2017年7月25日火曜日

逆関数や合成関数の概念



高校1年に2次関数を学びましたが、
高校2年になると、3次関数や4次関数や分数関数を学び、
三角関数も学びました。

そして、指数関数や対数関数も学びます。

高校2年では、このように多くの関数を学びますが、
以下の関数の概念も覚えましょう。

「微分積分学入門」(著者:横田 壽)の18ページ近くに、関数の定義が書いてあります。
 (注:横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載していたWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。

(大学1年生向けの参考書の「やさしく学べる微分積分」(石村園子) ¥2000円 も、間違いが無く、高校2年生が初めて関数及び微分積分を勉強するのにも、適切な参考書だと思います)

1.1 関数の定義(definition of function)
 2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます.ここでは,実数の集合を考えます.
Rを実数全体の集合とします.
ある実数の集合D に属する各数x に対して,実数y が1 つ定まるような規則f を、
D からR への1 価関数(single-valued function),または、1変数(の1価)関数(←「やさしく学べる微分積分」2ページ)、または単に関数といいます.

「微分積分学入門」(著者:横田 壽)(又は、「やさしく学べる微分積分」(石村園子))は、とても明瞭(かつ、正確)に数学の関数・極限・微分・積分を説明してくれていますので、
高校2年生でも、関数や微分・積分がよくわかるようになると思います。

(1)逆関数:
逆関数という関数の概念があります。

「微分積分学入門」(著者:横田 壽)の21ページ近くに、逆関数の定義があります。

逆関数(inverse functions)
関数f の定義域D(f) 内の任意の2 数x1, x2 に対して,
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
が成り立つとき, f は1 対1 の関数(one-to-one function) であるといいます.
(f は(写像として)単射である (injective) とも言います。)


ここで、
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) とは,
x1 とx2 が異なるならば, f(x1) とf(x2) は異なることを意味しています.
この場合,値域R(f) の各数y に対して, y = f(x) であるようなx を1 つ定めるような規則が考えられます(なぜでしょうか).
これをf の逆関数(inverse function)とよび,
f には逆関数が存在するといいます.


y=f(x)
という関数があれば、
関数の値が減少から増加に転ずる点がある場合は、
その点で関数を2つに分割する必要があります。
そうしないと、
その点の前後で複数のxに同じyが対応することになってしまうからです。
複数のxに同じyが対応してしまうと、その関数には、以下で説明する逆関数が作れなくなってしまうので都合が悪いからです。

そのようにて、1対1対応の関数として定義した関数には「逆関数」が存在します。
x=f -1(y)
という逆関数があります。

逆関数は、変数xとyの立場を入れ替えることで作れます。
その逆関数の形を以下の式3のグラフで描くことができます。
式3が逆関数の形をあらわしています。

「ある関数 f に対して逆関数 f-1 が存在する」という表現はくせものです。
なぜなら、ある関数 y=f(x) のグラフがあれば、そのグラフのxとyを入れ替えたグラフを考えて、その入れ替えたグラフから、以下のようにして、逆関数 f-1 のグラフを考え出すことができるからです。
(1)逆関数 f-1 のグラフが1つの変数に対して2つの値を持つ場合には、グラフを分割して、分割された逆関数 f-1 のグラフでは、1つの変数に対して1つの値しか持たないようにする。そして、その元の関数 y=f(x) のグラフもそれに対応して分割する。
(2) そうすれば、分割された元の関数 y=f(x) が、分割された逆関数 f-1 のグラフに対応する逆関数 f-1 を持つ。
(3)そうすれば、どの関数も逆関数を持つことにできるのではないか?
という疑問が生まれるうさんくささがあるからです。

しかし、以下の事例のように、グラフを分割する操作では対応し切れず、本当に逆関数が存在し得ない場合もあります。

下の図のグラフのように、xの値が少し変わっても t の値が同じ値になる関数の部分では、
複数のxに1つの t が対応します。

その関数の部分には逆関数が存在出来ません。
無理に逆関数のグラフを作ろうとすると、そのグラフは下の図のように、垂直に立つグラフになってしまい、1つの変数 t に対して複数の値が与えられることになってしまうからです。
1つの変数に1つの値を対応させる関数のグラフにすると下の図のように、形が変わってしまいます。
この場合には、絶対に逆関数が存在し得ないグラフの部分(関数の一部分)がありました。

 一方で、以下のグラフの不連続関数f(x)であっても逆関数を持ちます。
 以下のグラフの不連続関数f(x)も1つの一体の関数として逆関数を持ちます。
 以下のグラフABCDで表す不連続関数f(x)は、所定の点で2つの関数に分割することで、分割されたそれぞれの関数が逆関数を持つようにできます。
そのために関数を分割する点は、点Bで関数を分割しても良いし点Cで関数を分割しても良いです。

