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▷数列による極限の定義とεδ論法の極限の定義が必要十分な関係にある証明
▷位相空間論での極限の定義
高校２年になり学ぶ「極限」は、微分の計算をする上で必要になった計算技術です。
そのため、微分の計算を先にして、計算に困ったときに「極限」を学ぶという勉強スタイルでも良いと考えます。
そういう計算の役に立つように、頭を整理することが、極限を学ぶということです。
高校２年の微分積分の勉強のためには、「やさしく学べる微分積分」（石村園子）を読むと、内容がわかり易くて良いと思います。その４ページには、ε－δ論法を使わないで、極限値を簡単に定義しています。
高校生は、極限を学習する初めには、数列の極限を学ぶと思います。数列の極限を理解するために、証明が済んでいる頼れる定理はなるべく多く用意して考えの支えに使うのが良いと思います。推薦できる高校数学の参考書：「生き抜くための高校数学」（芳沢光雄）の「数列の極限」は、その入門用のいくつかの定理が書いてあるので参考になると思います。
それを見た後で、ここをクリックした先の、数列の極限を詳しく書いてあるサイトの情報を参考にして、
その後に、数列の極限に係る多くの定理の情報を得るため、ここをクリックした先のサイトに数列の極限に係る定理の情報が多いので参考にしたら良いと思います。
高校３年になって本格的に微分積分を学びたくなった学生は、学生が微分積分を無駄なく学べるよう工夫がこらされている本：小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」を読むと、微分積分が無駄なく勉強できて良いと思います。その２２ページに数列の極限値の定義が書いてあり、７６ページに、ε－δ論法を使った極限値の定義が書いてあります。
ただし、数列の極限値についての参考書は、高校生は、先ず、推薦できる高校数学の参考書：「生き抜くための高校数学」（芳沢光雄）の「数列の極限」に関する説明を読むのが良いと考えます。それを理解した後で、小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の２２ページの数列の極限値の説明を読むようにした方が良いと思います。
〔極限の定義の役割〕
点ａでの極限とは、第１の条件として、点ａが関数の定義域Ａの要素の集積点であること、第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の右側極限値と左側極限値が一致していること。その２つの条件が成り立っている関数ｆ(x) の点ａにおける関係を表すことが極限の定義の役割である。
関数の極限の定義は：
（１）第１の定義の極限：
開放された区間（ａ＜ｘ＜ｂ）の関数ｆ（ｘ）でｘの右側極限と左側極限が一致する場合に極限があるものとする極限の定義。
（２）第２の定義の極限：
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）の関数ｆ（ｘ）の、ｘ＝ａとｘ＝ｂとの区間の端点では、片側極限があるだけで、極限があるものとする極限の定義。
との２通りの定義があるので要注意です。
《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えていくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
数ｘの集合Ａが全ての有理数であるとする。その場合に、以下の図で、点ａ以外の値の数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数ｘの集合Ａの要素の数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
すなわち、「集合Ａの要素の数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の数ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａ（例えば有理数の集合）を考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）なお、数の集合Ａの要素のある点（数ｙ）が集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａが集積点ａを持つ場合を考える。その場合に、集合Ａから、値が集積点ａと異なる要素ｘn を順に選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作れる。その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなって、 ｆ(x) が値Ｃに収束するということが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限が存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義（第１の定義）】
変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域の集合Ａを、区間とする。そして、「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
ーー【区間の定義】ーー
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「数のすき間が無い」大前提のために、連続性の公理を満足する数（実数）の集合でなければならない。
《神奈川大学》【定義 14.2.4.】
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区 間と呼ぶ.
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
----定義おわり----
ａ≦ｘ≦ｂを満足するｘの区間という表現は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲内の全ての実数ｘという意味です。
－∞＜ｘ＜∞という区間もあります。
区間はｘの値の範囲を限定するためのａ≦ｘ≦ｂという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
「区間」という用語は、特に重要な関数である連続関数の連続性を定義するために必要な、連続関数f(x)の変数xの集合体がいつも持っていなければならない連続性という重要な性質が「区間」という概念を用いてあらわされています。
すなわち、変数ｘの「区間」の性質で大切なのは、
「区間」のなかに変数ｘの値が隙間なく存在すること。
つまり所定範囲内での隙間が無い全ての実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されています。
例えば：
f(x)=1/xの定義域を(0,∞) (={x|xは0より大きい実数})
とすれば、f(x)は区間で定義された関数です。
g(x)=1/xの定義域を(-∞,0)∪(0,∞)(={x|xは0でない実数})
とすれば、g(x)は区間で定義された関数ではない。
（f(x)とg(x)は定義域が異なっているため、f(x)とg(x)は同じ関数ではない）
（Ａ）「０≦ｘ≦２の区間の変数ｘで定義された関数f(x)がその区間の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という文では、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ≦２の区間で１つながりに連続した関数ｆ（ｘ）として定義されます。
一方で、
（Ｂ）「変数ｘの０≦ｘ≦２の範囲内の値で関数f(x)が定義されていて、その関数ｆ（ｘ）が定義域の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という高校数学の連続関数の説明文では、ｆ（ｘ）は、例えば、
０＜ｘ＜１で f(x)=0, この定義域内の各点で連続。
１＜ｘ＜２で f(x)=1, この定義域内の各点で連続。
結局、０≦ｘ≦２の範囲内の全ての定義域の各点で連続でありx=1では連続で無い関数を誤って、連続関数ｆ（ｘ）であると定義しています。
この例の様に、「区間」という用語は変数ｘの集合をあらわす用語であって、変数ｘの範囲をあらわす用語では無いことに注意する必要があります。
----------区間の説明終わり-------------
【直感的極限値】
関数f(x) において， x をｘ0 に限りなく近づけていくとき，
f(x) がある値Ｃ に限りなく近づくならば，値Ｃをx がｘ0 に近づくときのf(x) の極限値といい，
で表わします．
さて，ここで限りなく近づくというのはどういうことでしょうか． x がx0 に限りなく近づくとは，以下の２つの考え方で定義できます。
《x がx0 に限りなく近づくことの定義（その１）》
古典的（基礎的）微分積分学においては、x がｘ0 に限りなく近づくとは，関数ｆ(x) の変数ｘの定義域の集合Ａを区間とし、その区間Ａに関して：
点ｘ0 に収束する、区間Ａの要素のｘの点の無限数列が存在する。すなわち、点ｘ0 が区間Ａの要素の集積点になるということと同じだと考えて良い。
そして、その点ｘの数列がｘ0 に収束するのにともなって、 f(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ｘ0 でf(x)に極限値が存在するための基礎条件である。そして、区間Ａの要素のｘの点の、ｘ0 に収束する全ての無限数列で、関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する場合にｆ(x) のｘ0 での極限が存在する。それが、厳密な（第１の）極限の定義である。
《x がx0 に限りなく近づくことの定義（その２）》
また、古典的（基礎的）微分積分学のもう１つの考え方では、集合Ａの要素の点x が集積点x0 に限りなく近づくとは，
絶対値|x−x0| を限りなく小さくできる（そういう条件を満たす値ｘが集合Ａの要素に存在する）ということと同じだと考えてもよい．集合Ａが区間であれば、それは、いつでも成り立っている。
そして， f(x) が値Ｃに限りなく近づくということも
|f(x) − Ｃ| を限りなく小さくできることだと考えてもよい．
〘関数の極限の第２の定義〙
《関数のｘの定義域の集合Ａは区間とする》
集合Ａが区間であって、区間Ａの要素のｘの値が集積点ｘ0に近い全ての点ｘ（ｘ0 に近い区間Ａ内の全ての実数の点ｘ）において、すなわち、十分小さい正の値δに関して、|ｘ-ｘ0|＜δの範囲内の全ての点ｘにおいて、f(x)がＣに近い値になることが、x=x0でf(x)に極限値Ｃが存在することの厳密な（第２の）定義である。この（第２の）定義は、（第１の）定義と、必要十分な関係にある。
《第２の定義が第１の定義と必要十分な関係にある証明》
この証明は、
「『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版」の、
「６.収束の条件．コーシーの判定法」
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_006.html
の定理８の証明の内容に含まれている。
その証明で言う数列ａn が、関数ｆ(ｘn) の値であり、変数ｘは、数列ｘn として考えられている。
0＜|ｘ-ｘ0|＜δ
という条件は、数列ｘn が限りなく点ｘ0 に近づくという意味である。
変数ｘの数列{Xn}が限りなくｘ0 に近づくということについては、
ｎ＞N(δ) ならば、変数ｘに関して、必ず、
|ｘn-ｘ0|＜δ
となることが、
ｘ→ｘ0
の意味である。そのことは、
「４.数列の極限」の定理４
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_004.html
に書いてある。
〘証明問題１〙点ａが集合Ａの集積点であるならば、第２の定義の極限があれば第１の定義の極限が存在する。
（１）関数ｆ(x)のｘの定義域の集合Ａが区間であって、その区間Ａの集積点ａに関して、ある値Ｃにより、どれだけ小さな正の値εに対しても、十分小さい正の値のδによって、集合Ａの要素の点ｘに関して、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
となる（第２の定義の極限がある）ならば、
（２）集積点ａに収束する、区間Ａの要素のｘの点の無限数列{ｘn}に対して、数列{ｆ(ｘn)}は値Ｃに収束する。そして、値ａに収束する全ての無限数列に対して関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する（第１の定義の極限がある）ことを証明せよ。
【証明開始】点ａが集合Ａの集積点であることが必要
点ａが集合Ａの集積点であることが前提条件になっているので、点ａに収束する、点ａと異なる集合Ａの要素から成る無限数列{ｘn}が少なくとも１つは存在する。
その無限数列{ｘn}は、点ａに収束しているので、
任意の正の実数δに対して、以下の条件を満足する自然数ｎ0(δ)が存在する。
ｎ＞ｎ0(δ) を満足する自然数ｎがあり、その自然数ｎの全てで、
0＜|ｘn−a|＜δ が成り立つ。
これを式(1)に代入することで、
|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε が成り立つ。
すなわち、どれだけ小さな正の値εに対しても、ある自然数ｎ0(δ)が存在し、
ｎ＞ｎ0(δ)なる全てのｎで、 |ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε が成り立つ。
このため、数列{ｆ(ｘn)}は値Ｃに収束する。
以上の結論は、集合Ａの要素で作られる無限数列であって、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で同様に成り立つ（第１の定義の極限がある）。
（問題１の証明おわり）
〘証明問題２〙点ａが集合Ａの集積点であるならば、第１の定義の極限があれば第２の定義の極限が存在する。
（１）集積点ａに収束する、区間Ａの要素のｘの点の全ての無限数列{ｘn}に対して、数列{ｆ(ｘn)}は値Ｃに収束する。
すなわち、どれだけ小さな正の値εに対しても、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎなる全てのｎで、|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε, (2)
が成り立つ。
そして、値ａに収束する全ての無限数列に対して関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する（第１の定義の極限がある）ならば、
（２）関数ｆ(x)のｘの定義域の集合Ａが区間であって、その区間Ａの集積点ａに関して、ある値Ｃにより、どれだけ小さな正の値εに対しても、十分小さい正の値のδによって、集合Ａの要素の点ｘに関して、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
となる（第２の定義の極限がある）ことを証明せよ。
【証明開始】点ａが集合Ａの集積点であることが必要
点ａが集合Ａの集積点であるので、値ａに収束する無限数列{ｘn}が存在する。
