勉強しよう数学

2016年9月22日木曜日

因数分解の応用問題

【問１】
次の式を因数分解せよ。
ａ^４＋ｂ^４－２ａ^２ｂ^２－４ａ^２－４ｂ^２＋４

（注意）
　この問題の計算方法には、覚えておいた方が良い計算方法（別解）がありますので、この問題を解いた後で、以下の解答ページの別解の解き方を読んでおいて下さい。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問２】
次の式を因数分解せよ。
ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４－２ａ^２ｂ^２－２ｂ^２ｃ^２－２ｃ^２ａ^２

（注意）
　この問題の計算方法には、解に至る計算の２つの道がありますので、この問題を解いた後で、以下の解答ページの２つの計算の道を読んで心に留めておいて下さい。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年9月11日日曜日

整式の除法（２）

私が提案した、融通がきく整式の除法の計算において：

割る式が複雑になった場合は、以下の様に計算すれば良いと考えます。

上の方に書いたｓの定義の式（ｓ≡２ｘ^２－３ｘ＋１）を、計算の進行につれて、現在書いている式のなるべく近くに表示するために、時々は、ｓの定義の式を再度書いて見やすくした方が良いです。
こうして、元の式に少しずつｓを注入して計算します。

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2016年9月7日水曜日

整式の除法

整式の除法は、以下の様に計算するように教わります。

この様に計算するのは分かりやすいのですが、
以下の様に計算する方が、もっと計算に融通がきく優れた方法ではないでしょうか。

この式の様に計算を整理してみると、整式の除法の計算というものは、元の式に少しずつｓ＝ｘ－１を注入する計算方法だと分かります。

以下の様な式の除法の場合には、十分融通性を利かせることが必要で、こちらの計算方法を用いた方が良いと考えます。

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2016年9月5日月曜日

数学で納得できない公式は覚えない方が良い

　数学の本質は好奇心を刺激するものだから、数学は好奇心の本能のままに勉強するのが良いと考えます。

（自分の納得できない数学の公式は覚えないようにして、好奇心の純潔を保ちましょう。
勉強して納得できてから公式を覚えれば十分間に合います。
　数学のテストの成績のためにといって納得できないことを無理に詰め込んでいると、いつか破綻すると思いますので、無理はしないようにしましょう。）

（反論への反論（１））
　上の考え方には、以下のような反論が考えられます。
（１）「公式を覚えなければ数学の学力が低下して授業についていけなくなり、結局落ちこぼれてしまうではないか。」
「先ず公式を覚えて使っているうちに公式の意味が分かってくる。だから、納得できなくても公式を覚えた方が良い。」
という反論が考えられます。
　その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
（２）数学は勉強すれば学力が伸びる学問だと思います。公式が覚えられるまで納得できるまで数学を勉強することで授業についていくようにして欲しい。
　公式は、自分で問題を解く体験によってつかみ取った、自分で使える生きた公式を覚えてください。使えない死んだ公式は、問題を解く用に使えない（それが必要なタイミングでは思い出せない）無駄な雑音なので覚えない方が良い。
　問題を自分で解こうと努力する体験の中で、死んでいる公式が、使える生きた公式に変わります。（自分が分からなかった解き方の解説に自分が納得できた時（これが大事）は、そこで使われている公式の価値が分かる）そのときに、その公式を覚えてください。

（反論への反論（２））
　以下のような反論も考えられます。
（１）「公式はただでさえ覚えられないので、絶えず覚える努力を続け無いと覚えられない。『覚え無いで良い』という意見は、その努力を中断させる甘い言葉であって、勉強の緊張感を弱める戯言である。」
という反論が考えられます。
　その反論に対しては以下のように反論したいと思います。
（２）数学は公式を覚える学問では無く、公式を導き出す学問です。公式は自分で速やかに導き出せるように修練すべきです。公式を自分で導き出す努力もせず、ただ覚えるだけで良いという考えは、数学を学ぶ緊張感が無い甘い考えだと思います。

　また、和田秀樹の「数学は暗記」という言葉が独り歩きをしていますが、和田は、「模範解答を見て理解できることが、”暗記数学”を実践していくための必須条件となる」と書いている。理解なしの暗記は無意味です。

