（例えば複素数の解を表す道具として使う）ようにしてください。
（複素数平面に関して出題される複雑な問題は高校２年では解かずに、そういう問題は後で、高校３年になってから解くことにして良いです。）

複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。

上図のように、例えば、ｉや、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例　|ｉ|＝１

この図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。

以下の話は後で説明しますが、
複素数ｚが、０と１を結ぶ線分から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
ｕ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｚを他の複素数ｗに掛け算した答えの複素数ｕは、０と複素数ｗを結ぶ直線を、０を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
０と複素数ｚを結ぶ線分が０と１を結ぶ線分と成す角度θをａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
ａｒｇ（ｕ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
なお、複素数ｕの絶対値は複素数ｗの絶対値と複素数ｚの絶対値を掛け算した値になります。
|ｕ|＝|ｗ|・|ｚ|

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第６講：複素数平面（４）正５角形の問題を複素数平面を用いて解く

「式と証明・複素数」の勉強

複素数平面において半径１の円に内接する正５角形を考える。


Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とする。


【問１】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）｜＝５
すなわち、
ａｂａｂ＝５
を証明する。

【問２】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
すなわち、
ａ^２＋ｂ^２＋ｂ^２＋ａ^２＝１０
を証明する。

【問３】図の長さｓを計算せよ


この問題も自力で解くよう、努めてください。

（解答はここをクリックした先にあります。）

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３次方程式が重根を持つ条件

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問１】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【問２】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。

【難問３】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。

【難問４】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。

【難問５】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にある。

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三次方程式の判別式
３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根
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円と放物線の接線（４）

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【問１】放物線
ｙ＝２－２ｘ^２　（式１）
とＸ軸で囲まれる範囲（ｘ軸より上の範囲）にある円の半径の最大値を求めよ。

（解答の方針）
この問題で求める円は、式１の放物線とＸ軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくＹ軸に関して対称（すなわち、Ｙ軸上に中心がある）と考えられます。

その理由は、
もし、その円の中心がＹ軸上になければ、Ｙ軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。

放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。

そのため、Ｙに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はＹ軸上になければなりません。

求める円の中心がＹ軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。

次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。

（解答）
（１）
放物線の式は
ｙ＝２－２ｘ^２　（式１）
であり、
Ｘ軸の式は
ｙ＝０　（式２）
である。
（２）
式１の放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式１の放物線と左右で接して、円の下がＸ軸に接する円と考えられる。

全図形をＹ軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。

よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はＹ軸上にある。
よって、ｘ軸に接する半径ｒの円の式は以下の式であらわされる。
（ｙ－ｒ）^２＋ｘ^２＝ｒ^２　（式３）
（注意）
半径のつもりで、ｒというパラメータを導入しましたが、ｒというパラメータは、ｘ軸より上の円では正になり、ｘ軸より下の円では負になる。ｘ軸に接する円がｘ軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。

（３）
求める円は、式１の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。

（４）
放物線と円の接点をＡ（ａ，ｈ）とする。
式１から、
放物線　ｈ＝２－２ａ^２　　（式４）
式３から、
円　（ｈ－ｒ）^２＋ａ^２＝ｒ^２　（式５）

（５）
式１の放物線の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きは、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｄｙ／ｄｘ＝－４ａ
である。

式３の円の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きｄｙ／ｄｘは：

円の法線ＡＰの傾き（ｈ－ｒ）／ａの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｄｙ／ｄｘ＝－ａ／（ｈ－ｒ）　

この２つの接線の傾きが等しいので、
－４ａ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
ａ｛－４＋（１／（ｈ－ｒ））｝＝０　（式６）
この式６（接点の座標の式）を解くと、
ａ＝０　（式７）
ｏｒ
ｈ－ｒ＝１／４
ｈ＝ｒ＋１／４　（式８）