この問題を、結論を否定する仮定を設定し、その仮定によって矛盾を生じることを示して結論の否定が誤りであることを証明する。
〔仮定〕
（１）値ａに収束するどの無限数列{ｘn}に関しても、どれだけ小さな正の値εに対しても、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎなる全てのｎで、|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε, (2)
が成り立つときに、
（２）どれだけ小さな正の実数εに対しても、ある正の実数δが存在し、集合Ａの要素のどのｘの値に対しても、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
が成り立たないことがあることを仮定する。
すなわち、
（３）ある正の実数εに対して、どの正の実数δであっても、集合Ａの要素のあるｘの値に対して、
0＜|x−a|＜δ かつ |ｆ(x)-Ｃ|≧ε， (3)
となる事がある。
と仮定して、そう仮定すると矛盾が導かれることを示すことで、この証明問題２を証明する。
（矛盾の導出開始）
（１）を満足する、ある正の実数εに対しては、正の実数δを、自然数ｎに関して、
δ＝1/n,
としたときにも、
（仮定により）
集合Ａの要素のある値ｘn に対しては、
0＜|ｘn−a|＜1/n かつ |ｆ(ｘn)-Ｃ|≧ε， (4)
となる。
つまり、δ＝1/nを与える自然数ｎ毎に、式(4)が成り立つある値ｘnが必ずある。
ここで、この、ｎ毎に定まるある値ｘnを使って 数列{ｘn}を作る。
この数列{ｘn}は、式(4)によって、
0＜|ｘn−a|＜1/n
が成り立つので、
ｎが大きくなるにつれて点ａに収束する無限数列である。
値ａに収束するどの無限数列に対しても式(2)が成り立つので、 数列{ｘn}についても、
正の値εに対しても、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎなる全てのｎで、|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε, (2)
が成り立つ。
これは、式(4)の、|ｆ(ｘn)-Ｃ|≧ε，と矛盾する。
よって、仮定が否定された。
ゆえに、
（２）どれだけ小さな正の実数εに対しても、ある正の実数δが存在し、集合Ａの要素のどのｘの値に対しても、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
が成り立つ（第２の定義の極限がある）。
（問題２の証明おわり）
微分積分学を厳密化するしくみ
初期の微分積分学では，「限りなく近付ける」という概念を使って来た。この極限の最大の問題点は、「限りなく近づく」という表現の曖昧さです。その概念を具体的に数学的に明確な概念にするのが「ε-δ論法」です。
コーシー（1789-1857）は不等式を使ったε-δ論法を導入した。
コーシー以前たとえばラグランジュが「無限小」や「極限」を曖昧なものとして数学の記述から排除しようとしたのに対して、コーシーは動的な表現が不等式評価と結びつくことを洞察して積極的に数学の記述に取り込んだ。不等式評価と結びついていることが把握されてさえいれば、動的表現自体を排除する必要はない。
極限の概念を明確にすると、(1) コーシーらの開拓した古典的（基礎的）微分積分学のイプシロンデルタ論法による極限の表し方と、(2) 位相空間論に係わり再構築した微分積分学のイプシロンデルタ論法による極限の表し方との、異なる２つの極限の表し方があります。そのようにイプシロンデルタ論法によって明確に表した極限の概念は複数あるのです。その２つを合わせて「限りなく近付ける」と言っていたのですから、その表現がいかにあいまいであったかが分かると思います。
先の（第２の）定義は、古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義であり、以下のように表現できる。
《ε－δ論法（その１）》
（１）
どんな小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，|f(x) − Ｃ| をそれよりも小さくできることを以下のように表現する。
すなわち、区間Ａを定義域とする関数ｆ(x) に関して、その区間Ａの変数ｘと、ｘ0 との差の絶対値|ｘ－ｘ0|がある正の値δ以下であれば（そうなる変数ｘの値が区間Ａ内に必ず存在することが必要）、ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）に関して、
|f(x) − Ｃ| をεよりも小さくできるならば，
（２）
関数値ｆ（ｘ）の値のバラツキを表す|f(x) − Ｃ| を限りなく小さくできるといえる．
この考え方が数学でいうところの限りなく小さいということの第２の定義です．
これを用いて関数の極限をもう一度定義します．
この定義はε − δ論法と呼ばれる証明法のもとになっていますが，難しく感じる人は，直感的極限値で十分です．
（注意）
ただし、直感的極限値で考える場合でも、変数ｘの値がｘ0に近いどの実数にした場合でも、
（条件１）
ｆ（ｘ）が（無限大では無い）ある値Ｃに近づく事。
（条件２）
そして、ｘ0の近傍の微小区間（ｘ0が関数ｆ(x) のｘの定義域の端点の場合は、ｘ0の片側の微小区間）のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならないという事が、
極限が存在するための基礎条件であると認識しておくこと。
（注意すべき点）
ｘ＝ｘ0での関数ｆ（ｘ）の極限を求める場合、変数ｘの値がｘ≠ｘ0となる値ｘ0の近傍（ｘ0がｆ(x) の定義域ｘの端点の場合は片側の近傍）の範囲内の全ての実数ですきま無く関数値ｆ（ｘ）が定義されている関数ｆ（ｘ）についてのみ、極限が存在し得るものとして極限が定義されている。
【極限が存在しない例】
関数ｆ（ｘ）が、ｘが有理数の場合は
ｆ（ｘ）＝ｘ
であり、
ｘが無理数の場合は、
ｆ（ｘ）＝１００
とする関数がｘ＝０での極限値を持つかどうかを考えます。
【解答】
自然数ｍで表す
ｘ＝１／ｍ
を限りなく０に近づけて行くとき、
ｆ（ｘ）が限りなく０に近づきます。
しかし、
限りなく小さな値の無理数ｘに対して、
ｆ（ｘ）＝１００
になり、
その限りなく小さな値の無理数では、
ｆ（ｘ）は０に近づかないので、
ｆ（ｘ）は、
ｘ→０の場合に、 ｆ（ｘ）→０となるとは言えません。
よって、この関数ｆ（ｘ）には、 ｘ＝０での極限値がありません。
（解答おわり）
（極限を考える場合の根本的な注意点）
極限を、ｘ0の近傍（ｘ0が関数ｆ(x) の定義域Ａの区間の端点の場合は片側の近傍）のどれだけｘ0 に近い位置にも定義域Ａの点がある（点ｘ0 が集合Ａの集積点である）事は、極限の定義の姉妹にあたる関数ｆ(x) の連続性の定義でも、すなわち、変数ｘの値ｘ0における関数の連続性の定義が、ｘ0 が関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点でなければならない事と対応しています。
【問題１】
関数ｆ（ｘ）は、整数ｍと、０以外の整数ｑに関して、
有理数ｘ＝ｍ／ｑの場合に、
ｆ（ｘ）＝０
となる関数である。それ以外のｘの場合にこの関数ｆ（ｘ）は値を持たない。
この関数ｆ（ｘ）は、
ｘ→０における極限値を持つか？
【解答】古典的（基礎的）微分積分学の答え
この関数ｆ(x) はｘ＝０の近傍で微小区間で関数が定義されていないので古典的微分積分学での極限の定義の条件を満足しない。つまり、この関数ｆ（ｘ）の値を与える有理数ｘ＝ｍ／ｑが何であっても、その有理数ｘの値より０に近い無理数ｙが必ず存在する。そして、その無理数ｙに対して値ｆ（ｙ）を持たない。そのため、ｆ(x) は、ｘ＝０の近傍で微小区間では関数が定義されていない。
よって、この関数ｆ（ｘ）は、ｘを限りなく０に近くしても関数値が定まらず、極限値が存在しない。
（解答おわり）
このように、古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義においては、関数ｆ(x) の変数ｘの定義域が有理数のみであって無理数を含まない関数には極限がありません。
しかしながら、点ａが関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点である場合には、定義域Ａが有理数のみであっても、第１の定義の極限と第２の定義の極限が必要十分な関係になり、点ａでの関数ｆ(x) の極限を定義し得る、ということにも注意する必要がある。
《実数が、直線上にすきま無く並べる事ができる》
有理数全体は、ｘ座標を表す直線上に密集している。しかし、有理数全体だけでは、直線上にすきま無く並べることができない。
無理数全体も、ｘ座標を表す直線上に密集している。しかし、無理数全体だけでは、直線上にすきま無く並べることができない。
実数全体が、直線上にすきま無く並べることができるのである。
《点ａがｘの定義域Ａの集積点ではない関数は点ａで微分不可能》
点ａが関数ｇ(x) の変数ｘの定義域Ａの集積点である事が、関数ｇ(x) の微分係数ｇ’（ｘ）を計算できる前提条件になります。そのため、点ａが関数ｇ(x) の集積点ではない点では、関数ｇ(x) は微分可能ではありません。
【ε－δ論法による極限の定義（その１）】
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点がｘ0 であって、少なくとも集積点ｘ0 の近傍の定義域が微小区間であるものとする。その集積点ｘ0 に対して、ある値Ｃによって、
任意の正の実数ε に対して，ある正の実数δによって、
0 < |x − x0| < δ となるｘの値が定義域Ａ内に必ず存在し、かつ、この式を満足する関数ｆ(x) の全ての実数ｘで、
|f(x) − Ｃ| < ε が成り立つならば、
そうなるような正の実数δ が選べるならば、集積点ｘ0 での関数ｆ(x) の極限が存在し、その極限値がＣである。
（すなわち、ｆ(x) が、ｘ0 の近傍の微小区間の実数ｘで定義されていて、かつ、その点ｘでの関数値ｆ(x) に関して上の式が成り立っているならば、）
である。
----極限の定義おわり---------
《「ならば」という言葉を使う命題に要注意》
「AならばBである」という命題の論理は、「(Aで無い)∪(Bである)」という論理式であらわされることに注意が必要である。この命題が真であるのは、「AであるときにはBである」、という場合以外に、「Aで無ければ、Bがどうにでもなり得る」という意味もある。この「Aで無ければ、Bがどうにでもなり得る」という含意があることに要注意です。
0＜|x-a|＜δ ならば |f(x)-C|＜ε
という命題の意味には、どの値のｘにおいても|x-a|≧δ でありさえすれば、他はどうでも良い、という意味が含まれている。（その意味を否定するには、0＜|x-a|＜δを成り立たせる定義域内のｘの値が必ず存在する、という制限条件が必要）。そのため、上に述べた命題で極限を定義する場合には、「点ａが関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点である」という制限条件が必ず必要である。aを関数ｆ(x)の定義域の集積点にしない場合、例えば定義域が[-1,1]の関数ｆ(x)=x の場合に、ａ＝100 の場合には、ｘが定義域内のどの値であっても|x-a|≧99なので、δ＜99なるδに関して、ｘの値が定義域内の何であっても|x-a|≧δになる。そのため、その場合に、「Aで無ければ、Bがどうにでもなり得る」が成り立つ。
すなわち、ａ＝100 の場合には、例えばＣ＝10 として、全てのε＞0 に対して、あるδ＝98について、
0＜|x-a|＜δ ならば |f(x)-10|＜ε
が成り立つ。
これが成り立つからと言って、
定義域が区間[-1,1]の関数ｆ(x)=x のｘ→100 の極限値がＣ＝10 になる、
と言ってはいけない。
（要注意おわり）
ここで、極限を定義するε－δ論法（その１）が出て来ましたが、ε－δ論法というものは、εとδを使って極限を表現する手段であって、ε－δ論法を使った極限の定義は、上の形の表現に限られません。
後で説明する、区間の端では、片側極限について、上の表現とは形を変えた別のε－δ論法（その２）によって片側極限が定義されます。
-----（極限の定義を言い換えて定義を理解する）----
大学１年生が、初めてこの極限の定義を学んだとき、定義の意味が分からず、微分積分学が分からなくなり脱落する大学１年生が多いらしい。
この定義を理解するには、想像力を膨らませて、この定義を、以下の様に噛み砕いて自分の言葉で言い換えると、この定義の意味が理解でき、定義がすんなり覚えられるようになると思います。
先ず、以下の図のようなメチャメチャな関数ｆ（ｘ）で、ただ１つの点のx0＝0の点で極限を調べる事をイメージしましょう。x0＝0の点以外では関数ｆ（ｘ）が連続でも無いというメチャメチャな関数を考えます。
上図の様にメチャメチャな関数で、ｘ＝x0の近くの関数値は、任意のバラバラな数値で考えても良い関数を考えます。そのため、順次に取り出す関数値を、単なる数列の数値の順列と考えるのと同じになります。そして、数列の極限を考えるのと同じように関数の極限を考える事ができます。
（１）
どんなに小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
充分小さい正の微小量δを選べば、
ーδ＜ｘ－ｘ0＜ ０ 及び、 ０＜ｘ－ｘ0＜δ
を満足するｘ0に近い、ｘ0では無い全ての実数値のｘを漏らさず調べた関数値ｆ（ｘ）が、
ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値：この値は複素数であっても良い）に関して、
全て、
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するということが、
関数f(x)にｘ0の極限値が存在するという事である。
その値Ｃを点ｘ0での関数ｆ（ｘ）の極限値と定義します。
（１－１）
すなわち、関数ｆ（ｘ）の値が存在する変数ｘが、
x０に近いがｘ0では無い、x0に近い全ての実数ｘの範囲が、
言い換えると、
（Ａ）充分小さい正の微小量δによる、
0 < |x − x0| < δ
となる範囲の全ての実数が関数の変数ｘの定義域に含まれている。
（Ｂ）また、上の式（満足させる目標をあらわす式）：
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するある値Ｃ（εの値にかかわらず固定した値）が存在する。
ということが、
関数f(x)のｘ0の極限が存在するという事である。
（１－２）
極限の定義において、ｘをｘ0に限りなく近づけてｆ（ｘ）を考える際に、ｘ0の点を除外して考えることが極限の概念の本質的な特徴になっています。もし、ｘ0の点を除外しないで”極限”の有無を調べることにすると、それは、関数の”連続性”の有無を調べることになります。極限の概念は、関数が連続で無い場合も視野に入れた関数の特徴の把握のために、ｘ0の点を除外して考えるという特徴を本質的に持っています。
すなわち、関数ｆ（ｘ）の極限を求める点ｘ0で関数ｆ（ｘ）が連続で無くても極限値が存在し得るのです。
（２）
ここで、ｘ0から、実数値δの範囲内でずれる、ｘ0では無い全ての実数ｘについてｆ（ｘ）を考えなければならない。
この定義における「全ての実数ｘ」の意味は、他の制限、例えば関数の変数の定義域を有理数だけに定めて定義域外の無理数の変数に対する関数値を考え無い事にした関数では、考えるべきｘの実数値が定義域から除外されてしまっているので、そういう関数ｆ(x) には極限が存在しないことを意味します。