－－引用開始－－－－－－－－－－－－－－－－
公式を暗記するのではなく、理解する

　数学では公式という道具を使いながら問題を解いていくことになります。数学の問題には、確かに公式を知っていればすぐ解けてしまう問題があります。最初のうちなので、それで済んでしまうので、そういう人も多いはずです。しかし、公式は単に覚えているだけでは限界があります。応用問題からは、確実に公式を理解していなければ上手く公式を使うことも出来ないでしょう。
　なので、公式を確実に理解するためにも、公式は導出をしっかり自分で出来るようにしましょう。そして、公式の『持つ意味』『いつ使えるか』『どう使えるか』を絶対理解しておきます。数学が得意な人ほど、そのような本質的な部分に強いです。なぜなら、そうでなければ応用問題なんて解けないからです。
－－－次の引用－－－－－－－－－－－－－－－－

公式を「覚える」のではなく「理解する」

　数学の勉強で大切なことは
公式を覚えるのではなく、理解することです。
　そしてその際、基礎的な内容は具体的に、高度な内容は実際に数学的に証明して理解することです。
　覚えても、理解しても同じではないかと思われる方がいらっしゃるかもしれませんが、ただ意味も理由も分からず覚えている内容というのは応用できないのです。
　全ての科目に言えることですが、理解した内容でなければ応用できません。
　公式は覚えるものという認識をまず捨て、時間がかかってもいいので、基礎的な内容は具体的に、高度な内容は数学的に証明して理解していきましょう。
－－－－引用おわり－－－－－－－－－

（３）自分で問題を解きながら、良い解き方のパターンをつかみ取って、そのパターンを覚えやすい自分の公式の形に表わして、その使える生きた公式を覚えるよう心がけてください。
（４）実際、数学の実力が学年の平均を上回っているからといっても、使える生きた公式を学んでいない人が実に多いように思います。そういう状況なので、たとえ数学を一切勉強していなくて学年最下位の成績であっても、自分で使える生きた数学の公式をつかみ取り始めたら、通常の数倍の速度で実力が向上する、という特徴が数学という学問にはあります。
（５）数学を嫌いになると、そういう急速な学習を妨げることになりますので、数学を嫌いにならないでください。
（６）高校３年間、数学の授業は一切聞かない最下位の学生で、しかし、数学にいやな思いを持たず数学が嫌いにならなかった学生は、１年間もあれば、３年間勉強して来て学年平均以上の数学の実力があるが数学をあまり好きでは無い学生を大きく引き離す数学の力をつけられるものです。
　そのため、数学を嫌いにならないようにする手段として、「数学を勉強しない」という手段を選んでも良いから、数学を嫌いにならないようにしてください。
「そうすれば、生きた数学を勉強し始めたら急速に成長できます。その芽を摘み取らないようにして、有意義な人生を送って行って欲しいと思います。」

（最後に注意）
　高校２年生の後期になると、「微分積分」を教えられます。残念ながら、高校で教えられる「微分積分」では納得できない公式を覚える事が強制させます。特に、合成関数の微分の公式の説明にごまかしがあります。そのとき、その筋の通らない公式を覚えない選択は数学のセンスがある学生の正しい選択だと考えます。
　しかし、
「それでは、微分積分の受験問題が解けないのではないか」
というもっともな意見があります。
　それを改善するには、受け身で学習するのでは無く、自らで、正しい説明をしている参考書を探して、正しい参考書から正しい学力を得るようにして欲しいと思います。

　それと、高校数学の公式を覚えるという数学センスから考えると、微分積分の教科書に入っている嘘とごまかしは、数学を覚えにくくするので禁物なのです。なぜかと言うと、数学の公式を覚えるというのは公式を導き出す小さなヒントだけ覚えて、そのヒントから公式全体を導き出せるようにすることだからです。
　小さなヒントだけ覚えれば良いので多くの公式を覚える量が本当に少なくて済み、覚えるのが楽になります。その様にして多くの公式を全て導き出して使うのです。そうすると、とても多くの公式を全て覚えているのと同じ結果になります。
　しかし、嘘とごまかしによっては、そこから正しい公式全体を導き出せ無くなります。そのような不純物（嘘、ごまかし）が心に入ると、もう数学の力は失われてしまい、何もわからなくなります。

