微分積分の難関大学の入試問題

以下の、
京都大学の微分積分の入試問題の解説が参考になると思う。

京都大学 文系 2014年度 第2問
【問題】
t を実数とする。 y=x³−x
のグラフ C へ点 P(1,t) から接線を引く。
(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような t の範囲を求めよ。
(2) t が(1)で求めた範囲を動くとき、 P(1,t) から C へ引いた接線と C で囲まれた部分の面積を S(t) とする。
S(t) の取りうる値の範囲を求めよ。

 

(1)の解き方の考え方：

P(1,t)を通る式

y-t=k(x-1),  ①

与えられた３次関数にx=uで接する式

k=3u^2-1,　②

u^3-u-t=k(u-1),　③

式②と③を連立して考え始めると良いと思う。

先ずは手を動かして考える。

②を③に代入してｋを消去してみる。

u^3-u-t=(3u^2-1)(u-1),

uに関する３次式が得られることがわかる。

u^3-u-t=3u^3-u-3u^2+1,

0=2u^3-3u^2+1+t,　④

式④の実数解が３つあれば、接点が３つあることを意味することになると考える。

式④の実数解がただ１つのみあれば接点が１つのみあるだろうと考え、計算の見通しを立てる。

式④のグラフがどのような形をしているかを把握して計算の見通しを良くしようと考える。

式④の右辺をf(u)とおいてみる。

f'(u)=6u^2-6u=6u(u-1),

を考える。

f(u)のグラフの傾きは、

0<u<1, では負になり、その外側に領域では正であり、

境界点では傾きが０となる、

蛇行しているグラフになると把握できた。

ここまで解析できたら、(1)は解けそうである。

「なかけんの数学ノート」（ここをクリックした先）にも、この問題の解説がある。その解説も参考になると思う。

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ベクトルａに直交するベクトルの作り方

以下の図に、ベクトルａを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖを作る方法を考えます。

上図のように、ベクトルのｘ成分とｙ成分を入れ替えて、片方の成分をマイナス１倍にすれば、元のベクトルに直交するベクトルが作れます。

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転したベクトルｆ_ｖは－ａになる。

このベクトルａ_ｖを、ベクトルａに直交しないベクトルｂとｃであらわせる以下の公式があります。

このベクトルがベクトａに直交する事は、以下の内積の計算で確認できます。

 また、ベクトルａ_ｖを、ベクトルｂとｃであらわせる以下の公式も成り立つ。

係数ｋは以下の計算で求められる。

この式において、左辺の、ベクトルａを９０°回転したベクトルを表わす式の右辺に、ベクトルｃを９０°回転したベクトルが含まれているので、求めるべき９０°回転したベクトルを式の右辺に含んでいるので、９０°回転したベクトルを求める役に立たない式のように見えるかもいるかもしれません。しかし、この式の右辺にある、ベクトルｃを９０°回転したベクトルとベクトルｂの内積は下図のように、ベクトルｂとベクトルｃで囲まれる三角形の面積Ｓの２倍という普遍的な定数を表す式です。その三角形の面積Ｓは下図の式のように、他の形で表すこともできる普遍的な定数です。上の式は、その三角形の面積Ｓを右辺に使った式なので計算の役にたちます。


上記の式において、特に、そのベクトルｃがベクトルａに等しい特別な場合は、上記の式は以下の式になる。

根号を含む上記の式は、ベクトルａとベクトルｂの張る三角形の面積Ｓの符号が正の場合の式です。面積Ｓが負の場合は、根号の前にマイナス符号が付きます。

以下の式は、ベクトルｂのベクトルａへの垂直ベクトルの公式である。


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三角形の垂心の足を結ぶ線の方向

外心Ｏを原点にしたベクトルの問題

【問１】
以下の図で、三角形の頂点A及びCから対辺に下した、垂心Ｐの足DとEを結ぶ線と、頂点Bと外心Oを結ぶ線が垂直であること、すなわち、
DE⊥OB
である事を証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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複素数平面のグラフの変換には媒介変数を使うべし

【共役複素数を使ってグラフを解析する方法に関する本質的な問題点】
　共役複素数を使ってグラフを表現する方法では、以下の双曲線のグラフを変換した場合のグラフの形がどういう形になるかを解析することができません。

　要するに、グラフを複素数ｚとその共役な複素数で表した場合、そのグラフの形が理解できるのは、答えのグラフが、直線か円かの、よく知られた形のみに限定されます。
　自分の知らないグラフに対しては新しい情報を得ることができないという、有用性が限定された手法です。