（６）
（式７（ａ＝０）があらわす接点の座標を求める）
式７を放物線の式４に代入する。
ｈ＝２　（式９）
よって、１つの接点（ａ，ｈ）＝（０，２）が得られた。
この接点は式１があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径ｒ＝１である。

（７）
（式８があらわす接点の座標を求める）
そのために、式８と式４と式５を連立して、接点の座標を導く。
（８） 
計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式４と式５を整理して、ａを消去して単純な式を得る。
式４から、
ｈ－２＋２ａ^２＝０　（式４’）
式５から、
（ｈ－ｒ）^２＋ａ^２－ｒ^２＝０　（式５’）
２×式５’－式４’を計算してａを消去する。
２（ｈ－ｒ）^２－２ｒ^２－（ｈ－２）＝０
２ｈ^２－４ｈｒ－ｈ＋２＝０ （式９）
式９に代入すべき式８を変形する。
ｒ＝ｈ－（１／４）　（式８’）
式８’を式９に代入してｒを消去する。
２ｈ^２－４ｈ（ｈ－（１／４））－ｈ＋２＝０
２ｈ^２－４ｈ^２＋ｈ－ｈ＋２＝０
－２ｈ^２＋２＝０
ｈ^２－１＝０
（ｈ－１）（ｈ＋１）＝０
ｈ＝１
ｏｒ
ｈ＝－１
ｈ＝－１は、ｘ軸よりも下のｙ座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
ｈ＝１　（式１０） 
のみが有効。
式１０を式８’に代入する。
ｒ＝１－（１／４）＝３／４
また、式１０を式４’に代入する。
１－２＋２ａ^２＝０
２ａ^２＝１
ａ^２＝１／２
ａ＝±（√２）／２　（式１１）
よって、半径ｒ＝３／４の円について、
２つの接点（ａ，ｈ）＝Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が得られた。

（９）
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると：
（９－１）；
放物線の頂点（０，２）が接点になるとき、円の半径ｒ＝１
である。
（９－２）；
Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が接点になるとき、
円の半径ｒ＝３／４
である。
（１０）
しかし、半径ｒ＝３／４の円において既に放物線に接しているので、
（９－１）の場合の、円の半径が１になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。

　よって、（９－２）の場合のみが有効な解であり、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
ｒ＝３／４
である。
（解答おわり）

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接線と放物線の交点

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】放物線
ｙ＝　ｘ^２＋１　（式１）
上の任意の点Ｐにおける接線が、放物線
ｙ＝ｘ^２　（式２）
と交わる点をＱ，Ｒとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
Ｐは線分ＱＲの中点である。

（解答の方針）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式をあらわし、
その接線点の式と式２とを連立させて、交点Ｑ，Ｒの座標を計算する式を求めれば良い。
ただし、問題の解き方も工夫する。

（解答）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝　２ｘ
Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での傾きｙ’は、
ｙ’＝　２ｐ　（式３）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式は以下の式になる。
ｙ－（ｐ^２＋１）＝ｙ’（ｘ－ｐ）
ｙ＝ｙ’（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
この式に式３を代入して、ｙ’を式３の右辺で置き換える。
ｙ＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）　（式４）
式４と式２を連立して、接線と式２の放物線の交点Ｑ，Ｒの座標を求める式を計算する。
ｘ^２＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
ｘ^２－２ｐｘ＋ｐ^２－１＝０　（式５）
ここで問題の解き方を工夫する。
根と係数の関係により、交点Ｑ，Ｒのｘ座標をｑとｒとすると、式５のｘの係数との間に以下の関係が成り立つ。
２ｐ＝ｑ＋ｒ
ｐ＝（ｑ＋ｒ）／２
これは、接線上の点Ｐのｘ座標が、点ＱとＲの中点のｘ座標であることを意味する。
∴　Ｐは線分ＱＲの中点である。
（解答おわり）

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２つの放物線の共通接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】２つの放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）
の共通接線の方程式を求めよ。