(2)合成関数:
 合成関数という関数の概念があります。

「微分積分学入門」(著者:横田 壽)の21ページ近くに、合成関数の定義が書いてあります。 

合成関数(composite functions)
 関数どうしのつなぎ方として,
合成法則(composition) とよばれる方法について考えます.
まず, f(x) とg(x)2 つの関数を用意します.
次に任意のx に対して規則g を用いて1 つの実数g(x) を取り出します.
もしこのg(x) が関数f(x) の定義域に入っていれば,
規則f を用いて1 つの実数f(g(x)) を取り出すことができるでしょう.
ところで,この実数f(g(x)) は何なのでしょうか.
もしg(x) の値域がf(x) の定義域に含まれていれば,
g(x) の定義域内の各数x に対して, f(g(x)) を作ることができます.
これはg(x) の定義域内の各数x に対し,ただ1 つの実数f(g(x)) を定める規則と考えられます.
よってこの規則をf とg の合成関数(composite function) といい,
f ◦ g で表わすと(f ◦ g)(x) = f(g(x)) となります.


以下に合成関数の例をあげます。
 上の式はxの関数hを合成関数の形で表現しました。
関数hは、gというパラメータ関数を使って、式1と式2とであらわした、結局は式3の形のxの関数です。
hは、式1の形と式3の形との2つの形の式であらわすことができます。
 この関数hは、以下の形の合成関数の形であらわすこともできます。
 式3の形の関数hは、sというパラメータ関数を使って、式4と式5であらわすことができます。
hは、式4の形でもあらわせます。
パラメータ関数を自由に選ぶことで式3のxの関数hは、式1や式4の形やその他の形の無限に多くの形であらわすことができます。

【逆関数定理】
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
が成り立ち, f が1 対1 の関数(one-to-one function) であるとき、以下の図の1対1の写像の関係があります。

1対1の写像をする関数 f には逆関数が定義できます。
そこで、関数 f で1対1の写像をした後で、逆関数で定義される1対1の写像をする、合成関数の写像をすれば、以下の図の様に元に戻ります。
また、逆写像の変数yの定義域の変数yに対して逆写像で1対1の写像をした後で、関数 f で定義される1対1の写像をする、合成関数の写像をすれば、以下の図の様に元に戻ります。
これは、逆関数定理と呼ばれています。

(陰関数の定義)
「微分積分学入門」(著者:横田 壽)の192ページに、陰関数の定義が書いてあります。
 (注:横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載していたWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。

6.8 陰関数(implicit functions)
 方程式3x+2y +1 = 0 から,

x の関数としてのy、
つまりy = −(1 + 3x)/2 を考えることができます.
 

 一般に2 変数関数 f(x, y) に対して,1 変数関数 y = g(x) が常に f(x, g(x)) = 0 を満たすとき,
y = g(x) を、

方程式 f(x, y) = 0 から定まる陰関数(implicit function) といいます.

方程式 f(x, y) = 0 から定まる陰関数 y = g(x) を求めることは, f(x, y) = 0 をy について解くことと同じです.


(補足1)
円の方程式は、
f(x, y) ≡+yー1=0
ですが、
この方程式から求める、
f(x, g(x)) = 0 を満たす1 変数関数 y = g(x) が、
この円の方程式から定まる陰関数です。

円の方程式自体は、方程式なのであって、それ自体は陰関数とは呼ばないのです。

(補足2) 
 方程式3x+2y +1 = 0 から,
変数変換して、
変数t≡3x+2y の関数としてのy、
すなわち、t=-1を考えることができます。
この方程式は、特定のtの値に関するyの値が無限に多くあることをあらわす直線の式です。

この直線の式は、ty-座標平面において、傾きが無限大の直線をあらわしています。
この直線の式をあらわす関数は、もはや、tの1価関数ではありません。
なぜなら、t=-1に対する、yの値が2個以上あるからです。

このように、1価関数であるか否かということは、観察する座標系をどう定めるかによって変わる関係なのです。
また、関数とは、座標系を変える事によって変わる、座標系の「変数」を与える座標軸の座標値と、「関数値」を与える座標軸の座標値との関係なのです。

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3 件のコメント:

  1. 定義域ごとで関数が
    異なるものを
    何 関数と呼ぶのでしょうか?

    どうやって検索すれば
    そういうのがでてくるのか
    知りたいのです。

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    1. 個別の定義域内の個別の関数同士を定義域の接続部分でつないで1つの関数にした関数の名前があるかというご質問と思います。
      私の知る限りでは、特に、~~関数と名付けた言い方の規定は無かったと思います。

      「個別関数を接続した関数」とか、
      「個別関数をつないだ関数」とか呼べば良いと思います。
      その関数とは別に定義されている「合成関数」と言うと、別の意味を持ってしまうので、「合成関数」とは呼ばないようにして欲しいと思います。

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    2. どういう検索をすれば良いかですが、、、
      関数を定義域の接続部分で特に滑らかにつなぐ特別な繋ぎ方として、
      「解析接続」
      と言っていますので、
      「接続」とか「つなぐ」と言えば良いと思います。
      検索するキーワードは「解析接続」です。

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