【複素数平面のグラフの変換には媒介変数を使うべし】
　そのため、複素数平面の変換には、この様に制約されないため、媒介変数を使ってグラフを変換するべきです。 

双曲線の座標ｚは、媒介変数θを使って以下の式で表せます。

（式２で双曲線があらわせます）

この複素数ｚを
ω＝１／ｚ
で変換したグラフは、以下の式で表せます。

 （変換結果の式）
cos(2θ)が負になるθの値では、グラフがあらわせませんが、その場合には双曲線でもグラフが表せていませんでしたので、双曲線と事情が同じです。

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複素数の分解の公式と、合成の公式

【課題】
　ベクトルの分解の公式と合成の公式に対応して、複素数平面の複素数の分解の公式と合成の公式が考えられます。

【ベクトルの分解の公式】
　ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖを加えて考えると、以下の図の関係がある。

ベクトルＯＺは、上図の式、又は、以下の式で、ベクトルａとｂであらわせる。

この式がベクトルの分解の公式である。

【図形で説明】
ベクトルの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。

この、ベクトルの分解の公式に対応して、複素数平面の複素数の分解の公式が以下の式であらわせる。
【複素数の分解の公式】

 この複素数の分解の公式は、以下の式の変形によって証明できる。

 （証明おわり）

【複素数の合成の公式】
以下の形の式の複素数があれば、それは複素数Zに合成できる。

【証明開始】
この式の左辺が以下のように変形できる。

 （証明おわり）

リンク：
複素数平面のベクトル方程式（１）の解答
２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理
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三角形の高さｈの公式の証明の簡単さの差

【三角形の高さｈの公式】以下の公式の証明を考える。

この図の上記の式が成り立つ。

【証明１】先ず、三角関数を使って証明する。

（証明おわり）

【証明２】ベクトルを使って証明する。

（証明おわり）
この証明の簡単さの差はどこから来たのだろうか。
それは、以下のように証明する事でわかる。
【証明３】

（証明おわり）
　これは、証明というよりも、ベクトルｃをあらわす式そのものが、公式の本質を含んでいると言う方が正確な状況をあらわしている。

（公式の位置付け）
　この公式は、ベクトルａとｂとｃが分かっている場合に外接円の半径が分からないでも、三角形の高さｈを求める公式として使える。
　そして、他の公式から、高さｈは、
２ｈＲ＝|c|・|b| 
という事も分かるので、
両公式を使う事で外接円の半径Ｒも計算できる。 
　ただし、外接円の長さＲを求めるだけならば、
外心の辺ＢＣ上の高さｍが分かった時点で、
辺ＢＣ／２の２乗とｍの２乗の和がＲの２乗になる事から求められるという他の計算の道もある。 

【ベクトルａが任意のベクトルの場合】
この公式のベクトルａが、

の場合も含む任意のベクトルの場合、
この公式は以下の形の式になる。

（ここで、ベクトルａvは、ベクトルａを左回りに９０°回転させたベクトルである。）

　この式は、座標軸をベクトルａとベクトルａv の座標系に変えた場合の、新座標系で見たベクトルの成分で計算する、ベクトルの内積の公式をあらわしている。
　座標系の回転変換は、ベクトルの得意技です。回転変換に係る計算をする場合は、三角関数の計算よりも、ベクトルの計算の方が簡単になります。

【練習しておこう】
また、この公式の変形として、
以下の左辺の式があらわれたら、直ぐに右辺の式を思い付く練習もしておいてください。

ベクトルａが、

の場合も含む任意のベクトルの場合、

になります。すなわち、ベクトルｃの、ベクトルａに垂直な高さと、ベクトルｂの、ベクトルａに垂直な高さとの積になります。

この式は、
「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす」のページの以下の式にベクトルｂを内積した式です。
そのため以下の公式を先に覚えましょう。

また、以下の式については：

この式の本質は、
「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす」のページの以下の式です。
そのため以下の公式を先に覚えましょう。

