2018年7月7日土曜日

裏正弦定理

正弦定理の裏の定理の、裏正弦定理があります

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心(外心)とを描きます。
上の図で、三角形の頂点の角度∠A=θが外接円の円周角であり、それは中心角∠BOCの2分の1であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Rと、三角形の頂点の角度∠A=θとその頂点Aへの対辺BCに対する外接円の中心Oの高さmとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。
すなわち、∠A=θであらわすと、
この式を変形すると、
です。
同様に、
が成り立ちます。
       
これらが裏正弦定理です。
裏正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。

 円周角に関係が深い問題は正弦定理又は裏正弦定理を使って解きましょう。

(後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校2年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。)

リンク:
余弦定理
正弦定理の応用(三角形の面積)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法

三角形の重心
三角形の垂心
三角形の内心
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