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2016年9月2日金曜日

自分で問題を解いて、何が良いかを自分で考える

高校数学は、何でも疑って、
自分で問題を解いて、良い事であると確かめられた事だけを覚える心が大切だと思います。

その勉強の仕方の例として、
以下の問題を自分で解いてみます。
【問１】

を利用して、

を因数分解せよ。

【疑い】
この問題の、

という式は、問題の式

を因数分解する助けにはなるかもしれないが、その式は他の式を因数分解する役には立つのか？

【先ずは、この式を使わずに自分で問題を解く】

を因数分解する問題は難しいので、先ず、ｃ＝０の場合を解く。

ｃ＝０の場合は解けた。
それでは、ｃ＝０で無い場合は、ｃは、ｃ＝０の場合に得られた式のどこに入ってくるだろうか。

は、ａとｂとｃを入れ替えても同じ式になるので、
それを因数分解した式もａとｂとｃを入れ替えても同じ式になるハズです。
それでは、ｃを以下の様に右辺の式に入れたらどうだろうか。

この様に因数分解の答えを予測しました。
　この右辺の式を展開したら、以下の様に左辺の式が得られた。

よって、この右辺の式が因数分解の解である。
（解答おわり）

（補足）
　左辺の式の因数の１つが（ａ＋ｂ＋ｃ）であることを素早く確認する方法：
右辺の式のように（ａ＋ｂ＋ｃ）が掛った式は、
ｃ＝－（ａ＋ｂ）
の場合に０になる。そのため、
ｃ＝－（ａ＋ｂ）
を左辺に代入して、以下の計算をしたら０になるので、
左辺の式の因数の１つが（ａ＋ｂ＋ｃ）であることが素早く確認できます。

この様にして（ａ＋ｂ＋ｃ）が因数であることが分かったら、

を（ａ＋ｂ＋ｃ）で割り算することで、（ａ＋ｂ＋ｃ）にかかる項を、確実な計算で求めたいものです。
その確実な計算方法は、
（ａ＋ｂ＋ｃ） ≡ ｓ
とおいて、

の式の中にｓを注入する。
その注入方法は、以下の計算の様に、
ｃ＝ｓ－（ａ＋ｂ）
という式を代入して、この式を、変数ａ，ｂ，ｃの式から変数ａ，ｂ，ｓの式に変換してｓを注入すれば良い。
そうしてから式を整えていけば、自ずから答えが得られます。

ここで、ｓを因数とすることができたので、ｓに掛る項を整えることで求める解が得られます。

こうして、因数分解の解を得ることができました。

（補足（その２））
この自分の解き方は、ずいぶんいいかげんな解き方のように見える。
なぜなら、この解き方ならば、
以下の様な解の予測もできるからです。

しかし、事実は、

であるので、

は、この左辺の式

の因数にはならないです。
それで、この左辺の式

は、この方法では因数分解の解が見つけられません。
しかし、以下の式の関係もあるので、

この左辺の式

の因数には、

もなることができません。
結局、この左辺の式

は因数分解が不可能でした。

因数分解が不可能な式は、もともと解くことができないのですから、「もし解けるなら解はこうなる」という示唆の価値は損なわれていません。

そのため、この自分の解き方は、それほどいいかげんな解き方ではありませんでした。

　一方で、最初の、問題の解の求め方の示唆はどうでしょうか。
この、

の式を因数分解しようとしてみます。
その因数分解のためには、

が役にたつかもしれないという示唆しかありません。
そして、それを使ってもこの式は因数分解ができないのです。
なぜなら、この式

は因数分解が不可能だからです。

そうなると、

を使う解き方の価値は、
自分が使った、簡単な問題の解を使って、難しい因数分解の問題の答えを推測して、その答えを展開して元の式になることを確認して、因数分解の答えを得る解き方と比べると、
問題の解答の見通しが悪いので、
劣った方法である
と判定せざるを得ません。

そのため、その価値に納得できませんので、

を使う解き方は覚える必要が無い
と判定します。

（３）「安易に、納得していない疑わしい公式を覚えないこと」

の原則に従って、この方法は覚えないようにします。

この方法を覚えずに問題を解く方法は、
自分の方法で問題を解く方法であって、
答案の解答の書き方は：
「問題の式を、（～～～）で因数分解したら、
因数分解できたから、これが答えです。」
と答えれば良い、と考えます。