（解答の方針）
式１の接点Ａ（ａ，ｂ）での接線の式をあらわし、
式２の接点Ｃ（ｃ，ｄ）での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。

ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。

（解答）
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）

（１）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝２ｘ　（式３）
接点Ａ（ａ，ａ^２）での式１の接線の式は
傾きｙ’＝２ａ
だから、以下の式になる。
ｙ－ａ^２＝ｙ’（ｘ－ａ） 
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式４）

（２）
式２を微分して式２のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝－２（ｘ－２）　（式５）
接点Ｃ（ｃ，－（ｃ－２）^２）での式２の接線の式は
傾きｙ’＝－２（ｃ－２）
 だから、以下の式になる。
ｙ＋（ｃ－２）^２＝ｙ’（ｘ－ｃ）
ｙ＋（ｃ－２）^２＝－２（ｃ－２）（ｘ－ｃ）
この式を、
ｃ－２＝ｅ　（式６）
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｃ）　（式７）
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式７に残っているｃもｅにおきかえる。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｅ－２）　（式８）

（３）
接線の式８と４の傾きが等しい条件式を求める。
－２ｅ＝２a
ｅ＝－ａ　（式９）
（４）
式４と式８のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
ｅ^２＋２ｅ（－ｅ－２）＝－ａ^２＋２ａ・ａ
－ｅ^２－４ｅ＝ａ^２
式９を代入してｅをａにおきかえる。
－ａ^２＋４ａ＝ａ^２
－２ａ^２＋４ａ＝０
ａ（ａ－２）＝０
ａ＝０　（式１０）
ｏｒ
ａ＝２　（式１１）

（５）式１０の場合：
ａ＝０　（式１０）
式１０を式４に代入。
ｙ＝０　（式１２）

（６）式１１の場合：
ａ＝２　（式１１）
式１１を式４に代入。
ｙ－４＝４（ｘ－２）
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）

以上の結果、式１と２の放物線の共通接線の方程式は、
ｙ＝０　（式１２）
と、
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）
である。
（解答おわり）

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３次関数の曲線の形

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【覚えておくべきこと】３次関数の曲線
ｙ＝　ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ　（式１）
の形は、中心点Ａを中心にして点対象な形をしている。

その中心点Ａのｘ座標は、式１を微分した式、
ｙ＝　３ｘ^２＋２ａｘ＋ｂｘ　（式２）
の２次関数のグラフが左右対称になる対称軸の座標、
ｘ＝－ａ／３
である。

式１を微分した２次関数のグラフが、その対称軸の左右で対称であるので、
式１のあらわす３次関数のグラフは、中心点Ａの左右で傾きが等しい。
そのため、式１のあらわす３次関数のグラフが、中心点Ａを中心にして点対象な形になる。

　３次関数のグラフで、極大値と極小値とを持つグラフには、以下の寸法の関係があることを覚えておくと便利です。（これが成り立つことの証明は各自で行っておくこと）


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放物線の極線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍ直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点をＳとするとき、
傾きｍを変化させたとき、Ｓはある直線上にあることを示せ。

この問題は、以下の問題と同じ問題です。
【問題２】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点Ｓは、点Ｐから放物線に引いた２つの接線の接点を結んだ直線上にあることを示せ。

また、以下の問題とも同じです。
【問題３】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍの直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点Ｓは、ｍの値に関係なく、ある直線上にあることを示せ。

（解答の方針）
この問題は、放物線外の一点Ｐから、放物線に弦を無数に引いたとき、弦の両端における２本の接線の交点を結んでできる直線（これは極線と呼ばれている。その極線を作る元になる点Ｐは「極」と呼ばれている）を求める、有名な問題です。