【三角形の高さベクトルｈの公式】
また、以下の図の三角形での以下の公式を覚えましょう。

三角形の高さベクトルＤＡ＝ｈを表す以下の公式が成り立つ。

（高さベクトルの公式おわり） 

なお、三角形の辺のベクトルを以下の図のように定義すれば、三角形の面積Sに係わる以下の公式が成り立つ。

すなわち、三角形の辺のベクトルa,b,cとそれを９０°回転したベクトルａv, ｂv, ｃvの内積の上の式が等しい。それは、三角形の面積の２倍になる。

【三角形の垂線の足までのベクトルの公式】
また、三角形の高さベクトル（垂線）の足までのベクトルＢＤを表す以下の公式が成り立つ。

（垂線の足までのベクトルの公式おわり）

逆に、この垂線の足までのベクトルの公式を使うと以下の公式が成り立つ。

（高さベクトルｈをあらわす別の公式も得られた）

　また、ベクトルＢＡ＝ｃと、ベクトルＣＡ＝ｂを使って高さベクトルを表すと、以下の公式になる。


リンク：
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三角形の高さと外接円の半径の関係
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す

三角形の高さベクトルｈの公式

このページの構成
▽問題１
▽ベクトルｂに垂直なベクトルとベクトルｃの内積
▽ベクトルｂとベクトルｃの内積
▽式の展開に同期させた図形の変換
▽三角形の高さベクトルｈの公式
▽三角形の高さベクトル
▽線対称な点の公式
▽高さベクトルhを表す２つの式
▽三角形の高さｈの公式

【問題１】
以下の図の、高さｈの三角形ABCについて、
点Oを中心にする外接円の半径がRの場合に、
公式：
ｂｃ＝２Rｈ
を、
ベクトル計算で証明する。
以下の図では、
ベクトルＯＡ＝ベクトルＡ，
ベクトルＯＢ＝ベクトルＢ，
ベクトルＯＣ＝ベクトルＣ，
と表した。

この問題の、以下の解答の一部は、ここをクリックした先の問題の解答でもあります。

【注意】
　この公式：
 ｂｃ＝２ｈR
は、ベクトル計算で証明するような公式では無く、
逆に、この公式を前提にして、ベクトルの種々の計算をするべき公式です。
　しかし、ここでは、ベクトル計算の練習用に、あえて、この公式をベクトル計算で導き出してみます。

【解答】
　この問題を解くために、下図のように、２つのベクトルｂとｃがある場合に、そのベクトルｃを９０°回転したベクトルとベクトルｂの内積がベクトルｂとベクトルｃで囲まれる三角形の面積Ｓの２倍という普遍的な定数を表す式であることを利用する。


（１）先ず、問題１の図において：

　ベクトルｂに垂直なベクトルｂ_vとベクトルｃの内積を、以下の式で、三角形の高さベクトルｈを導入して、計算する。
（以下の式でSは三角形ABCの面積をあらわす。）

この計算結果は、
２Ｓ＝２ｈＲ・sinA
を意味する。
２Ｓ＝ａｂ・sinA
と組み合わせると、
２ｈＲ＝ａｂ
が導ける。

　しかし、その解き方では、ベクトルBOが、垂直ベクトルｈと角度Aを成すという、円周角の定理に関連する定理を使っています。

　以下では、その角度Aに関する定理が分からない（証明されていない）事を前提にして、
以下の様にして、この問題を解いてみます。

（２）ベクトルｂとベクトルｃの内積
　次に、ベクトルｂとベクトルｃの内積を以下の式で計算する。
先ず、ひし形の対角線の直交の公式により、以下の式が成り立つ事を利用する。

以下の様にベクトルｂとベクトルｃの内積を、三角形の高さベクトルｈを導入して、計算する。

（３）
　以上(1)と(2)で得た式を、
《２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理》
に代入する以下の計算をする。

（証明おわり）

【式の展開に同期させた図形の変換】
（１）
　ベクトルｂに垂直なベクトルとベクトルｃの内積の式の変形計算は、以下の図形でのベクトルの変換の想像と同期させて欲しい。

（２）
　また、ベクトルｂとベクトルｃの内積の式の変形計算は、以下の図形でのベクトルの変換の想像と同期させて欲しい。

以上の図形でのベクトルの変換の想像に同期させて、ベクトルの式の変換の計算をする事が望ましい。
　図形でのベクトルの変換の方が、単なるベクトルの式の変換の計算よりも解を得る見通しが良いからです。
　自分の頭の中では、図形でのベクトルの変換を思い描く。
そのように、自分の頭の中では、図形の変換を想像し、解答用紙には、ベクトルの式の変形の計算を記載すれば良いと考えます。
こうして得た結果を使って、
最後の式：