ただし、後に教わる、以下の解き方は覚える価値があると考えます。

この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がｘ，ｙ，ｚを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
　その方針で解く理由は、先に、この式の因数が（ｘ＋ｙ＋ｚ）であると予測した（これが大切！）ことにあります。そして、その因数（ｘ＋ｙ＋ｚ）が、ｘ，ｙ，ｚを入れ替えても変わらない対称な式の基本要素の式ｓだからです。
　ｘ，ｙ，ｚの対称な形の式は、以下の要素ｓ，ｔ，ｕを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、ｓ，ｔ，ｕの関数ｆであらわせます。

そうできるので、以下で、この変数ｘ，ｙ，ｚであらわされた式を、変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換します。

こうして、ｓで因数分解ができました。

（考察）　この計算方法は、
先に行なった、
（ａ＋ｂ＋ｃ） ≡ ｓ　と定義した変数ｓを、

の式の中に注入して、式を整える方法と同じ種類の、式の変換方法と考えます。
　こちらの式の変換方法では、先に行なった、変数ａ，ｂ，ｃの式を変数ａ，ｂ，ｓの式に変換して式を整えた方法とは違って、ｓの注入を少しづつ行なう。こちらの式の変換方法では、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する明確な指針に従って式を少しづつ整えた。
　こちらの変数ｘ，ｙ，ｚの式の変換方法を参考にして、先に行なった、変数ａ，ｂ，ｃの式を変数ａ，ｂ，ｓの式に変換して式を整える方法を改良できる。改良した方法では、こちらの式の変換方法とほとんど同じになる。
　上の式の、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する式の１行目から６行目の式（ｓで因数分解をした式）は、変数ｘ，ｙ，ｚの式のｘを少しづつｓの式に置き換えて変数ｓ，ｙ，ｚの式に変換する式と同じです。

ただし、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。

更に進んだ内容は、ここ「因数分解の難問」をクリックした先にあります。

リンク：高校数学の目次

2016年9月1日木曜日

因数分解の問題を易しくして解く

【問１】
次の式を因数分解せよ。

，

（問題を見たら最初に考える事）
　難しい問題に出会ったら、先ずは、それを易しい問題に直して解いてみます。

「難しい問題は、簡単な問題に変えて解いて、その後に、元の難しい問題を解こう」
という方針が、
高校数学の全ての問題を解くときの、基本的考え方です。

【解答】
難しいので、この問題を、
ｃ＝０の場合の問題に直して、それを解いてみます。

ｃ＝０の場合は解けました。

ｃが０で無い場合は、ｃが上の式のどこに入りこんで来るかを推理します。
以下の式はどうでしょうか。

左辺の式が、ａとｂとｃの置き換えで同じ式になる対称な式なので、
因数分解しても、ａとｂとｃを置き換えても同じな、こういう式になるのではないでしょうか。

もしこの式が正しいならば、右辺の式が０になる条件である、
ａ＝－ｂ
ａ＝－ｃ
ｂ＝－ｃ
の各場合を、
左辺の式に代入しても、それぞれ０になるはずです。
それを以下で確認してみます。

全部０になりましたので、推測した右辺の式が正しいことがわかりました。
（解答おわり）

【別解】
問題の答えが分かったので、次は、この答えを、問題を易しくしないでも解ける方法を探してみます。
その結果、以下の解き方で解けるようになりました。

（解答おわり）

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2016年8月31日水曜日

高校数学の勉強方法

高校数学は、中学とはうって変わって急に教わる項目が増え、

ついていくのがやっとだ、
と言うのはまだマシで、

ついていけなくなる！！
人が大部分のようです。

これは大問題だとおもいます。

ちなみに、私が数学が得意になったのは、自習によるところが大きかったです。
授業中にも、自分の問題を解いたりして
いつの間にか自習していたりしていたことも多かったです。
数学は、とにかく問題を自分で解くことが第１に大切です。

「先生の話を聞かなくても良いから問題を解け」
です。

先生の授業を聞かないでも良いから、
自分で問題を解くことが大切です。
問題の解き方は、教科書や参考書に書いてありますので、
先生の授業を聞かなくても良いかもしれません。