この問題は、何度でも解いて練習すべき問題として推薦します。

（解答）
（１）
点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍの直線を以下の式で定義する。
ｙ－ｂ＝ｍ（ｘ－ａ）　（式２）
点Ｑ（ｃ，ｄ）とＲ（ｅ，ｆ）との座標ｃ及びｅを求める式は、式１に式２を代入してｙを消去することで求められる。
ｘ^２＝ｍ（ｘ－ａ）＋ｂ
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝０
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝（ｘ－ｃ）（ｘ－ｅ）　（式３）
（２）
点Ｑ及び点Ｒでのｘ＝ｔ（ｔ＝ｃ，ｅ）の位置でも接線の傾きは式１を微分することで求められる。
ｙ’＝２ｘ　（式４）
式４から、ｘ＝ｔの位置での接線の傾きは２ｔである。
よって、ｘ＝ｔとなる放物線上の点の接線の式は、以下の式であらわせる。
ｙ－ｔ^２＝２ｔ（ｘ－ｔ）
この式をｔについて整理する。
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝０　（式５）
この式５は、
（ｘ，ｙ）が、点Ｑの接線とＲの接線とで共通な値となるとき、
すなわち、両接線の交点Ｓ（ｘ，ｙ）の座標をあらわすとき、
ｔに、点Ｑ（ｃ，ｄ）の座標値ｃを代入して成り立つ式であり、
かつ、Ｒ（ｅ，ｆ）の座標値ｅをｔに代入して成り立つ式である。
よって、式５は、Ｓ（ｘ，ｙ）の座標に関する式で、ｔ＝ｃ、ｔ＝ｅを根に持つ二次方程式である。
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝（ｔ－ｃ）（ｔ－ｅ）　（式６）
（３）
式３と式６を比べると、
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝（ｘ－ｃ）（ｘ－ｅ）　（式３）
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝（ｔ－ｃ）（ｔ－ｅ）　（式６）
式３と式６の根と係数の関係より、
－ｍ＝－（ｃ＋ｅ）＝－２ｘ
ｍ＝２ｘ　（式７）
ｍａ－ｂ＝ｃｅ＝ｙ
ｍａ－ｂ＝ｙ　（式８）
式７と８よりｍを消去すると、
２ｘａ－ｂ＝ｙ
ｙ＝２ａｘ－ｂ　（式９）
点Ｓは、この直線９（極線）上にある。
（解答おわり）

【注意】
この問題を、点Ｓの軌跡を求める問題と考える場合は、点Ｓの軌跡は式９であらわされる直線のうち、式１の放物線で切り取られる弦の外側の部分を描くことに注意。

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４次曲線の２点への接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】４次曲線
ｙ＝　ｘ^４－ｘ^２＋ｘ　（式１）
に、直線
ｙ＝ａｘ＋ｂ　（式２）
が相異なる２点で接するときａ、ｂの値を求めよ。

（解答の方針）
問題の条件をあらわす方程式の形に従って、問題の解き方が決まってしまう。問題を解き易い形に問題の条件をあらわすには、問題の条件を可能な限り図形であらわして問題の条件をどういう図形であわらすかを工夫することが大切です。

この問題では、グラフを想像しながら方程式（のあらわすグラフ）を変形して問題を解くことが大切なポイントです。

４次曲線は、上の図のようにあらわせる。
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根であることが、式２の直線が式１のグラフに２点で接する接線になる条件である。

ここで、そのような式３を求めるということは、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。

（１）４次曲線は、座標軸ｘを平行移動することで、３次の項が無い式になる（式１は既にそうなっている）。
（２）次に、その４次曲線はｘの１次の項を無くせば、ｙ軸に関して、ｘ方向の左右で対称な形のグラフになる。そのグラフは、ｘ軸に平行な直線に２点で接する。
 　すなわち、式３のｘの項の（１－ａ）＝０にすれば、ｘ軸に平行な線に接するグラフになる。
（３）そうすれば、ｙ軸に関して、ｘ軸方向で左右対称なグラフになるので、接点のｘ座標はαと－αとになる。
つまり、式４は、
ｙ＝（（ｘ－α）（ｘ＋α））^２＋Ｃ
ｙ＝（ｘ^２－α^２）^２＋Ｃ
というグラフになる。