（３）
その全てのｆ（ｘ）の値（その値は複素数であっても良い）のバラツキの誤差を求める。
その誤差＜εとするεでバラツキの範囲を定める。
（４）
（４－Ａ）ｘの値のｘ0からずれる範囲の値δを十分小さくすれば、
その範囲内の全ての実数値のｘ（ただし、値ｘ0は除外）によるｆ（ｘ）の値のバラツキが小さくなり、
そのバラツキの範囲の値 ε は、
いくらでも小さな値εが得られる、
という条件が満足されるならば；
（４－Ｂ）また、そのどの実数値ｘ（ただし、ｘ≠ｘ0）についても、
－ε＜ ｜ｆ（ｘ）－Ｃ｜＜ε
となる値Ｃ （この値は複素数であっても良い）が、どのように小さなεの値についても、
変わらない確固とした値で存在するならば；
その関数の値の極限が存在し、
その確固とした値Ｃ が極限値である。
----（定義の言い換えおわり）-----------
（疑問に思う点）
そのある値Ｃをどの様にして見つけたら良いのだろうかという疑問がわくと思います。
ε－δ論法によって極限値を定義しても、ある値Ｃが分からなければ、極限値の存在が確かめようが無いのではないか。
ある値Ｃを仮定して、定義にあてはめても、ある程度小さいεまでは確かめられても、それ以降は、定義通りにならず、その値Ｃは、結局は極限値では無い事がわかるという事になるのではないか。
その極限値Ｃを確かめる試行錯誤を無限に繰り返せと言うのかといった腹立ちを感じるのではないでしょうか。
その疑問に対しては、以下の様に考えたら良いと考えます。
極限値Ｃを確かめるには、単に、ｘをｘ0に近づけて関数値ｆ(x)を求めて行くだけで良いのではないか。
極限が有るか無いかの問題は、その方法で極限値を求める事ができる関数であるか、そうで無いかを判定できるだけで良いと考えます。
（Ａ）先ず、その様にして求める事ができる極限値Ｃが存在する事が第１に必要な条件です。
（Ｂ）次に、その極限値Ｃが存在するとして、関数ｆ（ｘ）は、その極限値Ｃにどの様に近づいていかねばならないかの、関数の構造を知る事が第２に必要な条件と考えます。
極限が存在する関数が満足させるべき目標をあらわす式：
|f(x)－Ｃ|＜ε,
を以下の様に変形して考えます。
－ε＜（f(x)－Ｃ）＜ε,
Ｃ－ε＜f(x)＜Ｃ＋ε，
f(x)－ε＜Ｃ＜f(x)＋ε，
この（満足させる目標をあらわす）式によって、ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）が、関数値f(x)の誤差εの範囲で求められる事が、極限値Ｃが存在し得るという事です。
その誤差εは、ｘをx0に近づける事で小さくできれば、極限値Ｃが存在し得ると言えます。
すなわち、
0 < |x − x0| < δ
となる誤差δの範囲内のｘの値が必ず存在し、かつ、その全てのｘについて、
上の式が成り立ち、誤差δを小さくすればいくらでも誤差εを小さくできれば極限値Ｃが存在すると言えます。
関数の構造を調べるために全てのｘについてのf(x)を考えるのが大変なので、以下の様に考えて関数の構造を調べます。
全てのf(x)のうち、
f(x)の上限値を求めf2とする。
f(x)の下限値を求めf1とする。
（端点が開放された区間では、開放された端点の近くで関数f(x)が上限値f2に限りなく近づくが決してf2になる事が無い事が起き得る事に注意する）
全てのf(x)について、
f1≦f(x)≦f2です。
そうすれば、全てのf(x)について満足させる目標が：
f2 －ε<Ｃ＜f1＋ε,
という関係だけを満足させる事を考えれば良い事になります。
（補足）
ここで、想像力を働かせて、一番突飛な例を想像しましょう。
例えば、誤差δを小さくすれば、f(x)のグラフの最大値 f2 がx0の左にあったり右にあったりし、x0の前後のｘの順では、f1,f2の順になったり、f2,f1の順になったりする突飛な関数の事例を想像してイメージを膨らませましょう。
---補足おわり--------------
この（満足させる目標をあらわす）式
f2 －ε<Ｃ＜f1＋ε,
によって小さい値εの小ささの限界が決められます。
先ず、必須の条件に、
2ε＞f2－f1
があります。
しかし、これだけでは、満足させるべき目標が達成できません。
そこで、
ε＝（f2－f1）＋(0+)
とすると、
f2 －ε<Ｃ＜f1＋ε,
は、
f1－(0+)<Ｃ＜f2＋(0+),
になり、また、以下の式にもなります。
f1≦Ｃ≦f2,
（極限値Ｃが存在する事を前提として考えて）この式は必ず成り立つ関係を表していると考えられますので、この式なら目標の式を満足させることができます。
（また、後で説明するように、この様に値Ｃのバラツキの範囲を定めるならば、数直線上の区間を考える場合、最小値f1と最大値f2を両端に持つ区間を、その区間の幅を無限に小さくしていくことができる関数の場合は、その幅を無限に小さくする各段階での値f1及び値f2とは独立した値の極限値Ｃが存在する事が証明できます。）
そのため、誤差εは、
ε＝（f2－f1）＋(0+)
に決めることができます。
これにより、このε－δ論法による極限の定義は、
以下の定義と等価だと分かりました。
【等価な極限の定義】
0 < |x − x0| < δ となる関数ｆ(x) の定義域ｘの値が必ず存在し、
（すなわち、関数ｆ(x) のｘの定義域Ａの要素の集積点がｘ0 であり）
（Ａ）
そのδで制限された範囲内の定義域のｘの関数f(x)の下限値をf1とし上限値をf2とするときに、
f2－f1をいくらでも小さくするｘの範囲を定める正の実数δ を選べることができるならば,
（Ｂ）
f1≦Ｃ≦f2
となる値Ｃで、f2-f1を小さくする各段階でのf1及びf2の値とは独立して存在する値Ｃを見つけて、その値Ｃを極限値と定義する。
そして、
と記述する。
----等価な極限の定義おわり-------
誤差εをどんどん小さくしていっても、
0 < |x − x0| < δ
となる範囲内の全てのｘの関数f(x)の上限値f2と下限値f1が、
δを十分に小さくすることで、f1とf2の差が十分小さくなるなら、そのf1とf2の間に求める極限値Ｃが存在すると言えると考えます。
そのように、f1とf2の差をどんどん小さくしていくことができるならば、
ｘをｘ0に近づけて関数値ｆ(x)を求めて行くだけで、
極限値Ｃが求められると言えると考えます。
（極限値Ｃの存在の証明）
なお、このようにｘの範囲の幅のδを小さくしてｘの範囲の領域の幅を無限に小さくし続けて、その範囲内の関数f(x)の下限値f1と上限値f2を求めて、Ｙ＝f(x)の区間で、f1とf2を両端に持つ区間を考え、そのＹ座標でのf1からf2までの区間の幅を無限に小さくし続けることができるなら、その場合に、そのＹ座標の、f1からf2までの区間が、１点の極限値Ｃに収束する事が証明できます（ここをクリックした先の定理18）。
このように、f1とf2の差≒ε がいくらでも小さくできる条件が成り立つならば、関数ｆ（ｘ）の値が極限値Ｃに近づいていき極限値Ｃが求められるので、これによって、極限値が存在する条件が正しく表わされている様に思います。
（注意）以下の様なメチャメチャな関数の場合：
ｘをｘ0の近傍の誤差δの範囲に近づけて、その範囲内の全ての関数値ｆ(x)の上限値f2と下限値f1を調べるので、作業量はとても多い大変な作業が必要です。
ただし、その作業量の多さは、元のε－δ論法でも、ｘをｘ0の近傍の誤差δの範囲に近づけて全ての関数値f(x)で|f(x)－Ｃ|＜ε を調べる作業量も同じ多さです。
極限値Ｃの定義は、最悪なメチャメチャな関数の極限値を求める場合を想定した場合の極限値の求め方をあらわしたものであって、現実的な素直な関数の極限値Ｃの求め方を表したものでは無かったのです。
素直な関数ならば、上限値f2と下限値f1を求めてから極限値Ｃを求める作業は比較的楽になると思います。
（注意）
ここで、極限を定義するε－δ論法（その１）が出て来ましたが、ε－δ論法というものは、εとδを使って極限を表現する手段であって、ε－δ論法を使った極限の定義は、上の形の表現に限られません。
後で説明する片側極限についても、上の表現とは形を変えた別のε－δ論法（その２）によって片側極限が定義されるのです。
（極限の定義の第１のポイント）
上のε－δ論法による極限の定義の第１のポイントは：
「ｆ（ｘ）の値のバラツキを表す正の数ε をどれだけ小さくしても，関数値ｆ（ｘ）を必ずそのバラツキ内に漏れなく入れることができるｘ0に近い実数ｘのバラツキの範囲を表す正の値δが必ず存在することである。
すなわち、その正の数εのバラツキ内に関数値を漏らさず入れる、ｘ0に近い、関数の定義域の区間Ａ内の全ての実数ｘの範囲を
0 < |x − x0| < δ
とする正の数δ が必ず存在すると言うことである。
0 < |x − x0| < δ の条件を満足する区間Ａの全ての実数ｘの関数値ｆ(x) において、条件を満足するならば、
という説明が隠れて入っているので「全て」というキーワードを忘れないようにしましょう。
この極限の定義は、関数ｆ(x) がｘ0の近傍の区間Ａで定義されていなければならないという事を前提にしている。
（極限の定義の第２のポイント）
上のε－δ論法による極限の定義の第２のポイントは、
ｘ→ｘ0 を、
0 < |x − x０| < δ
（すなわち、ｘ ≠ x０ の場合に）
と定義し、
一方で、
ｆ（ｘ）→Ｃを、
|ｆ（ｘ） − Ｃ| < ε
（すなわち、ｆ（ｘ） ＝ Ｃの場合を含む）
と定義して
極限を定義していることです。
これにより極限の意味を明確にしていることです。
すなわち、
ｘ→x0 （ｘ≠x０となる場合のみ）と、
ｆ(x)→Ｃ （ｆ(x)＝Ｃとなる場合も含む）は、
同じ「→」であらわしていても、
意味が異なっていることを明確にしています。
《ε－δ論法（その２）》
（右側極限値と左側極限値）
また、以上で説明したε－δ論法（その１）による極限の定義によると、変数ｘの値が、ｘ0から微小な値 δ 以内の誤差の全ての実数ｘの値に対してｆ（ｘ）が定義されていなければ、ｘ0で関数ｆ（ｘ）の極限値が存在しない。
そのため、関数ｆ（ｘ）の変数ｘの実数の定義域の境界ｘ0 では、
ｘ0から微小な値 δ 以内の実数の領域の半分が関数ｆ（ｘ）の定義域からはみ出して、定義域内に存在しないので、定義域の実数の境界ｘ0 では関数ｆ（ｘ）に極限値が存在しないことになってしまいますが、以下の第２の定義（ε－δ論法（その２））の様に、閉区間の端点での極限値の定義を修正し、閉区間の端点で極限値がある、と定義します。
（第２の定義の極限の条件）
関数ｆ（ｘ）が、ａ≦ｘ≦ｂで定義されている場合、
そういう閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で定義された関数ｆ（ｘ）の端点については、以下の条件を満足する左側極限値、または、右側極限値が存在すれば、その端点で極限があると定義されています。
（１）左側極限値
どんなに小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
充分小さい正の微小量δを選べば、
ーδ＜ｘ－ｂ＜ ０
を満足するｂに近い全ての実数値のｘが、
ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）に関して、
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するということが、
関数f(x)のｂの左側極限が存在するという事である。
その値Ｃ ＝ｆ（ｂ－）
とあらわす。
この極限を、
x → ｂ− 0 またはx → ｂ−
のとき、
ｆ（ｘ）→ ｆ（ｂ－）
であると表現する。
ｆ（ｂ－）が存在するならば、端点ｂで関数ｆ（ｘ）に極限値があると定義します。
（２）右側極限値
どんなに小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
充分小さい正の微小量δを選べば、
０＜ｘ－ａ＜δ
を満足するａに近い全ての実数値のｘが、
ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）に関して、
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するということが、
関数f(x)のａの右側極限が存在するという事である。
その値Ｃ ＝ｆ（ａ＋）
とあらわす。
この極限を、
x → ａ＋ 0 またはx → ａ＋
のとき、
ｆ（ｘ）→ ｆ（ａ＋）
であると表現する。
ｆ（ａ＋）が存在するならば、端点ａで関数ｆ（ｘ）に極限値があると定義します。
【等価な片側極限の定義】
上に記載した片側極限（のうちの１つ）を、以下の、等価な定義であらわすこともできます。
０＜ｘ－ａ＜δとなる全ての実数ｘに対してf(x)の値があり，
（すなわち、ｘ ＜ ａであるｘで、上式の条件を満たす全ての実数ｘについて、必ずf(x)が定義されていて）
（Ａ）
そのｘの範囲内のf(x)の下限値をf1とし上限値をf2とするときに、
f2－f1をいくらでも小さくするｘの範囲を定める正の実数δ を選べることができるならば,
（Ｂ）
f1≦Ｃ≦f2
となる値Ｃで、f2-f1を小さくする各段階でのf1及びf2の値とは独立して存在する値Ｃを見つけて、その値Ｃを極限値と定義する。
そして、
x → ａ＋ 0 またはx → ａ＋
のとき、
ｆ（ｘ）→ ｆ（ａ＋）＝Ｃ
と記述する。
----等価な片側極限の定義おわり-------
（極限値が存在しない点が有限個ある関数）
以下の図の関数ｆ（ｘ）のグラフを考えます。
（その１）この関数は、ｘの定義域をー１００から１００までで考えると：
ｘ＝０の点での極限とｘ＝２の点での極限が存在しません。
ｘ＜０で、ｘ→０とすると、ｆ（ｘ）→０になり（左側極限値）
ｘ＞０で、ｘ→０とすると、ｆ（ｘ）→１になります（右側極限値）
関数の定義される領域の端点以外の点で、左側極限値と右側極限値が一致しない場合は、極限値が存在しません。
（その２）この関数は、ｘの定義域を０から２までで考えると：極限の第２の定義を適用し：
閉区間 ０≦ｘ≦２
において、その端点ｘ＝０もｘ＝２も、片側極限が存在するので、端点での極限が存在し、閉区間全体で極限が存在します。
（注意）上で説明した、その１とその２の関数は定義域が異なるので異なる関数です。
異なる関数ですので、その１とその２で、ｘ＝０及びｘ＝２の極限の有無の判定が異なっても、問題ありません。
関数の極限値が存在しないもう１つの例として、以下の図の関数 Y=sin(1/x) は
ｘ→０で
Yの極限値が存在しません。
（この関数Yは、ｘ→０において、ー１から１まで振動し、安定しません）
（極限値が存在しない点が無限にある関数の例）
例えば、ｘが有理数の場合のｆ（ｘ）の値とｘが無理数の場合のｆ（ｘ）の値が１以上異なるような関数には極限が存在しません。
どの位置においても関数の極限値が存在しない関数は、例えば下のグラフの関数のようになります。
（極限値が存在しない点が無限にあるが積分可能な関数）
上図のノコギリ関数ｇ（ｘ）を使って以下の関数を作ります。
この関数は、以下のｘ座標で極限が存在しない。
その他、
ｘ＝奇数／（整数×２）
の点では極限値が存在しない。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》
【問題】
「下図の様に、線を曲げて上下に段差があるグラフを作る。
そのグラフの段差の間隔を、先のグラフの間隔より狭めて変形したグラフを作る。
この作業を無限に繰り返して段差の間隔を無限に狭めたグラフの関数ｆ（ｘ）を作ったら、そのグラフは段差の部分で連続か否か？」