を記載して、解答用紙の証明を終了すれば良い
と考えます。

頭の中で思い描く図形のベクトルの変換は解答用紙に記載できませんが、
常に、以上の図形でのベクトルの変換を頭の中で思い描く想像力を働かせて欲しいと思います。

【三角形の高さベクトルｈの公式】
また、以下の式も、三角形の高さベクトルｈの公式として覚えて欲しい。

以上の２つの式から直ぐに導き出される以下の公式も、
ついでに覚えておくと役に立つかもしれない。

　この様な式を証明せよという問題が出題されても、この様にあり得なさそうであって、どこから手をつけたらよいか分からず途方にくれるような問題が出題されても、大丈夫だと思えるようになる。
そう思えれば、受験のプレッシャーから開放される、おまじないになるかもしれない。

【三角形OABの高さベクトルh】

三角形OABの高さベクトル h は、上の式であらわせます。
　以下の図に示すように、高さベクトル h は直線の方程式の係数であらわされる法線ベクトルに平行です。

下図は、直線に関して点Dに線対称な点Eの座標のベクトルの公式をあらわす。

直線上の２点を点Ｃと点Ｚとすると、


先の式であらわされる三角形の高さベクトル h の式を少し変形してみます。

ここで、この式を、次に説明するように、ベクトルｂとｃだけであらわそうとすると式が複雑になります。
三角形の、ベクトルａに垂直な高さベクトルｈをあらわすには、
ベクトルａとそれを９０°回転させたベクトルを使った最初の式の方が良いと考えます。

（補足）
　高さベクトルｈを表す公式は、以上で示したように、１つの形には定まらない。
式が１つの形には定まらないことが、式のバラエティをとても大きくするので、計算が複雑になり得る（計算の森の中で迷子になり得る）ので注意が必要です。

【高さベクトルｈを表す２つの式】
以下の図の三角形を考える。

三角形の高さベクトルＤＡ＝ｈを表す以下の公式が成り立つ。
ここで、ａv は、ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルをあらわし、それはベクトルＰです。 
ａvと同様に、ｂvとｃvも、それぞれ、ベクトルｂとベクトルｃを反時計回りに９０度回転させたベクトルです。

なお、三角形の辺のベクトルを以下の図のように定義すれば、三角形の面積Sに係わる以下の公式が成り立つ。


（ベクトルｂとｃだけであらわす）
このベクトルＤＡを、ベクトルｂとｃ（そして、ベクトルａ＝ベクトルｃ－ベクトルｂ）を使って、以下の式で表す。

この様に、ベクトルｈ＝ベクトルＤＡを、ベクトルｂとｃであらわすこともできますが、式が複雑です。
また、この式を使ってベクトルＤＡの成分を計算する計算も複雑です。
ここで、この式を以下の式に変形してみます。


このベクトルａ_vは、ベクトルａを９０°回転させたベクトルです。

　この複雑な式も、先に示した簡単な式も、異なる観点から表した式であって、最終的な解をどの式が表すのが良いのか決められない、対等の価値を持つ式です。
　この様に、同じベクトルＤＡであっても、そのベクトルを表す観点の違いによって、異なる式であらわされます。
　また、その一方の式から他方の式へ変換する計算は簡単ではありません。 
　ベクトルＤＡが２つの式であらわされるので、以下の式が成り立つ。

【三角形の高さｈの公式】
以下の公式も覚えておくと便利かもしれない。

この図で、以下の公式が成り立つ。

【証明１】

（証明おわり）

【証明２】

（証明おわり）

 

《最後に一言》

以上では三角形の高さｈと外接円の半径Ｒが密接な関係があることを説明してきました。

　しかし、三角形の三辺の長さａ，ｂ，ｃが分かっているとき、三角形の高さｈ（三角形の面積Ｓ）や外接円の半径Ｒはどうやって求めるか。

それは、以下の公式（ヘロンの公式）で求められます。

 

Ｓ＝aｈ／２

であって、

Ｓ^２＝（１／１６）・（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａーｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）
 

ヘロンの公式は、ｈを求める公式：

ｈ^2＝(c{sin(B)})^2

^{=c^2－c^2{cos(B)}^2}

から導けます。

 

この公式は何度おぼえても忘れます。

この公式は以下の、外接円の半径Rを求める公式に変換されます。

（ａｂｃ／Ｒ）^２＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａーｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）

 

この変換は：

bc＝2Rh,

から、

abc ／(4R)＝ah／2＝S,

を導いて変換に使います。

 

この、三角形の外接円の半径Ｒを求める公式の方が覚えやすいかもしれません。

リンク：
高校数学の目次
三角形の高さと外接円の半径の関係
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す