このＣ＝０とするように、値ｂを調整したグラフにすれば、そのグラフはｘ軸に２点で接する。
そのようにグラフを変形するように、ａとｂを定めれば良い。

【解答１】
（１）
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式２の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。

（２）
先ず、
ａ＝１　（式５）
とすると、
式４は、以下の式になる。
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２－ｂ＝０　（式６）
この式６のグラフはｘ軸に平行な線に２点で接するグラフである。
この式６を変形する。
ｙ＝（ｘ^２－（１／２））^２－（１／４）－ｂ＝０　（式７）
（３）
次に、
ｂ＝－１／４　（式８）
とすると、
式７は以下の式になる。
ｙ＝（ｘ^２－（１／２））^２＝０　（式９）
この式９はｘ軸と２点で接するグラフである。
その接点のｘ座標は、
ｘ^２－（１／２）＝０
ｘ＝±√２／２

このように、式４で、ａ＝１、ｂ＝－１／４としたら、ｘ軸にｘ＝±√２／２で接する式９のグラフになったので、求める直線のａとｂは、
ａ＝１　（式５）
ｂ＝－１／４　（式８）
である。
（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形を思い描かないで計算力だけで答えを得ようとすると落とし穴に落ちる難問です。
　なぜなら、この問題で、（重なることを許した）２点で接するという問題と考えて計算力だけで答えを計算しようとすると、答えは：
（１）下凸の異なる２点で接する。
（２）下凸の１点と上凸の１点との２点が１点に重なった点で接する。
という２種類の答えが出て来るからです。
その２種類の答えのうち、（１）の答えのみが、異なる２点で接しますので、計算力で求めた答えを選別してやっと答えにたどり着きますので、その回り道をする分だけ時間がかかってしまうという落とし穴に落ちます。
　その落とし穴に落ちないために、先ず、グラフの図形を思い描いて答えの条件を絞り込んだ上で答えを計算することが望ましいです。

【解答２】
　以下で、図形を思い描かないで計算力だけで行なった解答例を示します。

（１）
式１に式２を代入すると、
ｘ^４－ｘ^２＋ｘ＝ａｘ＋ｂ
ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式３）
この式３は、
ｙ＝ｘ^４－ｘ^２＋（１－ａ）ｘ－ｂ＝０　（式４）
という４次曲線がｘ軸と２点で接する条件を求めることと同じである。
この式３が、接点のｘ座標ｘ＝αとｘ＝βとで成り立つ、しかも、αとβそれぞれが重根を持つことが、式２の接線に対して成り立つ条件である。
その条件は、式９であらわされる。

この式９の形をしている式 ｆ を微分した式ｇを計算する。

この式 ｇ と式 ｆ の最大公約多項式 ｈ が式１２になる。
「グラフが直線に相異なる２点で接する」という条件を、上の式１３であらわす。
（２）
　次に、ユークリッドの互除法を利用して式 ｆ を式 ｇ で割り算した余り ｈ が式 ｆ と ｇ の最大公約多項式になる条件を導き出す。

ここで、この余りの式 ｈ ＝式１２に関する式１３の条件は、以下の式１５であらわせる。

余りの式 ｈ が式 ｆ と ｇ の最大公約多項式になる条件は、この式 ｈ で式 ｇ を割り算した余り ｋ が０になることである。

この式１６であらわされる余りの多項式 ｋ が０になる。
そのため、以下の式１７と１８が成り立つ。

（３）
この式１７と１８を連立して解を求め、その解のうち、式１５を満足する解を選別する。
式１８から式１９が得られる。

この解は式１５を満足した。
次に、ｂ＝１／１２の場合の解を調べる。

この解は式１５を満足しない。
よって、求める解は、
ａ＝１，
ｂ＝－１／４，
である。
（解答おわり）

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放物線の直交接線の交点の軌跡

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝ｘ^２　（式１）
について、互いに直交する２つの接線の交点は定直線上にあることを証明せよ。