（問題おわり）
という問題を問われたら、
「 いや、そうなったら、それは、もはや、その無限にグラフの段差を狭くしている点ｘ＝０で、グラフの極限が存在しなくなりグラフが不連続になります。」（事実はこの通りですが）
と即答できるでしょうか。
こういう問題に論理的に（数学的に）返答できるようにするため、極限を厳密に定義したのです。
【解答】
上図の様に、ｘ＝０でのグラフの段差を無限に狭くしたら、
（１）
どんな小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
|f(x) − ０| ＜ ε
とできるような、ｘ0に近い実数ｘの範囲が存在しない事が以下の様にして証明できます。
（２）
以下の式で定義する実数ｘの範囲δをいくら狭くしても、すなわち、
0 < |x − x0| < δ となるｘの範囲をいくら狭くしても、
上のグラフの関数ｆ（ｘ）の段差が無限に狭くなって、
0 < |x − x0| < δ となる範囲内にグラフの段差が包含されてしまいます。
（３）
グラフの段差が、
0 < |x − x0| < δ となるｘの範囲内に包含される結果、
その範囲内のｘに、
|f(x) − ０| の大きさが段差の高さ（の半分）くらい大きいｘの値があります。
それゆえ、そのｘの値では、小さな正の数 εによって、
|f(x) − ０| ＜ ε
とする事ができません。
そのため、ｘ＝０で極限が存在しません。 極限が存在しないので、極限を使って定義した連続性も無く、この関数はｘ＝０で不連続になります。
（解答おわり）
【位相空間論での極限の定義】
これ以降は大学数学の話になります。高校生は読まないで良い話です。
《杉浦光夫著「解析入門Ⅰ」》
〔杉浦光夫著「解析入門Ⅰ」51ページ〕では、位相空間論に基づく以下のような「極限」を定義している。
《位相空間論の極限の定義》
位相空間論では、位相空間の数の集合を実数の集合Ｒとした上で、その集合の部分集合の（例えば有理数の）集合Ａを定義域にした関数ｆ(x) の極限が以下のように定義される。（定義域が有理数のみの関数でも極限が求められるのである）
すなわち、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域が例えば有理数の集合Ａであるとする。定義域Ａのｘの点（ｘは有理数）と、定義域Ａを含む触点の集合（それは定義域Aと境界点の集合とを合わせた集合）に属する点ａとを考える。
Ａ∍ｘ
（Ａ∪境界点）∍ａ
とする。なお、点ａではあるが、点ａがAに属さない境界点の場合は点ａを点βとあらわすことにする。
（参考）「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１７８ページに位相空間論での「触点」や「境界点」の定義がある。
関数ｆ(x) がある実数ｂに収束する極限値ｂが存在するということを、以下のように定義する。
十分小さい正の実数εを考え、次に正の実数δを考える。
すなわち、ある実数ｂに対して、どのように小さい値のεに対しても、
ある値の実数δによって、ａ以外の集合Ａの要素のどのｘに対しても、
０＜|ｘ－ａ|＜δ， ｘ≠ａ，
ならば（上記の２つの教科書がともに、この式を間違えている）、
|ｆ(x)－ｂ|＜ε
となるならば、ｆ(x)のｘ＝ａの極限値ｂが存在するものとする。
（極限の定義おわり）
（注意１）
この極限の定義で注意する点は、有理数の集合Ａで定義された関数ｆ(x) の極限値ｂを、有理数の集合Ａに属する独立変数ｘのみで定義しているが、ｘの収束する先の数ａは集合Ａに属する点だけではなく、境界点βの場合もあることに注意すること。つまり、変数ｘが集合Ａに属さない点（位相空間の数の集合には属する）の境界点βに収束する場合の、そのときの関数ｆ(x) の極限も定義されている。
すなわち、式(10a)の極限の定義とともに、式(10b)で、点ｘの収束する先のβが（位相空間の数の集合に属するが）定義域の集合Ａには属さない境界点βである場合もｆ(x) の極限が定義されている。極限の概念は関数の定義域Ａに限定できないのである。
（参考）「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１１２ページに位相空間論での極限の定義がある。
（注意２）
この位相空間論に係わる極限の定義には、古典的（基礎的）微分積分学でのｘの極限の存在条件である「点ａに収束するｘの無限数列の値ｘでｆ(x) が定義されていなければならない（点ａが集積点でなければならない）」、という基本的前提条件が抜けて、点ａが孤立点の場合でも極限を定義している。そして、「点ａに近い微小区間のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならない」、という古典的（基礎的）微分積分学における、関数ｆ(x) の極限が存在するための前提条件が抜け落ちている。
（注意３）
この定義によって、以下の例のように極限値ｂを求めることができる。
定義域の集合Ａ＝{1,4}とし、ｆ(1)＝１０，ｆ(4)＝２０，とする。
点ａ＝１において、以下の理由で
ｂ＝２０という極限値がある。
δ＝４とすれば、
ｘ＝４では、0＜|４－１|＜４＝δが成り立つ。
それを満足するｘ＝４ならば、
どのεの値についても、
|ｆ(x)－２０|＜ε
が成り立っている。
そのため、点ａ＝１における関数の極限値ｂは２０である。
一方で、集合Ａ＝{1}とし、ｆ(1)＝１０，とする例では以下の不具合がある。
点ａ＝１においては、
ｂ＝２００とすると、
δが何であっても、
ｘ＝１では、０＜|１－１|が成り立たない。
つまり、どのｘについても、０＜|ｘ－ａ|＜δが成り立たない。
（（偽の命題）ならば（何かの命題）である。）
という命題は常に真である。
（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－２００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－２００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝２００である。
しかし、（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－４００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－４００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝４００である。
この場合に、極限値ｂ＝２００でもあり、極限値ｂ＝４００でもあることになり、極限値が何にでもなることになる。
そのように、極限値が無意味になる不具合がある。
（こうなるので、この極限の定義には不備がある。）
更に、定義域の集合Ａ＝{1,4}とし、ｆ(1)＝１０，ｆ(4)＝２０，とした関数の例をもう１度考えてみる。
この関数については、先に、
点ａ＝１において、δ＝４に関して、ｂ＝２０という極限値がある。
と結論付けた。
ここで、点ａ＝１において、δ＝１ に関して考察する。
δ＝１の場合は、
ｘ＝１では、０＜|１－１|が成り立たない。
ｘ＝４では、|４－１|＜１＝δが成り立たない。
すなわち、どのｘについても、０＜|ｘ－ａ|＜δが成り立たない。
（（偽の命題）ならば（何かの命題）である。）
という命題は常に真である。
（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－２００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－２００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝２００である。
しかし、（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－４００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－４００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝４００である。
この場合に、極限値ｂ＝２００でもあり、極限値ｂ＝４００でもあることになり、極限値が何にでもなることになる。
そのように、この関数の場合でも、極限値が無意味になる不具合がある。
（こうなるので、この極限の定義には不備がある。）
この関数の、点ａ＝１における極限を、以下で、論理式を解いて地道に解析する。ｆ(x) の点ａでの極限ｂの定義を表す論理式は以下の式である。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，∀x∊A，{0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε}
この論理式は、以下の式に書き換えられる。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，∀x∊A，{(0＜|x-a|＜δ)で無い ∪ (|f(x)-b|＜ε)}
この式を同値変形する。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，∀x∊A，{(0=|x-a|) ∪ (|x-a|≧δ) ∪ (|f(x)-b|＜ε)}
この論理式は、∀記号で表した要素のεとｘの全ての値の組合せの論理式を連立した論理式である。
そのため、上記の関数におけるａ＝１での極限値ｂの解は、以下の連立論理式に展開して解くことができる。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，x=1,{(0=|1-1|) ∪ (|1-1|≧δ) ∪ (|10-b|＜ε)}
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，x=4,{(0=|4-1|) ∪ (|4-1|≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
整理すると、
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，{(0=0)}
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，{(|4-1|≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
１つ目の論理式は常に真なので２つ目の論理式のみになる。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，{(|4-1|≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
この式を同値変形すると、
∀ε>0，{(3≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
更に式を同値変形すると、
(3≧δ) ∪ 20＝b
この解は、以下の意味を持つ。
（解１） δ≦3の場合に、極限値ｂは任意の値を持つ。
（解２） δ＞3の場合に、極限値ｂ＝２０。
極限値ｂを与える条件のδの値はどの値にしても良いから、 極限値ｂの解は、
ｂ＝任意の値又はｂ＝２０である。
（極限ｂの解おわり）
（極限ｂの値が定まらないので、極限の定義には不備がある。）
《位相空間論の極限の定義に対する感想１》
関数ｆ(x) の変数ｘがｘ＝ａの点に限りなく近づくとｆ(x) がある実数ｂに収束する極限値ｂが存在するということを、以下のように定義を修正する方が適切だと考える。
十分小さい正の実数εを考え、次に正の実数δを考える。
すなわち、ある実数ｂに対して、どのように小さい値のεに対しても、
ある値の実数δによって、定義域の集合Ａの要素のｘに対して、
０＜|ｘ－ａ|＜δ， ｘ≠ａ，
を満足するａ以外のｘが存在し（点ａが集合Ａの集積点であること）、この式を満足する全てのｘで、
|ｆ(x)－ｂ|＜ε
となるような実数ｂが存在するならば（またそうなる場合に限って）、ｆ(x)の極限が存在するものとし、その極限値をｂとする。
（位相空間論の極限の定義の修正のおわり）
と定義するならば、１点のみの関数には極限が存在しない。すなわち、１点のみの関数の極限が無意味になる不具合が無くなる。
なぜそのように定義しないのかが疑問である。
《位相空間論に対する感想２》
古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義や連続性の定義を、孤立点を含む定義域Ａやあらゆる形の定義域Ａに対して使える生きた要素にして新しい数学分野（位相空間論）を構築しようとする開拓者は、以下のように考えたのではないかと推測する。
「従来の古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義や連続性の定義を忠実に真似した道具を使うよりは、いっそのこと、位相空間論で使いやすい都合の良い形にそれらの定義を作り変えてしまって、それらを土台にして理論を作った方が良い。（例えば「孤立点」の存在が極限の定義を無意味にすることがないように、「孤立点」はあらかじめ「連続な点」であると定義し、孤立点の極限はｆ(a) であると決めてしまって、「孤立点」については、それ以外の定義を排除しよう）」
《位相空間論に係わる関数の連続性の定義》
位相空間論に係わる微分積分学による関数の連続性の定義は、正確には、式(10)：
によっては定義されていない。
εδ論法（イプシロンデルタ論法）で関数の（値域の）連続性を、極限の概念を経由せずに、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域をＡとする。（Ａは有理数のみでも良い）
ある点ａ∊Aにおいて、（点ａは孤立点であっても良い）
『どのようなε>0に対しても、
あるδ>0において、
全てのx∊Aに対して、
|x-a|＜δ
となるならば、
|f(x)-f(a)|＜ε
となる。』
という命題が成り立つならば、
ｆ(x)は点ａで「（値域の）連続性」がある。
という定義である。
（関数の連続性の定義おわり）
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域Ａのすべての x =ａの値で位相空間論に係わる連続性があるとき、 f(x) は位相空間論に係わる連続関数である」
（この位相空間論に係わる連続性の定義には、孤立点に連続性があるという定義が含まれている。孤立点の極限は、連続性の定義を経由して定義する。）これにより関数の極限の定義が完全になる。関数の連続性がある点ａには、必ず関数の極限値が存在することになる。逆に、ある点ｋに関数の極限値が存在しなければ、その点ｋで関数は連続ではない。
この関数の連続性の定義は、正確には、位相空間論の連続写像の定義の基礎となる定義であって、位相空間論の連続写像の定義そのものではない。実数R全体での点ａでのこの連続性の定義が満足される関数ならば、実数全体での位相空間の連続写像と同値になる。
（連続の定義おわり）
このように、関数ｆ(x) の点ａでの連続性（値域の連続性と呼んだ方が良い）を定義している。
極限の存在条件よりも条件が厳しくなったのがこの連続性の条件である。（しかし、本物の連続性の条件にするには、点ａが定義域Ａの要素の集積点であり、更に、点ａの近傍の定義域Ａが区間であるという極限の定義の役割の第１の条件が不足している）
リンク：
実数上関数の収束と数列の収束の同値性とその証明