学校の先生は、どうしても解けない問題があった時に、
教えてくれる人として存在価値があるようにも思います。

高校の数学の先生は、生徒の学習が遅れてもかまわず先に進んで教えるという噂を聞きます。

それが本当ならば、ひどい教育ですが、
先生は、生徒の学習のペースメーカー（進行係）として、
「今は～～まで勉強するべし」
と、学習の進度を教えているというのならば、
理解できます。

自力で問題を正しく解けるようになる大原則は、
（１）「何でも、先ずは疑うこと」
（２）「疑いようが無いことのみを覚えること」
（３）「安易に、納得していない疑わしい公式を覚えないこと」
疑わしい公式は間違いの発生源だから、無い方が良い。
そもそも、公式は自分で導き出せるようになること。
（自分で導き出せるのだから、覚えないでも良い）
です。

納得できるようになるまで数学を勉強して下さい。
それが、高校の数学の勉強のやり方と思います。

数学を得意になろうと思ったら、
分からなくなったところから、ていねいに教えてくれる先生をみつけて、
自分がわかるところから、次にわかることまで、
自分で納得しながら勉強するのが良い勉強の仕方と思います。

　高校１年の後期になると、三角比の授業で、三角形の余弦定理を学びます。その余弦定理の形が複雑なので、覚えるのに苦労します。その時、安易に余弦定理の式の形を暗記するのでは無く、余弦定理をいかに速く導き出すかを探究するのが良いと思います。

　「なぜ数学を勉強しなければならないのか」という疑問がインターネットに書かれています。その質問は、私自身に対しては「なぜ私は数学をするのか」という自問になると思います。
　その自問に対する答えは、面白いから数学をやっていました。そのため、勉強して解き方を覚えた問題はもう解かないで良くなったという事にはなりませんでした。面白いので分かった問題も解きます。余弦定理を使って解く問題は三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って解けました。
　しかし、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って速やかに余弦定理を導き出す方法を知らなかったので（誰かに教わる事ができれば良かった）、ベクトルの内積を学ぶまで１年の間、余弦定理を覚えていませんでした。その間、「余弦定理を書け」という問題を恐れていました。

　高校２年の後期になると、微分積分を教わります。その微分積分を学ぼうとすると教科書の記述が意味不明なので苦しみます。そのとき、妥協せず、それが意味不明だとはっきり認識するのが正しい認識です。残念ながら、高校の教科書の記述は誤っているので、誤りが理解出来ないのが正しいです。
　そのとき、駄目な本はダメとして捨てて、正しい事を教えている大学の教科書を探して、それから学ぶように切り替えてください。そうすると、スムーズに学習が進むようになります。そのように、自分の数学センスに素直に従って学んで行ってください。

　それと、高校数学の公式を覚えるという数学センスから考えると、嘘とごまかしは、数学を覚えにくくするので禁物なのです。なぜかと言うと、数学の公式を覚えるというのは公式を導き出す小さなヒントだけ覚えて、そのヒントから公式全体を導き出せるようにすることだからです。
　小さなヒントだけ覚えれば良いので多くの公式を覚える量が本当に少なくて済み、覚えるのが楽になります。
　しかし、嘘とごまかしによっては、そこから正しい公式全体を導き出せ無くなります。そのような不純物（嘘、ごまかし）が心に入ると、もう数学の力は失われてしまい、何もわからなくなります。

（数学の公式の覚え方の注意）
　中学生のときは数学ができたのに、高校生になると数学ができなくなったと感じて数学をあきらめて脱落する学生が多いようです。そうなるのは、中学生のときから数学の公式の間違った覚え方を身につけ、それが現実の数学の公式群を覚えるのに通用しなくなるからだと考えます。
　公式をごろ合わせで覚えるのは公式の間違った覚え方です。毎回式を展開して、必要な公式を導き出して使うのが、正しい公式の覚え方だと思います。
　式を展開するだけでは、何も覚えていない様に見えますが、実はそうでは無く、式を展開する毎に、解に到達する式の展開手順を無意識に覚えているのです。そういうふうに公式を覚えるのが、高校生になった後でも数学の学習から脱落しない公式の正しい覚え方だと思います。