この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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２つの放物線の接線が直交する

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】２つの放物線
ｙ＝　ｘ^２－２ｘ＋２　（式１）
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）
は、それらの交点の１つＰで、接線が互いに直交しているものとする。
このとき、放物線（式２）は、ａ、ｂの値に無関係な一定の点Ｑを通ることを証明し、Ｑの座標を求めよ。

（解答の方針）
「一定の点Ｑを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。

交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ^２－２ｃ＋２＝－ｃ^２＋ａｃ＋ｂ　（式３）

式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２　（式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ　（式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１　（式６）

点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）
である。

結局、以下の式の群が得られた。
ｃ^２－２ｃ＋２＝－ｃ^２＋ａｃ＋ｂ　（式３）
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１　（式６）
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）

これら３つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙである。
式が３つあるので、未知数を２つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群（ａ，ｂ，ｃ）のうちで残った１つの未知数と（ｘ，ｙ）とを含む１つの式が得られる。

そのため、この問題は、その１つの式から（ｘ，ｙ）を求める問題であることがわかる。
すなわち、この問題は、
「１つの未知数に関する１つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Ｑ（ｘ，ｙ）の値を求める」
という問題である。

問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値が変化しても一定の値の（ｘ，ｙ）によって式が満足される、そういう値（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。

更に問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。

ここまで言いかえると、この問題は、
「（１つの）未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する（ｘ，ｙ）を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。

このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。

（解答）
（１）
交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ^２－２ｃ＋２＝－ｃ^２＋ａｃ＋ｂ　（式３）
２ｃ^２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０　（式７）

（２）
式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２　（式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ　（式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１　（式６）
 －４ｃ^２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＝－１
－４ｃ^２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＋１＝０
４ｃ^２－２ｃａ－４ｃ＋２ａ－１＝０
４ｃ^２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０　（式８）

（３）
点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）
である。

（４）
これらの式を整理して並べると、
２ｃ^２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０　（式７）
４ｃ^２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０　（式８）
ｙ＝－ｘ^２＋ａｘ＋ｂ　（式２）

この３つの式から未知数ａ，ｂ，ｃのうちの２つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように（ｘ，ｙ）の値を定める。

ここで、式７と式８から、複雑な式を成す未知数ｃが消去できることがわかる。
（式７）×２－（式８）を計算する。
４－２ｂ－（２ａー１）＝０
４－２ｂ－２ａ＋１＝０　（式９）

（５）
式２から、
ｂ＝ｙ＋ｘ^２－ａｘ　（式２’）
この（式２’）を式９に代入してｂを消去する。
４－２（ｙ＋ｘ^２－ａｘ）－２ａ＋１＝０
この式を未知数ａに関して整理する。
ａ（２ｘ－２）＋４－２ｙ－２ｘ^２＋１＝０

この式が未知数ａに関して恒等式になる条件は、
２ｘ－２＝０　（式１０）
４－２ｙ－２ｘ^２＋１＝０　（式１１）

（５－１）
式１０から、
２ｘ＝２
ｘ＝１　（式１２）
（５－２）
式１２を式１１に代入する。
４－２ｙ－２＋１＝０
３＝２ｙ
ｙ＝３／２

よって、
Ｑ（ｘ，ｙ）＝（１，３／２）
（解答おわり）

【注意】この問題を解くのに、最初に未知数ｃを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数ｃを残しても、同様に、解くことができる。

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円の接線の公式を微分で導く

ページ内リンク：
▷円の接線の公式をベクトルの内積で求める

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（ある直線と曲線の交点を求める式が重根を持つときその直線が必ず接線であるとは言えない。下図の曲線にＯ点で交わる直線と曲線の交点を求める式は重根を持つ。しかし、ＡＢを通る直線のような方向を向いた直線でもＯ点で重根を持って曲線と交わる。）