連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
極限と連続性
極限の厳密な定義（最低限）
実数
『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版
初等解析学 (微分積分学) 入門 §1 はじめに
初等解析学 (微分積分学) 入門 §4 数列の極限
初等解析学 (微分積分学) 入門 §6 実数の性質
【微分積分学】イプシロンエヌ論法をわかりやすく丁寧に～数列の極限の定義～
ε-δ論法の論理式の意味
【微分積分学】上に有界な単調増加数列は収束することの証明
【微分積分学】ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理とその証明
【微分積分学】コーシー列とは～定義と収束性の証明～
高校数学の目次
▷数列による極限の定義とεδ論法の極限の定義が必要十分な関係にある証明
▷位相空間論での極限の定義
高校２年になり学ぶ「極限」は、微分の計算をする上で必要になった計算技術です。
そのため、微分の計算を先にして、計算に困ったときに「極限」を学ぶという勉強スタイルでも良いと考えます。
そういう計算の役に立つように、頭を整理することが、極限を学ぶということです。
高校２年の微分積分の勉強のためには、「やさしく学べる微分積分」（石村園子）を読むと、内容がわかり易くて良いと思います。その４ページには、ε－δ論法を使わないで、極限値を簡単に定義しています。
高校生は、極限を学習する初めには、数列の極限を学ぶと思います。数列の極限を理解するために、証明が済んでいる頼れる定理はなるべく多く用意して考えの支えに使うのが良いと思います。推薦できる高校数学の参考書：「生き抜くための高校数学」（芳沢光雄）の「数列の極限」は、その入門用のいくつかの定理が書いてあるので参考になると思います。
それを見た後で、ここをクリックした先の、数列の極限を詳しく書いてあるサイトの情報を参考にして、
その後に、数列の極限に係る多くの定理の情報を得るため、ここをクリックした先のサイトに数列の極限に係る定理の情報が多いので参考にしたら良いと思います。
高校３年になって本格的に微分積分を学びたくなった学生は、学生が微分積分を無駄なく学べるよう工夫がこらされている本：小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」を読むと、微分積分が無駄なく勉強できて良いと思います。その２２ページに数列の極限値の定義が書いてあり、７６ページに、ε－δ論法を使った極限値の定義が書いてあります。
ただし、数列の極限値についての参考書は、高校生は、先ず、推薦できる高校数学の参考書：「生き抜くための高校数学」（芳沢光雄）の「数列の極限」に関する説明を読むのが良いと考えます。それを理解した後で、小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」の２２ページの数列の極限値の説明を読むようにした方が良いと思います。
〔極限の定義の役割〕
点ａでの極限とは、第１の条件として、点ａが関数の定義域Ａの要素の集積点であること、第２の条件として、点ａで関数ｆ(x) の右側極限値と左側極限値が一致していること。その２つの条件が成り立っている関数ｆ(x) の点ａにおける関係を表すことが極限の定義の役割である。
関数の極限の定義は：
（１）第１の定義の極限：
開放された区間（ａ＜ｘ＜ｂ）の関数ｆ（ｘ）でｘの右側極限と左側極限が一致する場合に極限があるものとする極限の定義。
（２）第２の定義の極限：
閉区間（ ａ≦ｘ≦ｂ）の関数ｆ（ｘ）の、ｘ＝ａとｘ＝ｂとの区間の端点では、片側極限があるだけで、極限があるものとする極限の定義。
との２通りの定義があるので要注意です。
《実数とは》
例えば、以下の図の規則によってｘ＝１から、ｘ＝２、次にｘ＝3/2 というように有理数の値を変えていくと、限りなく近づく先の数が有理数の中には無い。しかし、そのように限りなく近づく先の数が存在すると考えた。その数を実数と呼ぶ。
このように、「限りなく近づける」操作（極限の操作）が、数の概念を拡張することを要請し、そうして拡張された新たな数が実数であった。この拡張された数である実数から成るとされる数直線には数の連続性があるとされた。このように極限の操作によって数の概念が実数にまで拡張され、それが数の連続性と微分積分の礎になった。
《数列の極限》
項が限りなく続く数列ｘ1, ｘ2, ｘ3, ・・・, ｘn, ・・・を無限数列と言う。ｘnをその第ｎ項といい、この無限数列を{ｘn}であらわす。また、ａn を自然数ｎの式であらわしたものを数列{ｘn} の一般項という。
「変数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の定義は、数の集合Ａにおいて、以下のことが成り立つこととして、極限を定義する。
【数列の極限の定義】
数ｘの集合Ａが全ての有理数であるとする。その場合に、以下の図で、点ａ以外の値の数ｘの無限数列{ｘn}を考える。
この数列{ｘn}では、自然数ｎが限りなく大きくなるとき、第ｎ項は限りなく値ａに近づく。
一般に、数ｘの集合Ａの要素の数列{ｘn}において、ｎが限りなく大きくなるにつれて、ｘn が一定の値ａに限りなく近づくとき、数列{ｘn}はａに収束する、または、数列{ｘn}の極限はａであるという。その値ａを数列{ｘn}の極限値であるという。（点ａは数の集合Ａの要素で無くても良い）。
数列{ｘn}の極限値がａであるとき、次のように書く。
すなわち、「集合Ａの要素の数ｘが限りなく点ａに近づく」という極限の概念を、点ａに収束する、数の集合Ａの要素のｘの無限数列を使って数学的に定義した。
その結果、数ｘが限りなく近づく先の数の点ａは、すなわち、数ｘの極限の数の点ａは、
数の集合Ａの要素の数ｘの無限数列の集積点であるという結論が得られる。
--（集積点の定義）--
実数の集合Ｒの部分集合の数の集合Ａ（例えば有理数の集合）を考える。
（１）実数の点ａが数の集合Ａの集積点であるとは、
点ａの値以外の数の集合Ａの要素の点ｘn による、点ａに収束する無限数列 {ｘn}が存在すること（点ａは、数の集合Ａの要素とは限らない）である。
（２）なお、数の集合Ａの要素のある点（数ｙ）が集積点ではないとき、その点ｙを数の集合Ａの孤立点と呼ぶ。
--（集積点の定義おわり）---
《関数の極限》
関数ｆ(x) の定義域のｘの数の集合Ａが集積点ａを持つ場合を考える。その場合に、集合Ａから、値が集積点ａと異なる要素ｘn を順に選んで、点ａに収束するｘの無限数列{ｘn}を作れる。その無限数列{ｘn}が点ａに収束するのにともなって、 ｆ(x) が値Ｃに収束するということが、ｘ→ａで関数ｆ(x)に極限が存在するための基礎条件である。
関数ｆ(x) において、変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくならば、
ｘ→ａのときｆ(x) の極限値がＣである。
といい、次のように書く。
また、この場合、”ｘ→ａのときｆ(x) はＣに収束する”という。
【関数の極限の定義（第１の定義）】
変数ｘがａと異なる値をとりながら限りなくａに近づくとき、関数ｆ(x) の値が一定の値Ｃに限りなく近づくという関数の極限は、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域の集合Ａを、区間とする。そして、「変数ｘが限りなくａに近づくとき関数ｆ(x) に極限値Ｃが存在する」ことの数学的定義を：
「区間Ａ内の点ｘの、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で共通して、関数ｆ(x) が同じ値Ｃに収束する」ことと定義する。
そう定義する理由は、関数ｆ(x) によっては、点ａに収束する各無限数列{ｘn}毎に、関数ｆ(x) が異なる値Ｃに収束したり、収束しなかったりすることがあるからである。
ーー【区間の定義】ーー
「区間」という数学用語は、変数ｘの数直線上の１つの範囲内の、実数のすき間がない１かたまりの数の集合をあらわす数学用語である。「数のすき間が無い」大前提のために、連続性の公理を満足する数（実数）の集合でなければならない。
《神奈川大学》【定義 14.2.4.】
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区 間と呼ぶ.
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.
----定義おわり----
ａ≦ｘ≦ｂを満足するｘの区間という表現は、ａ≦ｘ≦ｂの範囲内の全ての実数ｘという意味です。
－∞＜ｘ＜∞という区間もあります。
区間はｘの値の範囲を限定するためのａ≦ｘ≦ｂという式とは意味が異なることに注意する必要があります。
「区間」という用語は、特に重要な関数である連続関数の連続性を定義するために必要な、連続関数f(x)の変数xの集合体がいつも持っていなければならない連続性という重要な性質が「区間」という概念を用いてあらわされています。
すなわち、変数ｘの「区間」の性質で大切なのは、
「区間」のなかに変数ｘの値が隙間なく存在すること。
つまり所定範囲内での隙間が無い全ての実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されています。
例えば：
f(x)=1/xの定義域を(0,∞) (={x|xは0より大きい実数})
とすれば、f(x)は区間で定義された関数です。
g(x)=1/xの定義域を(-∞,0)∪(0,∞)(={x|xは0でない実数})
とすれば、g(x)は区間で定義された関数ではない。
（f(x)とg(x)は定義域が異なっているため、f(x)とg(x)は同じ関数ではない）
（Ａ）「０≦ｘ≦２の区間の変数ｘで定義された関数f(x)がその区間の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という文では、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ≦２の区間で１つながりに連続した関数ｆ（ｘ）として定義されます。
一方で、
（Ｂ）「変数ｘの０≦ｘ≦２の範囲内の値で関数f(x)が定義されていて、その関数ｆ（ｘ）が定義域の各点で連続であるとき，f(x)は連続関数である」という高校数学の連続関数の説明文では、ｆ（ｘ）は、例えば、
０＜ｘ＜１で f(x)=0, この定義域内の各点で連続。
１＜ｘ＜２で f(x)=1, この定義域内の各点で連続。
結局、０≦ｘ≦２の範囲内の全ての定義域の各点で連続でありx=1では連続で無い関数を誤って、連続関数ｆ（ｘ）であると定義しています。
この例の様に、「区間」という用語は変数ｘの集合をあらわす用語であって、変数ｘの範囲をあらわす用語では無いことに注意する必要があります。
----------区間の説明終わり-------------
【直感的極限値】
関数f(x) において， x をｘ0 に限りなく近づけていくとき，
f(x) がある値Ｃ に限りなく近づくならば，値Ｃをx がｘ0 に近づくときのf(x) の極限値といい，
さて，ここで限りなく近づくというのはどういうことでしょうか． x がx0 に限りなく近づくとは，以下の２つの考え方で定義できます。
《x がx0 に限りなく近づくことの定義（その１）》
古典的（基礎的）微分積分学においては、x がｘ0 に限りなく近づくとは，関数ｆ(x) の変数ｘの定義域の集合Ａを区間とし、その区間Ａに関して：
点ｘ0 に収束する、区間Ａの要素のｘの点の無限数列が存在する。すなわち、点ｘ0 が区間Ａの要素の集積点になるということと同じだと考えて良い。
そして、その点ｘの数列がｘ0 に収束するのにともなって、 f(x) が値Ｃに収束することが、ｘ→ｘ0 でf(x)に極限値が存在するための基礎条件である。そして、区間Ａの要素のｘの点の、ｘ0 に収束する全ての無限数列で、関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する場合にｆ(x) のｘ0 での極限が存在する。それが、厳密な（第１の）極限の定義である。
《x がx0 に限りなく近づくことの定義（その２）》
また、古典的（基礎的）微分積分学のもう１つの考え方では、集合Ａの要素の点x が集積点x0 に限りなく近づくとは，
絶対値|x−x0| を限りなく小さくできる（そういう条件を満たす値ｘが集合Ａの要素に存在する）ということと同じだと考えてもよい．集合Ａが区間であれば、それは、いつでも成り立っている。
そして， f(x) が値Ｃに限りなく近づくということも
|f(x) − Ｃ| を限りなく小さくできることだと考えてもよい．
〘関数の極限の第２の定義〙
《関数のｘの定義域の集合Ａは区間とする》
集合Ａが区間であって、区間Ａの要素のｘの値が集積点ｘ0に近い全ての点ｘ（ｘ0 に近い区間Ａ内の全ての実数の点ｘ）において、すなわち、十分小さい正の値δに関して、|ｘ-ｘ0|＜δの範囲内の全ての点ｘにおいて、f(x)がＣに近い値になることが、x=x0でf(x)に極限値Ｃが存在することの厳密な（第２の）定義である。この（第２の）定義は、（第１の）定義と、必要十分な関係にある。
《第２の定義が第１の定義と必要十分な関係にある証明》
この証明は、
「『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版」の、
「６.収束の条件．コーシーの判定法」
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_006.html
の定理８の証明の内容に含まれている。
その証明で言う数列ａn が、関数ｆ(ｘn) の値であり、変数ｘは、数列ｘn として考えられている。
0＜|ｘ-ｘ0|＜δ
という条件は、数列ｘn が限りなく点ｘ0 に近づくという意味である。
変数ｘの数列{Xn}が限りなくｘ0 に近づくということについては、
ｎ＞N(δ) ならば、変数ｘに関して、必ず、
|ｘn-ｘ0|＜δ
となることが、
ｘ→ｘ0
の意味である。そのことは、
「４.数列の極限」の定理４
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_004.html
に書いてある。
〘証明問題１〙点ａが集合Ａの集積点であるならば、第２の定義の極限があれば第１の定義の極限が存在する。
（１）関数ｆ(x)のｘの定義域の集合Ａが区間であって、その区間Ａの集積点ａに関して、ある値Ｃにより、どれだけ小さな正の値εに対しても、十分小さい正の値のδによって、集合Ａの要素の点ｘに関して、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
となる（第２の定義の極限がある）ならば、
（２）集積点ａに収束する、区間Ａの要素のｘの点の無限数列{ｘn}に対して、数列{ｆ(ｘn)}は値Ｃに収束する。そして、値ａに収束する全ての無限数列に対して関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する（第１の定義の極限がある）ことを証明せよ。
【証明開始】点ａが集合Ａの集積点であることが必要
点ａが集合Ａの集積点であることが前提条件になっているので、点ａに収束する、点ａと異なる集合Ａの要素から成る無限数列{ｘn}が少なくとも１つは存在する。
その無限数列{ｘn}は、点ａに収束しているので、
任意の正の実数δに対して、以下の条件を満足する自然数ｎ0(δ)が存在する。