《数学の先生が大事》
　数学は、人から教わるものです。
　良い数学の先生から教われば、数学が好きになり、数学が得意になるものです。
　良い先生は、学校の先生だったり、塾の先生だったり、家庭教師だったりします。
　良い先生を見つけたら、その先生との人のつながりを大切にし、付き合い続けることができれば良いと思います。
　良い先生という人は、数学の知識も必要ですが、その知識よりも先に、良い先生の見分け方があります。
良い先生という人は、
生徒とともに数学の問題の分からないところに悩み、何が正しいのか、生徒と一緒に問題を解決しよう、正しい事を生徒に教える努力をいとわない、数学に真剣にとりくむ姿勢がある人です。
　数学に対して、生徒とともに向き合う姿勢があります。
数学に真剣に取り組んでいる良い数学の生徒は、生徒といっしょに課題に取り組み、問題を生徒といっしょに解くことを好むものです。
そして、生徒の前で、初見の数学の問題に果敢に取り組んで、まさに問題を解く現場を見せて、問題への対応の仕方を生徒に教えてくれる人です。
　自分が問題の計算間違いをするのを恐れず、まさに計算間違いをしたその時に、どのようにしてその間違いを本能的に感知し、そして、どのようにして間違えた箇所を発見して間違いを直すかの過程も生徒に教えようとする人です。
そういう教える姿勢がある人なので、自分が間違える事を恐れず、間違いがあればただちにその間違いを認める人です。
間違いに対するその対応の姿勢を生徒が真似することで、生徒の数学の力がついていきます。

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2016年8月11日木曜日

因数分解の可能性を広げる発想

【問１】
次の式を因数分解せよ。

，

（コメント）１変数をある変数の２乗と解釈しても良い。頭を柔らかくして、因数分解の可能性を広げて下さい。

【解答】

（解答おわり）

（補足）
この問題は、因数分解を拡張して数学の可能性を広げる方法であって、自分の必要に応じて使う技術であり、
正式な因数分解ではありません。

なぜなら、この考え方では、
ａ－ｂ＝（√ａ－√ｂ）（√ａ＋√ｂ），
ａ＋ｂ＝（√ａ－ｉ√ｂ）（√ａ＋ｉ√ｂ），
とでき、あらゆる式が更に因数分解できることになります。
　また、以下の式も以下のような変な式に因数分解できることになり困ります。

そのため、この方法は普通の因数分解ではありません。
（因数分解の正式な試験問題としては出題されないと思います）

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2016年8月10日水曜日

三角形の外心の高さ

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問】三角形ＡＢＣの外心（外接円の中心）の座標Ｄを定める法則を探せ。

数学の新しい技術を学んだら、その技術の力を使って、何か新しい法則を見つけるよう心掛けましょう。

ここでは、外接円の中心座標Ｄを定める法則を探してみましょう。

（予備知識）
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
（難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。）

【解答】
先ず、頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を、点Ａ（２ｍ_１，２ｍ_２）、点Ｂ（０，０）、点Ｃ（２ｃ，０）と定義して、問題を解いてみる。

外接円の中心Ｄは、線分ＡＢの垂直二等分線と線分ＢＣの垂直二等分線（Ｘ＝ｃ）との交点を計算することで求める。

線分ＡＢの垂直二等分線は線分ＡＢの中点Ｍを通る直線である。

線分ＡＢの垂直二等分線の式は、ベクトルＭＤとそれに垂直なベクトルＭの内積が０であることをあらわす式である。

上の図のように、直線ＡＢの垂直二等分線の式は、式１であらわされる。
ｍ_１（Ｘ－ｍ_１）＋ｍ_２（Ｙ－ｍ_２）＝０　（式１）

直線ＢＣの垂直二等分線の式は、
Ｘ＝ｃ　（式２）
であらわされる。
式１と式２を連立してＹ座標を計算する。

これで、Ｄ点のＹ座標を定める式の法則が得られた。
（解答おわり）

このＹの値の式を、以下の様に分かり易く書き直します。

外心の高さＹを与える式を変形すると、２番目の式のように、
余弦定理に類似した式が得られます。

そもそも、三角形の外接円の半径をＲとすると、
Ｒ・ｃｏｓＡ＝Ｙ
が成り立っていて、
また、
三角形の辺ｂと辺ｃの積は、高さｈで：
ｂｃ＝２Ｒｈ
とあらわせます。
そのため、
ｂｃ・ｃｏｓＡ＝２ｈ・Ｙ
になる事は直ぐに分かります。
なお、底辺ＢＣに垂直な、底辺から頂点Ａまで達するベクトルｈは以下の式で表せる。