【研究問題】円の接線の公式は既に学習していると思いますが、
接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、
改めて、円の接線の公式を微分により導いてみます。

円　ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
この円の式全体を微分します。

《注意：恒等式の両辺を微分する演算》
方程式の左右の辺をｘで微分した式が間違った式にならないためには、以下の条件が必要である。
▷（演算結果の有効性の条件１：微分可能であること）
　その計算をする場合は、その得られた式は、全ての項が微分可能な場合のみに、得られた式が有効になる。
上記の（式１）の両辺を微分する場合は、
変数ｙも微分可能である場合に限って、微分で得られた式が有効である。
（式１）の円の方程式で、ｘ＝１の点では、円への接線の傾きが無限大になって、変数ｙはｘで微分できない、その点では、得られた式は無効である。

▷（演算結果の有効性の条件２：元の式が、恒等式であるか、ｘの恒等式と言えるために、元の式の従属変数ｙを定めるｘの関数ｆ(x) を表現する式であること。

（ｘの恒等式ではない等式の例）
例えば、
x=5,
という等式の両辺をｘで微分した式：
1=0,
は間違った式である。
この等式、x=5, は、変数ｘに関する恒等式ではない。
この等式の両辺をｘで微分した式は無効である。

（ｘの恒等式だと言える等式の例）
y=2,
という等式の場合は、従属変数ｙが独立変数ｘの関数の、
f(x)=2, をあらわす式、すなわち、ｙ≡ｆ(x) と定義されていることを前提にした式である。
y≡f(x) なのだから、
y'≡ｆ'(x) であり、
y'=0, または、
f '(x)=0,
という意味のある式になる。

式の両辺を微分する計算には要注意。
（両辺の微分演算の前提条件おわり）

　式１の左右の辺をｘで微分して正しい式が得られるのは、以下の理由によります。
方程式１の解で、
y=f(x)
という、（陰関数）f(x)が存在する場合は、
式１の両辺をｘで微分した式が正しい式になります。
　その理由は、
式１の方程式から、
y=f(x)
という陰関数の解が得られます。
式１のyを、式１から得られる解の１つのy=f(x)という解があらわすｘの関数（陰関数）f(x)であるとみなします。yをそういう関数f(x)であるとみなせば、式１は、以下の計算で示すように、yにf(x)を代入した式１に等価な式の左辺が恒等的に1になります。
ｘ^２＋(f(x))^２＝１，

すなわち、式１は、ｙがそういう関数f(x)であるならば、1=1という恒等式を表しています。恒等式ならば、その恒等式をｘで微分した結果も0=0になり、その式は正しい式になるからです。
《注意おわり》

式１の微分の際に、
微分の基本公式
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
を使います。

ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’＋ｙ’・ｙ＋ｙ・ｙ’＝１’ 
ｘ’＝１であって、また、１’＝０であるから、
上の式は以下の式２になる。
２ｘ＋２ｙ・ｙ’＝０　（式２）
接点（ｘ，ｙ）での接線の傾きｙ’は、
（ｙが０（ｘが１か－１の場合）で無い場合は）
式２を変形した以下の式３であらわせます。

接点を（ｘ_１，ｙ_１）とすると、式３は以下の式になります。

接線の式は、

点（ｘ_１，ｙ_１）は式１を満足するので、
ｘ_１^２＋ｙ_１^２＝１
∴　ｙ_１ｙ＋ｘ_１ｘ＝１
この、円の接線の公式は既に学んでいる接線の式です。
（ｙ＝０の場合は）
ｙ’＝∞になって、ｙ’が存在しません。
しかし、ｙ’が存在しなくても、
ｄｘ／ｄｙ＝０になって、ｄｘ／ｄｙが存在します。
この場合の接線も上の式であらわされて、
ｘ＝±１
であらわされる接線があらわせます。
こうして、円の接線の公式が得られました。