ｎ＞ｎ0(δ) を満足する自然数ｎがあり、その自然数ｎの全てで、
0＜|ｘn−a|＜δ が成り立つ。
これを式(1)に代入することで、
|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε が成り立つ。
すなわち、どれだけ小さな正の値εに対しても、ある自然数ｎ0(δ)が存在し、
ｎ＞ｎ0(δ)なる全てのｎで、 |ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε が成り立つ。
このため、数列{ｆ(ｘn)}は値Ｃに収束する。
以上の結論は、集合Ａの要素で作られる無限数列であって、点ａに収束する全ての無限数列{ｘn}で同様に成り立つ（第１の定義の極限がある）。
（問題１の証明おわり）
〘証明問題２〙点ａが集合Ａの集積点であるならば、第１の定義の極限があれば第２の定義の極限が存在する。
（１）集積点ａに収束する、区間Ａの要素のｘの点の全ての無限数列{ｘn}に対して、数列{ｆ(ｘn)}は値Ｃに収束する。
すなわち、どれだけ小さな正の値εに対しても、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎなる全てのｎで、|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε, (2)
が成り立つ。
そして、値ａに収束する全ての無限数列に対して関数ｆ(x) の値が同じ値のＣに収束する（第１の定義の極限がある）ならば、
（２）関数ｆ(x)のｘの定義域の集合Ａが区間であって、その区間Ａの集積点ａに関して、ある値Ｃにより、どれだけ小さな正の値εに対しても、十分小さい正の値のδによって、集合Ａの要素の点ｘに関して、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
となる（第２の定義の極限がある）ことを証明せよ。
【証明開始】点ａが集合Ａの集積点であることが必要
点ａが集合Ａの集積点であるので、値ａに収束する無限数列{ｘn}が存在する。
この問題を、結論を否定する仮定を設定し、その仮定によって矛盾を生じることを示して結論の否定が誤りであることを証明する。
〔仮定〕
（１）値ａに収束するどの無限数列{ｘn}に関しても、どれだけ小さな正の値εに対しても、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎなる全てのｎで、|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε, (2)
が成り立つときに、
（２）どれだけ小さな正の実数εに対しても、ある正の実数δが存在し、集合Ａの要素のどのｘの値に対しても、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
が成り立たないことがあることを仮定する。
すなわち、
（３）ある正の実数εに対して、どの正の実数δであっても、集合Ａの要素のあるｘの値に対して、
0＜|x−a|＜δ かつ |ｆ(x)-Ｃ|≧ε， (3)
となる事がある。
と仮定して、そう仮定すると矛盾が導かれることを示すことで、この証明問題２を証明する。
（矛盾の導出開始）
（１）を満足する、ある正の実数εに対しては、正の実数δを、自然数ｎに関して、
δ＝1/n,
としたときにも、
（仮定により）
集合Ａの要素のある値ｘn に対しては、
0＜|ｘn−a|＜1/n かつ |ｆ(ｘn)-Ｃ|≧ε， (4)
となる。
つまり、δ＝1/nを与える自然数ｎ毎に、式(4)が成り立つある値ｘnが必ずある。
ここで、この、ｎ毎に定まるある値ｘnを使って 数列{ｘn}を作る。
この数列{ｘn}は、式(4)によって、
0＜|ｘn−a|＜1/n
が成り立つので、
ｎが大きくなるにつれて点ａに収束する無限数列である。
値ａに収束するどの無限数列に対しても式(2)が成り立つので、 数列{ｘn}についても、
正の値εに対しても、ある自然数Ｎが存在し、
ｎ＞Ｎなる全てのｎで、|ｆ(ｘn)-Ｃ|＜ε, (2)
が成り立つ。
これは、式(4)の、|ｆ(ｘn)-Ｃ|≧ε，と矛盾する。
よって、仮定が否定された。
ゆえに、
（２）どれだけ小さな正の実数εに対しても、ある正の実数δが存在し、集合Ａの要素のどのｘの値に対しても、
0＜|x−a|＜δ ならば |ｆ(x)-Ｃ|＜ε， (1)
が成り立つ（第２の定義の極限がある）。
（問題２の証明おわり）
微分積分学を厳密化するしくみ
初期の微分積分学では，「限りなく近付ける」という概念を使って来た。この極限の最大の問題点は、「限りなく近づく」という表現の曖昧さです。その概念を具体的に数学的に明確な概念にするのが「ε-δ論法」です。
コーシー（1789-1857）は不等式を使ったε-δ論法を導入した。
コーシー以前たとえばラグランジュが「無限小」や「極限」を曖昧なものとして数学の記述から排除しようとしたのに対して、コーシーは動的な表現が不等式評価と結びつくことを洞察して積極的に数学の記述に取り込んだ。不等式評価と結びついていることが把握されてさえいれば、動的表現自体を排除する必要はない。
極限の概念を明確にすると、(1) コーシーらの開拓した古典的（基礎的）微分積分学のイプシロンデルタ論法による極限の表し方と、(2) 位相空間論に係わり再構築した微分積分学のイプシロンデルタ論法による極限の表し方との、異なる２つの極限の表し方があります。そのようにイプシロンデルタ論法によって明確に表した極限の概念は複数あるのです。その２つを合わせて「限りなく近付ける」と言っていたのですから、その表現がいかにあいまいであったかが分かると思います。
先の（第２の）定義は、古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義であり、以下のように表現できる。
《ε－δ論法（その１）》
（１）
どんな小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，|f(x) − Ｃ| をそれよりも小さくできることを以下のように表現する。
すなわち、区間Ａを定義域とする関数ｆ(x) に関して、その区間Ａの変数ｘと、ｘ0 との差の絶対値|ｘ－ｘ0|がある正の値δ以下であれば（そうなる変数ｘの値が区間Ａ内に必ず存在することが必要）、ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）に関して、
|f(x) − Ｃ| をεよりも小さくできるならば，
（２）
関数値ｆ（ｘ）の値のバラツキを表す|f(x) − Ｃ| を限りなく小さくできるといえる．
この考え方が数学でいうところの限りなく小さいということの第２の定義です．
これを用いて関数の極限をもう一度定義します．
この定義はε − δ論法と呼ばれる証明法のもとになっていますが，難しく感じる人は，直感的極限値で十分です．
（注意）
ただし、直感的極限値で考える場合でも、変数ｘの値がｘ0に近いどの実数にした場合でも、
（条件１）
ｆ（ｘ）が（無限大では無い）ある値Ｃに近づく事。
（条件２）
そして、ｘ0の近傍の微小区間（ｘ0が関数ｆ(x) のｘの定義域の端点の場合は、ｘ0の片側の微小区間）のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならないという事が、
極限が存在するための基礎条件であると認識しておくこと。
（注意すべき点）
ｘ＝ｘ0での関数ｆ（ｘ）の極限を求める場合、変数ｘの値がｘ≠ｘ0となる値ｘ0の近傍（ｘ0がｆ(x) の定義域ｘの端点の場合は片側の近傍）の範囲内の全ての実数ですきま無く関数値ｆ（ｘ）が定義されている関数ｆ（ｘ）についてのみ、極限が存在し得るものとして極限が定義されている。
【極限が存在しない例】
関数ｆ（ｘ）が、ｘが有理数の場合は
ｆ（ｘ）＝ｘ
であり、
ｘが無理数の場合は、
ｆ（ｘ）＝１００
とする関数がｘ＝０での極限値を持つかどうかを考えます。
【解答】
自然数ｍで表す
ｘ＝１／ｍ
を限りなく０に近づけて行くとき、
ｆ（ｘ）が限りなく０に近づきます。
しかし、
限りなく小さな値の無理数ｘに対して、
ｆ（ｘ）＝１００
になり、
その限りなく小さな値の無理数では、
ｆ（ｘ）は０に近づかないので、
ｆ（ｘ）は、
ｘ→０の場合に、 ｆ（ｘ）→０となるとは言えません。
よって、この関数ｆ（ｘ）には、 ｘ＝０での極限値がありません。
（解答おわり）
（極限を考える場合の根本的な注意点）
極限を、ｘ0の近傍（ｘ0が関数ｆ(x) の定義域Ａの区間の端点の場合は片側の近傍）のどれだけｘ0 に近い位置にも定義域Ａの点がある（点ｘ0 が集合Ａの集積点である）事は、極限の定義の姉妹にあたる関数ｆ(x) の連続性の定義でも、すなわち、変数ｘの値ｘ0における関数の連続性の定義が、ｘ0 が関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点でなければならない事と対応しています。
【問題１】
関数ｆ（ｘ）は、整数ｍと、０以外の整数ｑに関して、
有理数ｘ＝ｍ／ｑの場合に、
ｆ（ｘ）＝０
となる関数である。それ以外のｘの場合にこの関数ｆ（ｘ）は値を持たない。
この関数ｆ（ｘ）は、
ｘ→０における極限値を持つか？
【解答】古典的（基礎的）微分積分学の答え
この関数ｆ(x) はｘ＝０の近傍で微小区間で関数が定義されていないので古典的微分積分学での極限の定義の条件を満足しない。つまり、この関数ｆ（ｘ）の値を与える有理数ｘ＝ｍ／ｑが何であっても、その有理数ｘの値より０に近い無理数ｙが必ず存在する。そして、その無理数ｙに対して値ｆ（ｙ）を持たない。そのため、ｆ(x) は、ｘ＝０の近傍で微小区間では関数が定義されていない。
よって、この関数ｆ（ｘ）は、ｘを限りなく０に近くしても関数値が定まらず、極限値が存在しない。
（解答おわり）
このように、古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義においては、関数ｆ(x) の変数ｘの定義域が有理数のみであって無理数を含まない関数には極限がありません。
しかしながら、点ａが関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点である場合には、定義域Ａが有理数のみであっても、第１の定義の極限と第２の定義の極限が必要十分な関係になり、点ａでの関数ｆ(x) の極限を定義し得る、ということにも注意する必要がある。
《実数が、直線上にすきま無く並べる事ができる》
有理数全体は、ｘ座標を表す直線上に密集している。しかし、有理数全体だけでは、直線上にすきま無く並べることができない。
無理数全体も、ｘ座標を表す直線上に密集している。しかし、無理数全体だけでは、直線上にすきま無く並べることができない。
実数全体が、直線上にすきま無く並べることができるのである。
《点ａがｘの定義域Ａの集積点ではない関数は点ａで微分不可能》
点ａが関数ｇ(x) の変数ｘの定義域Ａの集積点である事が、関数ｇ(x) の微分係数ｇ’（ｘ）を計算できる前提条件になります。そのため、点ａが関数ｇ(x) の集積点ではない点では、関数ｇ(x) は微分可能ではありません。
【ε－δ論法による極限の定義（その１）】
関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点がｘ0 であって、少なくとも集積点ｘ0 の近傍の定義域が微小区間であるものとする。その集積点ｘ0 に対して、ある値Ｃによって、
任意の正の実数ε に対して，ある正の実数δによって、
0 < |x − x0| < δ となるｘの値が定義域Ａ内に必ず存在し、かつ、この式を満足する関数ｆ(x) の全ての実数ｘで、
|f(x) − Ｃ| < ε が成り立つならば、
そうなるような正の実数δ が選べるならば、集積点ｘ0 での関数ｆ(x) の極限が存在し、その極限値がＣである。
（すなわち、ｆ(x) が、ｘ0 の近傍の微小区間の実数ｘで定義されていて、かつ、その点ｘでの関数値ｆ(x) に関して上の式が成り立っているならば、）
----極限の定義おわり---------
《「ならば」という言葉を使う命題に要注意》
「AならばBである」という命題の論理は、「(Aで無い)∪(Bである)」という論理式であらわされることに注意が必要である。この命題が真であるのは、「AであるときにはBである」、という場合以外に、「Aで無ければ、Bがどうにでもなり得る」という意味もある。この「Aで無ければ、Bがどうにでもなり得る」という含意があることに要注意です。
0＜|x-a|＜δ ならば |f(x)-C|＜ε
という命題の意味には、どの値のｘにおいても|x-a|≧δ でありさえすれば、他はどうでも良い、という意味が含まれている。（その意味を否定するには、0＜|x-a|＜δを成り立たせる定義域内のｘの値が必ず存在する、という制限条件が必要）。そのため、上に述べた命題で極限を定義する場合には、「点ａが関数ｆ(x) の定義域Ａの集積点である」という制限条件が必ず必要である。aを関数ｆ(x)の定義域の集積点にしない場合、例えば定義域が[-1,1]の関数ｆ(x)=x の場合に、ａ＝100 の場合には、ｘが定義域内のどの値であっても|x-a|≧99なので、δ＜99なるδに関して、ｘの値が定義域内の何であっても|x-a|≧δになる。そのため、その場合に、「Aで無ければ、Bがどうにでもなり得る」が成り立つ。
すなわち、ａ＝100 の場合には、例えばＣ＝10 として、全てのε＞0 に対して、あるδ＝98について、
0＜|x-a|＜δ ならば |f(x)-10|＜ε
が成り立つ。
これが成り立つからと言って、
定義域が区間[-1,1]の関数ｆ(x)=x のｘ→100 の極限値がＣ＝10 になる、
と言ってはいけない。
（要注意おわり）
ここで、極限を定義するε－δ論法（その１）が出て来ましたが、ε－δ論法というものは、εとδを使って極限を表現する手段であって、ε－δ論法を使った極限の定義は、上の形の表現に限られません。
後で説明する、区間の端では、片側極限について、上の表現とは形を変えた別のε－δ論法（その２）によって片側極限が定義されます。
-----（極限の定義を言い換えて定義を理解する）----
大学１年生が、初めてこの極限の定義を学んだとき、定義の意味が分からず、微分積分学が分からなくなり脱落する大学１年生が多いらしい。
この定義を理解するには、想像力を膨らませて、この定義を、以下の様に噛み砕いて自分の言葉で言い換えると、この定義の意味が理解でき、定義がすんなり覚えられるようになると思います。
先ず、以下の図のようなメチャメチャな関数ｆ（ｘ）で、ただ１つの点のx0＝0の点で極限を調べる事をイメージしましょう。x0＝0の点以外では関数ｆ（ｘ）が連続でも無いというメチャメチャな関数を考えます。
（１）
どんなに小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
充分小さい正の微小量δを選べば、
ーδ＜ｘ－ｘ0＜ ０ 及び、 ０＜ｘ－ｘ0＜δ
を満足するｘ0に近い、ｘ0では無い全ての実数値のｘを漏らさず調べた関数値ｆ（ｘ）が、
ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値：この値は複素数であっても良い）に関して、
全て、
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するということが、
関数f(x)にｘ0の極限値が存在するという事である。
その値Ｃを点ｘ0での関数ｆ（ｘ）の極限値と定義します。
（１－１）
すなわち、関数ｆ（ｘ）の値が存在する変数ｘが、
x０に近いがｘ0では無い、x0に近い全ての実数ｘの範囲が、
言い換えると、
（Ａ）充分小さい正の微小量δによる、
0 < |x − x0| < δ
となる範囲の全ての実数が関数の変数ｘの定義域に含まれている。
（Ｂ）また、上の式（満足させる目標をあらわす式）：
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するある値Ｃ（εの値にかかわらず固定した値）が存在する。
ということが、
関数f(x)のｘ0の極限が存在するという事である。
（１－２）
極限の定義において、ｘをｘ0に限りなく近づけてｆ（ｘ）を考える際に、ｘ0の点を除外して考えることが極限の概念の本質的な特徴になっています。もし、ｘ0の点を除外しないで”極限”の有無を調べることにすると、それは、関数の”連続性”の有無を調べることになります。極限の概念は、関数が連続で無い場合も視野に入れた関数の特徴の把握のために、ｘ0の点を除外して考えるという特徴を本質的に持っています。
すなわち、関数ｆ（ｘ）の極限を求める点ｘ0で関数ｆ（ｘ）が連続で無くても極限値が存在し得るのです。
（２）
ここで、ｘ0から、実数値δの範囲内でずれる、ｘ0では無い全ての実数ｘについてｆ（ｘ）を考えなければならない。
この定義における「全ての実数ｘ」の意味は、他の制限、例えば関数の変数の定義域を有理数だけに定めて定義域外の無理数の変数に対する関数値を考え無い事にした関数では、考えるべきｘの実数値が定義域から除外されてしまっているので、そういう関数ｆ(x) には極限が存在しないことを意味します。
（３）
その全てのｆ（ｘ）の値（その値は複素数であっても良い）のバラツキの誤差を求める。
その誤差＜εとするεでバラツキの範囲を定める。
（４）
（４－Ａ）ｘの値のｘ0からずれる範囲の値δを十分小さくすれば、
その範囲内の全ての実数値のｘ（ただし、値ｘ0は除外）によるｆ（ｘ）の値のバラツキが小さくなり、
そのバラツキの範囲の値 ε は、
いくらでも小さな値εが得られる、
という条件が満足されるならば；
（４－Ｂ）また、そのどの実数値ｘ（ただし、ｘ≠ｘ0）についても、
－ε＜ ｜ｆ（ｘ）－Ｃ｜＜ε
となる値Ｃ （この値は複素数であっても良い）が、どのように小さなεの値についても、
変わらない確固とした値で存在するならば；
その関数の値の極限が存在し、
その確固とした値Ｃ が極限値である。
----（定義の言い換えおわり）-----------
（疑問に思う点）
そのある値Ｃをどの様にして見つけたら良いのだろうかという疑問がわくと思います。
ε－δ論法によって極限値を定義しても、ある値Ｃが分からなければ、極限値の存在が確かめようが無いのではないか。
ある値Ｃを仮定して、定義にあてはめても、ある程度小さいεまでは確かめられても、それ以降は、定義通りにならず、その値Ｃは、結局は極限値では無い事がわかるという事になるのではないか。
その極限値Ｃを確かめる試行錯誤を無限に繰り返せと言うのかといった腹立ちを感じるのではないでしょうか。
その疑問に対しては、以下の様に考えたら良いと考えます。
極限値Ｃを確かめるには、単に、ｘをｘ0に近づけて関数値ｆ(x)を求めて行くだけで良いのではないか。
極限が有るか無いかの問題は、その方法で極限値を求める事ができる関数であるか、そうで無いかを判定できるだけで良いと考えます。
（Ａ）先ず、その様にして求める事ができる極限値Ｃが存在する事が第１に必要な条件です。
（Ｂ）次に、その極限値Ｃが存在するとして、関数ｆ（ｘ）は、その極限値Ｃにどの様に近づいていかねばならないかの、関数の構造を知る事が第２に必要な条件と考えます。
極限が存在する関数が満足させるべき目標をあらわす式：
|f(x)－Ｃ|＜ε,
を以下の様に変形して考えます。
－ε＜（f(x)－Ｃ）＜ε,
Ｃ－ε＜f(x)＜Ｃ＋ε，
f(x)－ε＜Ｃ＜f(x)＋ε，
この（満足させる目標をあらわす）式によって、ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）が、関数値f(x)の誤差εの範囲で求められる事が、極限値Ｃが存在し得るという事です。
その誤差εは、ｘをx0に近づける事で小さくできれば、極限値Ｃが存在し得ると言えます。
すなわち、
0 < |x − x0| < δ
となる誤差δの範囲内のｘの値が必ず存在し、かつ、その全てのｘについて、
上の式が成り立ち、誤差δを小さくすればいくらでも誤差εを小さくできれば極限値Ｃが存在すると言えます。
関数の構造を調べるために全てのｘについてのf(x)を考えるのが大変なので、以下の様に考えて関数の構造を調べます。
全てのf(x)のうち、
f(x)の上限値を求めf2とする。
f(x)の下限値を求めf1とする。
（端点が開放された区間では、開放された端点の近くで関数f(x)が上限値f2に限りなく近づくが決してf2になる事が無い事が起き得る事に注意する）
全てのf(x)について、
f1≦f(x)≦f2です。
そうすれば、全てのf(x)について満足させる目標が：
f2 －ε<Ｃ＜f1＋ε,
という関係だけを満足させる事を考えれば良い事になります。
（補足）
ここで、想像力を働かせて、一番突飛な例を想像しましょう。
例えば、誤差δを小さくすれば、f(x)のグラフの最大値 f2 がx0の左にあったり右にあったりし、x0の前後のｘの順では、f1,f2の順になったり、f2,f1の順になったりする突飛な関数の事例を想像してイメージを膨らませましょう。
---補足おわり--------------
この（満足させる目標をあらわす）式
f2 －ε<Ｃ＜f1＋ε,
によって小さい値εの小ささの限界が決められます。
先ず、必須の条件に、
2ε＞f2－f1
があります。
しかし、これだけでは、満足させるべき目標が達成できません。
そこで、
ε＝（f2－f1）＋(0+)
とすると、
f2 －ε<Ｃ＜f1＋ε,
は、
f1－(0+)<Ｃ＜f2＋(0+),
になり、また、以下の式にもなります。
f1≦Ｃ≦f2,
（極限値Ｃが存在する事を前提として考えて）この式は必ず成り立つ関係を表していると考えられますので、この式なら目標の式を満足させることができます。
（また、後で説明するように、この様に値Ｃのバラツキの範囲を定めるならば、数直線上の区間を考える場合、最小値f1と最大値f2を両端に持つ区間を、その区間の幅を無限に小さくしていくことができる関数の場合は、その幅を無限に小さくする各段階での値f1及び値f2とは独立した値の極限値Ｃが存在する事が証明できます。）
そのため、誤差εは、
ε＝（f2－f1）＋(0+)
に決めることができます。
これにより、このε－δ論法による極限の定義は、
以下の定義と等価だと分かりました。
【等価な極限の定義】
0 < |x − x0| < δ となる関数ｆ(x) の定義域ｘの値が必ず存在し、
（すなわち、関数ｆ(x) のｘの定義域Ａの要素の集積点がｘ0 であり）
（Ａ）
そのδで制限された範囲内の定義域のｘの関数f(x)の下限値をf1とし上限値をf2とするときに、
f2－f1をいくらでも小さくするｘの範囲を定める正の実数δ を選べることができるならば,
（Ｂ）
f1≦Ｃ≦f2
となる値Ｃで、f2-f1を小さくする各段階でのf1及びf2の値とは独立して存在する値Ｃを見つけて、その値Ｃを極限値と定義する。
そして、
----等価な極限の定義おわり-------
誤差εをどんどん小さくしていっても、
0 < |x − x0| < δ
となる範囲内の全てのｘの関数f(x)の上限値f2と下限値f1が、
δを十分に小さくすることで、f1とf2の差が十分小さくなるなら、そのf1とf2の間に求める極限値Ｃが存在すると言えると考えます。
そのように、f1とf2の差をどんどん小さくしていくことができるならば、
ｘをｘ0に近づけて関数値ｆ(x)を求めて行くだけで、
極限値Ｃが求められると言えると考えます。
（極限値Ｃの存在の証明）
なお、このようにｘの範囲の幅のδを小さくしてｘの範囲の領域の幅を無限に小さくし続けて、その範囲内の関数f(x)の下限値f1と上限値f2を求めて、Ｙ＝f(x)の区間で、f1とf2を両端に持つ区間を考え、そのＹ座標でのf1からf2までの区間の幅を無限に小さくし続けることができるなら、その場合に、そのＹ座標の、f1からf2までの区間が、１点の極限値Ｃに収束する事が証明できます（ここをクリックした先の定理18）。
このように、f1とf2の差≒ε がいくらでも小さくできる条件が成り立つならば、関数ｆ（ｘ）の値が極限値Ｃに近づいていき極限値Ｃが求められるので、これによって、極限値が存在する条件が正しく表わされている様に思います。
（注意）以下の様なメチャメチャな関数の場合：
ただし、その作業量の多さは、元のε－δ論法でも、ｘをｘ0の近傍の誤差δの範囲に近づけて全ての関数値f(x)で|f(x)－Ｃ|＜ε を調べる作業量も同じ多さです。
極限値Ｃの定義は、最悪なメチャメチャな関数の極限値を求める場合を想定した場合の極限値の求め方をあらわしたものであって、現実的な素直な関数の極限値Ｃの求め方を表したものでは無かったのです。
素直な関数ならば、上限値f2と下限値f1を求めてから極限値Ｃを求める作業は比較的楽になると思います。
（注意）
ここで、極限を定義するε－δ論法（その１）が出て来ましたが、ε－δ論法というものは、εとδを使って極限を表現する手段であって、ε－δ論法を使った極限の定義は、上の形の表現に限られません。
後で説明する片側極限についても、上の表現とは形を変えた別のε－δ論法（その２）によって片側極限が定義されるのです。
（極限の定義の第１のポイント）
上のε－δ論法による極限の定義の第１のポイントは：
「ｆ（ｘ）の値のバラツキを表す正の数ε をどれだけ小さくしても，関数値ｆ（ｘ）を必ずそのバラツキ内に漏れなく入れることができるｘ0に近い実数ｘのバラツキの範囲を表す正の値δが必ず存在することである。
すなわち、その正の数εのバラツキ内に関数値を漏らさず入れる、ｘ0に近い、関数の定義域の区間Ａ内の全ての実数ｘの範囲を
0 < |x − x0| < δ
とする正の数δ が必ず存在すると言うことである。
0 < |x − x0| < δ の条件を満足する区間Ａの全ての実数ｘの関数値ｆ(x) において、条件を満足するならば、
という説明が隠れて入っているので「全て」というキーワードを忘れないようにしましょう。
この極限の定義は、関数ｆ(x) がｘ0の近傍の区間Ａで定義されていなければならないという事を前提にしている。
（極限の定義の第２のポイント）
上のε－δ論法による極限の定義の第２のポイントは、
ｘ→ｘ0 を、
0 < |x − x０| < δ
（すなわち、ｘ ≠ x０ の場合に）
と定義し、
一方で、
ｆ（ｘ）→Ｃを、
|ｆ（ｘ） − Ｃ| < ε
（すなわち、ｆ（ｘ） ＝ Ｃの場合を含む）
と定義して
極限を定義していることです。
これにより極限の意味を明確にしていることです。
すなわち、
ｘ→x0 （ｘ≠x０となる場合のみ）と、
ｆ(x)→Ｃ （ｆ(x)＝Ｃとなる場合も含む）は、
同じ「→」であらわしていても、
意味が異なっていることを明確にしています。
《ε－δ論法（その２）》
（右側極限値と左側極限値）
また、以上で説明したε－δ論法（その１）による極限の定義によると、変数ｘの値が、ｘ0から微小な値 δ 以内の誤差の全ての実数ｘの値に対してｆ（ｘ）が定義されていなければ、ｘ0で関数ｆ（ｘ）の極限値が存在しない。
そのため、関数ｆ（ｘ）の変数ｘの実数の定義域の境界ｘ0 では、
ｘ0から微小な値 δ 以内の実数の領域の半分が関数ｆ（ｘ）の定義域からはみ出して、定義域内に存在しないので、定義域の実数の境界ｘ0 では関数ｆ（ｘ）に極限値が存在しないことになってしまいますが、以下の第２の定義（ε－δ論法（その２））の様に、閉区間の端点での極限値の定義を修正し、閉区間の端点で極限値がある、と定義します。
（第２の定義の極限の条件）
関数ｆ（ｘ）が、ａ≦ｘ≦ｂで定義されている場合、
そういう閉区間（a≦ｘ≦ｂ）で定義された関数ｆ（ｘ）の端点については、以下の条件を満足する左側極限値、または、右側極限値が存在すれば、その端点で極限があると定義されています。
（１）左側極限値
どんなに小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
充分小さい正の微小量δを選べば、
ーδ＜ｘ－ｂ＜ ０
を満足するｂに近い全ての実数値のｘが、
ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）に関して、
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するということが、
関数f(x)のｂの左側極限が存在するという事である。
その値Ｃ ＝ｆ（ｂ－）
とあらわす。
この極限を、
x → ｂ− 0 またはx → ｂ−
のとき、
ｆ（ｘ）→ ｆ（ｂ－）
であると表現する。
ｆ（ｂ－）が存在するならば、端点ｂで関数ｆ（ｘ）に極限値があると定義します。
（２）右側極限値
どんなに小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
充分小さい正の微小量δを選べば、
０＜ｘ－ａ＜δ
を満足するａに近い全ての実数値のｘが、
ある値Ｃ（その値Ｃは、εの値によらない固定値）に関して、
|f(x) − Ｃ| ＜ ε
を満足するということが、
関数f(x)のａの右側極限が存在するという事である。
その値Ｃ ＝ｆ（ａ＋）
とあらわす。
この極限を、
x → ａ＋ 0 またはx → ａ＋
のとき、
ｆ（ｘ）→ ｆ（ａ＋）
であると表現する。
ｆ（ａ＋）が存在するならば、端点ａで関数ｆ（ｘ）に極限値があると定義します。
【等価な片側極限の定義】
上に記載した片側極限（のうちの１つ）を、以下の、等価な定義であらわすこともできます。
０＜ｘ－ａ＜δとなる全ての実数ｘに対してf(x)の値があり，
（すなわち、ｘ ＜ ａであるｘで、上式の条件を満たす全ての実数ｘについて、必ずf(x)が定義されていて）
（Ａ）
そのｘの範囲内のf(x)の下限値をf1とし上限値をf2とするときに、
f2－f1をいくらでも小さくするｘの範囲を定める正の実数δ を選べることができるならば,
（Ｂ）
f1≦Ｃ≦f2
となる値Ｃで、f2-f1を小さくする各段階でのf1及びf2の値とは独立して存在する値Ｃを見つけて、その値Ｃを極限値と定義する。
そして、
x → ａ＋ 0 またはx → ａ＋
のとき、
ｆ（ｘ）→ ｆ（ａ＋）＝Ｃ
と記述する。
----等価な片側極限の定義おわり-------
（極限値が存在しない点が有限個ある関数）
以下の図の関数ｆ（ｘ）のグラフを考えます。
ｘ＝０の点での極限とｘ＝２の点での極限が存在しません。
ｘ＜０で、ｘ→０とすると、ｆ（ｘ）→０になり（左側極限値）
ｘ＞０で、ｘ→０とすると、ｆ（ｘ）→１になります（右側極限値）
関数の定義される領域の端点以外の点で、左側極限値と右側極限値が一致しない場合は、極限値が存在しません。
（その２）この関数は、ｘの定義域を０から２までで考えると：極限の第２の定義を適用し：
閉区間 ０≦ｘ≦２
において、その端点ｘ＝０もｘ＝２も、片側極限が存在するので、端点での極限が存在し、閉区間全体で極限が存在します。
（注意）上で説明した、その１とその２の関数は定義域が異なるので異なる関数です。
異なる関数ですので、その１とその２で、ｘ＝０及びｘ＝２の極限の有無の判定が異なっても、問題ありません。
関数の極限値が存在しないもう１つの例として、以下の図の関数 Y=sin(1/x) は
ｘ→０で
Yの極限値が存在しません。
（この関数Yは、ｘ→０において、ー１から１まで振動し、安定しません）