  【研究問題その２】
楕円の式は高校３年の数学ⅢＣで学びますが、高校２年でも、その式だけは覚えていても良いと思います。
楕円　ｘ^２／ａ^２＋ｙ^２／ｂ^２＝１　（式１）
です。

この楕円の接線の公式は、微分により導けます。

この楕円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式　（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
を使います。

ｘ’＝１であって、また、１’＝０だから、

接点（ｘ，ｙ）での接線の傾きｙ’は、
（ｙが０で無い場合は）
式２を変形した以下の式であらわせます。

接点を（ｘ_１，ｙ_１）とすると、式３は以下の式になります。

接線の式は、

点（ｘ_１，ｙ_１）は式１を満足するので、 

（ｙ＝０の場合は）
ｙ’＝∞になって、ｙ’が存在しません。
しかし、ｙ’が存在しなくても、
ｄｘ／ｄｙ＝０になって、ｄｘ／ｄｙが存在します。
（その場合は、最初の計算を変えて、ｙで式全体を微分する計算を行うことで、改めて上の式を導きます。）
この場合（ｙ＝０の場合）の接線も上の式であらわされて、
ｘ＝±ａ
であらわされる接線があらわせます。

こうして、楕円の接線の公式が得られました。

　なお、下図のように、接線を持つグラフの集合方が、微分可能な点を持つグラフの集合よりも広いので、上の計算の様に、ｙ≠０の場合と、ｙ＝０の場合に分けて計算する必要がありました。 
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》

【研究問題その３】
なお、グラフの式の左右の式を同時に微分する場合は、
以下の注意をする必要があります。

　グラフの式の左右の式を同時に微分するということは、
yがxで微分可能な場合のみに成り立つ式を、合成関数の微分の公式を使って求めているのである。そのため、
グラフを表す関数y=ｆ(x) が、
y=f(x)
がxで微分可能で無いｘの点では、後の【事例２】で説明するように、グラフの式の左右の式をｘで微分して得た式が無効である。

　また、
y=f(x)
という関数f(x)が存在しない場合は、
式の両辺を微分しても正しい式が得られるための前提条件である、「y=f(x)を式に代入して方程式を恒等式にできる」という前提条件が成り立っていない。
そのため、その式の両辺を微分して得た式は間違っている。

【事例１】
x=0,
という方程式のグラフの場合には、
y=f(x),
という（陰）関数f(x)が存在しません。
その場合は、
微分すべき対象になる関数が存在しないので、
方程式：
x=0,
の両辺をｘで微分した式：
1=0,
は、
無効な式になります
　事例２を参考にして考えると、
ｘｙ座標でのグラフを表す式の両辺をｘで微分できる条件は：
「（ｄｙ／ｄｘ）が存在する点に限る」
という条件があります。
ｘ＝０というグラフでは、そのグラフのどの点（ｘ，ｙ）においても、
ｄｙ/ｄｘが存在しません。
そのため、ｘ＝０の両辺をｘで微分することはできない。

【事例２】 
以下のグラフ
y=f(x)
は、x=0の位置では変数ｘで微分不可能です。

このグラフは、
y≦0 :  x = −y^2,
y≧0 :  x = y^2,
という式であらわせます。
この式の左辺と右辺をxで微分した式は、
x=0
の位置で、
1=0・y' ,   ただし、y'=∞ ,
という式になり、
右辺が不定値を表す式になり、左辺の値１と同じでは無い、
無効な式になります。

【事例３】
y=0,
という方程式で表されるグラフの場合には、
y=f(x),
という関数f(x)が存在します。
その場合は、
方程式：
y=0,
の両辺をｘで微分した式：
y'=0,
は、
有効な式になります。

《円の接線の公式をベクトルの内積で求める》
　円の接線の公式は、以下のようにして、ベクトルの内積を使って求めることができます。

このようにベクトルによって円の接線の公式を導き出す方が明確だと思います。

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