例えば、ｘが有理数の場合のｆ（ｘ）の値とｘが無理数の場合のｆ（ｘ）の値が１以上異なるような関数には極限が存在しません。
どの位置においても関数の極限値が存在しない関数は、例えば下のグラフの関数のようになります。
ｘ＝奇数／（整数×２）
の点では極限値が存在しない。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》
【問題】
「下図の様に、線を曲げて上下に段差があるグラフを作る。
そのグラフの段差の間隔を、先のグラフの間隔より狭めて変形したグラフを作る。
この作業を無限に繰り返して段差の間隔を無限に狭めたグラフの関数ｆ（ｘ）を作ったら、そのグラフは段差の部分で連続か否か？」
という問題を問われたら、
「 いや、そうなったら、それは、もはや、その無限にグラフの段差を狭くしている点ｘ＝０で、グラフの極限が存在しなくなりグラフが不連続になります。」（事実はこの通りですが）
と即答できるでしょうか。
こういう問題に論理的に（数学的に）返答できるようにするため、極限を厳密に定義したのです。
【解答】
上図の様に、ｘ＝０でのグラフの段差を無限に狭くしたら、
（１）
どんな小さな正の数 εを比較の相手と選んでも，
|f(x) − ０| ＜ ε
とできるような、ｘ0に近い実数ｘの範囲が存在しない事が以下の様にして証明できます。
（２）
以下の式で定義する実数ｘの範囲δをいくら狭くしても、すなわち、
0 < |x − x0| < δ となるｘの範囲をいくら狭くしても、
上のグラフの関数ｆ（ｘ）の段差が無限に狭くなって、
0 < |x − x0| < δ となる範囲内にグラフの段差が包含されてしまいます。
（３）
グラフの段差が、
0 < |x − x0| < δ となるｘの範囲内に包含される結果、
その範囲内のｘに、
|f(x) − ０| の大きさが段差の高さ（の半分）くらい大きいｘの値があります。
それゆえ、そのｘの値では、小さな正の数 εによって、
|f(x) − ０| ＜ ε
とする事ができません。
そのため、ｘ＝０で極限が存在しません。 極限が存在しないので、極限を使って定義した連続性も無く、この関数はｘ＝０で不連続になります。
（解答おわり）
【位相空間論での極限の定義】
これ以降は大学数学の話になります。高校生は読まないで良い話です。
《杉浦光夫著「解析入門Ⅰ」》
〔杉浦光夫著「解析入門Ⅰ」51ページ〕では、位相空間論に基づく以下のような「極限」を定義している。
《位相空間論の極限の定義》
位相空間論では、位相空間の数の集合を実数の集合Ｒとした上で、その集合の部分集合の（例えば有理数の）集合Ａを定義域にした関数ｆ(x) の極限が以下のように定義される。（定義域が有理数のみの関数でも極限が求められるのである）
すなわち、関数ｆ(x) の独立変数ｘの定義域が例えば有理数の集合Ａであるとする。定義域Ａのｘの点（ｘは有理数）と、定義域Ａを含む触点の集合（それは定義域Aと境界点の集合とを合わせた集合）に属する点ａとを考える。
Ａ∍ｘ
（Ａ∪境界点）∍ａ
とする。なお、点ａではあるが、点ａがAに属さない境界点の場合は点ａを点βとあらわすことにする。
（参考）「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１７８ページに位相空間論での「触点」や「境界点」の定義がある。
関数ｆ(x) がある実数ｂに収束する極限値ｂが存在するということを、以下のように定義する。
十分小さい正の実数εを考え、次に正の実数δを考える。
すなわち、ある実数ｂに対して、どのように小さい値のεに対しても、
ある値の実数δによって、ａ以外の集合Ａの要素のどのｘに対しても、
０＜|ｘ－ａ|＜δ， ｘ≠ａ，
ならば（上記の２つの教科書がともに、この式を間違えている）、
|ｆ(x)－ｂ|＜ε
となるならば、ｆ(x)のｘ＝ａの極限値ｂが存在するものとする。
（極限の定義おわり）
（注意１）
この極限の定義で注意する点は、有理数の集合Ａで定義された関数ｆ(x) の極限値ｂを、有理数の集合Ａに属する独立変数ｘのみで定義しているが、ｘの収束する先の数ａは集合Ａに属する点だけではなく、境界点βの場合もあることに注意すること。つまり、変数ｘが集合Ａに属さない点（位相空間の数の集合には属する）の境界点βに収束する場合の、そのときの関数ｆ(x) の極限も定義されている。
すなわち、式(10a)の極限の定義とともに、式(10b)で、点ｘの収束する先のβが（位相空間の数の集合に属するが）定義域の集合Ａには属さない境界点βである場合もｆ(x) の極限が定義されている。極限の概念は関数の定義域Ａに限定できないのである。
（参考）「嶺幸太郎 著：微分積分学の試練」の１１２ページに位相空間論での極限の定義がある。
（注意２）
この位相空間論に係わる極限の定義には、古典的（基礎的）微分積分学でのｘの極限の存在条件である「点ａに収束するｘの無限数列の値ｘでｆ(x) が定義されていなければならない（点ａが集積点でなければならない）」、という基本的前提条件が抜けて、点ａが孤立点の場合でも極限を定義している。そして、「点ａに近い微小区間のどの実数に対してもｆ(x) の値が定義されていなければならない」、という古典的（基礎的）微分積分学における、関数ｆ(x) の極限が存在するための前提条件が抜け落ちている。
（注意３）
この定義によって、以下の例のように極限値ｂを求めることができる。
定義域の集合Ａ＝{1,4}とし、ｆ(1)＝１０，ｆ(4)＝２０，とする。
点ａ＝１において、以下の理由で
ｂ＝２０という極限値がある。
δ＝４とすれば、
ｘ＝４では、0＜|４－１|＜４＝δが成り立つ。
それを満足するｘ＝４ならば、
どのεの値についても、
|ｆ(x)－２０|＜ε
が成り立っている。
そのため、点ａ＝１における関数の極限値ｂは２０である。
一方で、集合Ａ＝{1}とし、ｆ(1)＝１０，とする例では以下の不具合がある。
点ａ＝１においては、
ｂ＝２００とすると、
δが何であっても、
ｘ＝１では、０＜|１－１|が成り立たない。
つまり、どのｘについても、０＜|ｘ－ａ|＜δが成り立たない。
（（偽の命題）ならば（何かの命題）である。）
という命題は常に真である。
（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－２００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－２００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝２００である。
しかし、（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－４００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－４００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝４００である。
この場合に、極限値ｂ＝２００でもあり、極限値ｂ＝４００でもあることになり、極限値が何にでもなることになる。
そのように、極限値が無意味になる不具合がある。
（こうなるので、この極限の定義には不備がある。）
更に、定義域の集合Ａ＝{1,4}とし、ｆ(1)＝１０，ｆ(4)＝２０，とした関数の例をもう１度考えてみる。
この関数については、先に、
点ａ＝１において、δ＝４に関して、ｂ＝２０という極限値がある。
と結論付けた。
ここで、点ａ＝１において、δ＝１ に関して考察する。
δ＝１の場合は、
ｘ＝１では、０＜|１－１|が成り立たない。
ｘ＝４では、|４－１|＜１＝δが成り立たない。
すなわち、どのｘについても、０＜|ｘ－ａ|＜δが成り立たない。
（（偽の命題）ならば（何かの命題）である。）
という命題は常に真である。
（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－２００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－２００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝２００である。
しかし、（何かの命題）が、|ｆ(ｘ)－４００|＜ε
である場合に、定義により、|ｆ(ｘ)－４００|＜εが成り立たなくても、極限値ｂ＝４００である。
この場合に、極限値ｂ＝２００でもあり、極限値ｂ＝４００でもあることになり、極限値が何にでもなることになる。
そのように、この関数の場合でも、極限値が無意味になる不具合がある。
（こうなるので、この極限の定義には不備がある。）
この関数の、点ａ＝１における極限を、以下で、論理式を解いて地道に解析する。ｆ(x) の点ａでの極限ｂの定義を表す論理式は以下の式である。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，∀x∊A，{0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε}
この論理式は、以下の式に書き換えられる。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，∀x∊A，{(0＜|x-a|＜δ)で無い ∪ (|f(x)-b|＜ε)}
この式を同値変形する。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，∀x∊A，{(0=|x-a|) ∪ (|x-a|≧δ) ∪ (|f(x)-b|＜ε)}
この論理式は、∀記号で表した要素のεとｘの全ての値の組合せの論理式を連立した論理式である。
そのため、上記の関数におけるａ＝１での極限値ｂの解は、以下の連立論理式に展開して解くことができる。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，x=1,{(0=|1-1|) ∪ (|1-1|≧δ) ∪ (|10-b|＜ε)}
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，x=4,{(0=|4-1|) ∪ (|4-1|≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
整理すると、
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，{(0=0)}
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，{(|4-1|≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
１つ目の論理式は常に真なので２つ目の論理式のみになる。
∃b∊R，∀ε>0，∃δ>0，{(|4-1|≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
この式を同値変形すると、
∀ε>0，{(3≧δ) ∪ (|20-b|＜ε)}
更に式を同値変形すると、
(3≧δ) ∪ 20＝b
この解は、以下の意味を持つ。
（解１） δ≦3の場合に、極限値ｂは任意の値を持つ。
（解２） δ＞3の場合に、極限値ｂ＝２０。
極限値ｂを与える条件のδの値はどの値にしても良いから、 極限値ｂの解は、
ｂ＝任意の値又はｂ＝２０である。
（極限ｂの解おわり）
（極限ｂの値が定まらないので、極限の定義には不備がある。）
《位相空間論の極限の定義に対する感想１》
関数ｆ(x) の変数ｘがｘ＝ａの点に限りなく近づくとｆ(x) がある実数ｂに収束する極限値ｂが存在するということを、以下のように定義を修正する方が適切だと考える。
十分小さい正の実数εを考え、次に正の実数δを考える。
すなわち、ある実数ｂに対して、どのように小さい値のεに対しても、
ある値の実数δによって、定義域の集合Ａの要素のｘに対して、
０＜|ｘ－ａ|＜δ， ｘ≠ａ，
を満足するａ以外のｘが存在し（点ａが集合Ａの集積点であること）、この式を満足する全てのｘで、
|ｆ(x)－ｂ|＜ε
となるような実数ｂが存在するならば（またそうなる場合に限って）、ｆ(x)の極限が存在するものとし、その極限値をｂとする。
（位相空間論の極限の定義の修正のおわり）
と定義するならば、１点のみの関数には極限が存在しない。すなわち、１点のみの関数の極限が無意味になる不具合が無くなる。
なぜそのように定義しないのかが疑問である。
《位相空間論に対する感想２》
古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義や連続性の定義を、孤立点を含む定義域Ａやあらゆる形の定義域Ａに対して使える生きた要素にして新しい数学分野（位相空間論）を構築しようとする開拓者は、以下のように考えたのではないかと推測する。
「従来の古典的（基礎的）微分積分学の極限の定義や連続性の定義を忠実に真似した道具を使うよりは、いっそのこと、位相空間論で使いやすい都合の良い形にそれらの定義を作り変えてしまって、それらを土台にして理論を作った方が良い。（例えば「孤立点」の存在が極限の定義を無意味にすることがないように、「孤立点」はあらかじめ「連続な点」であると定義し、孤立点の極限はｆ(a) であると決めてしまって、「孤立点」については、それ以外の定義を排除しよう）」
《位相空間論に係わる関数の連続性の定義》
位相空間論に係わる微分積分学による関数の連続性の定義は、正確には、式(10)：
によっては定義されていない。
εδ論法（イプシロンデルタ論法）で関数の（値域の）連続性を、極限の概念を経由せずに、以下のように定義する。
関数ｆ(x) の定義域をＡとする。（Ａは有理数のみでも良い）
ある点ａ∊Aにおいて、（点ａは孤立点であっても良い）
『どのようなε>0に対しても、
あるδ>0において、
全てのx∊Aに対して、
|x-a|＜δ
となるならば、
|f(x)-f(a)|＜ε
となる。』
という命題が成り立つならば、
ｆ(x)は点ａで「（値域の）連続性」がある。
という定義である。
（関数の連続性の定義おわり）
「関数 f(x) が、その関数ｆ(x) の定義域Ａのすべての x =ａの値で位相空間論に係わる連続性があるとき、 f(x) は位相空間論に係わる連続関数である」
（この位相空間論に係わる連続性の定義には、孤立点に連続性があるという定義が含まれている。孤立点の極限は、連続性の定義を経由して定義する。）これにより関数の極限の定義が完全になる。関数の連続性がある点ａには、必ず関数の極限値が存在することになる。逆に、ある点ｋに関数の極限値が存在しなければ、その点ｋで関数は連続ではない。
この関数の連続性の定義は、正確には、位相空間論の連続写像の定義の基礎となる定義であって、位相空間論の連続写像の定義そのものではない。実数R全体での点ａでのこの連続性の定義が満足される関数ならば、実数全体での位相空間の連続写像と同値になる。
（連続の定義おわり）
このように、関数ｆ(x) の点ａでの連続性（値域の連続性と呼んだ方が良い）を定義している。
極限の存在条件よりも条件が厳しくなったのがこの連続性の条件である。（しかし、本物の連続性の条件にするには、点ａが定義域Ａの要素の集積点であり、更に、点ａの近傍の定義域Ａが区間であるという極限の定義の役割の第１の条件が不足している）
リンク：
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連続性公理と実数を定義する3つの方法 （初学者向けの話）
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