三角形の内角の２等分線の長さの定理の式の覚え方

ベクトルの内積を使って、下図の三角形の長さa1，ａ２と頂角Ａの二等分線の長さｍの定理の式を簡単に覚えるようにしましょう。


（ベクトルａ１とａ２の内積が長さａ１とａ２の積です）
　この定理の式を覚えようとしても覚えられません（何度覚えても式を忘れます）。 定理の式が覚えられない対策として、この覚えられない式を速やかに導き出す方法を知ることで、式を覚えたのと同じ効果を得ましょう。
　そのため、以下のように定理の式を速やかに導出するようにしましょう。

（定理の式の導出おわり）
　これにより、長さａ１とａ２の積を長さｍと長さｂとｃで表す式が簡単に求められた。

　ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
　ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
　また、ベクトルにより三角形の内角の２等分線の長さの定理が覚え易くなります。そのため、ベクトルを学びましょう。

やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》
の９章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。

「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト：
「【期末対策】「ベクトル」を１週間でマスターしよう！玉名高校2年生必見！」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/
「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・Ｂ〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

　ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

　でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

　そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

　イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

　ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ（約130ページ）に分かれています。

　なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

　以上のように助言されていますが、
種々の定理を覚えるための「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの３５ページを読むだけで足りる。
７３７ページから７７２ページまで読めば良い。（１日で読めると思います）。

　別の方法でこの定理の式を導き出す手順も、以下の問題の解答例の解答パターンで覚えておきましょう。
【問題１】
　以下の三角形ＡＢＣの頂角Ａの内角の２等分線の長さＡＤ＝ｍを求めよ。


【解答】
　三角形の頂角Ａの２等分線が底辺ＢＣを分割する比の定理を使って、以下の図のように線分ＢＤと線分ＤＣの長さを求める。

　上図の、頂点の角度DAB＝θと角度DAC＝θが同じ値の２つの三角形ＡＢＤと三角形ＡＣＤに注目する。その２つの三角形の辺ＢＤと辺ＣＤの長さを５：３にする点Ｄは、辺ＢＣ上にある。
　そのため以下の、三角形ＡＢＤに対する余弦定理の式(1)と、三角形ＡCＤに対する余弦定理の式(2)を連立することで、点Ｄの位置を辺ＢＣ上に限定する。

この式(1)と(2)から以下の式(3)が得られる。
（以下の計算は、三角形の辺の長さが違っても同じ計算で、ひっ算の大きな数を計算せずに計算できる。そのため、計算パターンをそっくり覚えてしまいましょう）

式(3)を式(1)に代入してθを消去してｍだけの式にする。

（解答おわり）

《補足》
　以上の計算は、三角形の辺の長さ５＝ｃ，３＝ｂ，７＝ａ，８＝ｃ＋ｂに置き換えた計算で最後の形の式を得る計算手順をあらわす計算です。この計算パターンは、辺の長さａ，ｂ，ｃを使ってｍをあらわす定理を導き出す計算そのものです。この計算には、掛け算により大きな数を求める過程を経ないので計算が楽という特徴がある。この計算パターンでｍをあらわす定理が導き出せることを知っているので安心して、この楽なパターンの計算を開始できる。

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高校数学の目次

三角形の面積をベクトルで表す公式

　ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
　ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
　また、ベクトルにより三角形の面積が計算し易くなります。そのため、三角形の面積を計算するために、ベクトルを学びましょう。

（ベクトルの定義）
　数ベクトルとは，ざっくりいうと数を並べたものです。数を並べたものを「ベクトル」という一つのかたまりとして扱うことで，いろいろ便利なことがあるわけです。
　２次元のＸＹ座標平面での点Ａから点Ｂまでの(x,y)座標値の増分(Δx,Δy)がベクトルであり、３次元のＸＹＺ座標空間での点Ａから点Ｂまでの座標値の増分がベクトルです。それら、座標値の増分を表すベクトルは、点Ａから点Ｂまでの矢印であらわし、矢印の大きさがあり、（大きさが０で無い場合に限り）方向がある、という特徴を持っています。

やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》
の９章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。

「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト：
「【期末対策】「ベクトル」を１週間でマスターしよう！玉名高校2年生必見！」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/
「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・Ｂ〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

　ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

　でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

　そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

　イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

　ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ（約130ページ）に分かれています。

　なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

　以上のように助言されていますが、
三角形の面積の公式に使っている「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの３５ページを読むだけで足りる。
７３７ページから７７２ページまで読めば良い。その中で三角形の面積の公式も説明されている（１日で読めると思います）。

（ベクトルの合成と分解）
　ベクトルの合成と分解のコツは、「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」（この行をクリックした先のページ）に書きました。

「ベクトルAE＝点Aから点Eまで行く道」です。点Aをベクトルの始点と言い、点Eをベクトルの終点と言います。

ベクトルＡＥを、以下の式のように、実数の未知数ｔを使ってベクトルａとベクトルｃであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする。
①は、視線がベクトルａを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”＋”のまま。

　ベクトルＡＥのＡからの道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けてベクトルＡＥの展開式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

（ベクトルの内積の定義）
　「ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影」（この行をクリックした先のページ）に書きました。

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、

（ａ_１・ａ_１）＋（ａ_２・ａ_２）＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）
があり、
単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）
がある場合に、
ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積演算を、以下の式２で定義する。

その定義の結果、以下の式４が成り立つ。

この式のθは、ベクトルＰが単位ベクトルＡと成す角度です。
　ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、ベクトルＰの単位ベクトルＡの方向への正射影の長さをあらわします。

《三角形の面積をベクトルで表す公式》

上図は、「三角形の面積のベクトル・成分を用いた公式」のサイトから引用しました。


　また、以下の計算でも三角形の面積を求めることができます。



このように、三角形の面積Sを、ベクトルの内積を使った公式等の式で簡単に計算できます。

それ以外に、
「三角形の面積の公式」のサイトに、
三角形の辺の長さa,b,cを使って三角形の面積Ｓを表すヘロンの公式があります。


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やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》の９章「ベクトル」を読んで余弦定理を覚える

　ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
　ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
そのため、三角関数の余弦定理が出てきたら、先ず、ベクトルを、内積の概念まで学びましょう。

《ベクトルの定義》
下の図のようにＸＹ平面上に２点Ａ，Ｂがある。

今、動点ＰがＡからＢまで移動したとすると、この移動量は、
「X方向に＋３，Y方向に＋４」
である。これを、
「点Ｐは

だけ移動した。」
と書くことにし、ＡからＢまでの移動量を、

と表現できる。この点の座標の複数の成分の移動量の集合をベクトルＡＢと呼ぶ。また、もっと一般的には、複数の数の集合をベクトルと呼ぶ。
（ベクトルの定義おわり）

ベクトルは、合同な図形と似ていますが、以下の図のようにベクトルは回転させたら異なるベクトルになります。

　２次元のＸＹ座標平面での点Ａから点Ｂまでの(x,y)座標値（複数の成分を持つ）の増分(Δx,Δy)がベクトルであり、３次元のＸＹＺ座標空間での点Ａから点Ｂまでの座標値の増分がベクトルです。それら、座標値（複数の成分）の増分を表すベクトルは、点Ａから点Ｂまでの矢印であらわし、矢印の大きさがあり、（大きさが０で無い場合に限り）方向がある、という特徴を持っています。

（ベクトルに方向があるとは限らない）
　０ベクトル(0,0)には方向がありません。

やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》
の９章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。

「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト：
「【期末対策】「ベクトル」を１週間でマスターしよう！玉名高校2年生必見！」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/
「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学 〈数Ⅱ・Ｂ〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

　ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

　でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

　そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

　イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

　ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ（約130ページ）に分かれています。

　なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

　以上のように助言されていますが、
余弦定理を覚えるためには、
そのうちの３５ページを読むだけで足りる。
７３７ページから７７２ページまで読むだけで足りる（１日で読めると思います）。

そこまで読んだら、
「ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方」のページ（ここをクリック）
を読んで、余弦定理をベクトルの内積で導出して覚えてください。


（ベクトルの合成と分解）
　ベクトルの合成と分解のコツを以下に書きます。

「ベクトルAE＝点Aから点Eまで行く道」です。点Aをベクトルの始点と言い、点Eをベクトルの終点と言います。

ベクトルＡＥを、以下の式のように、実数の未知数ｔを使ってベクトルａとベクトルｃであらわす。

（ベクトルというのは始点と終点を持つ紐のようなものです。ベクトル足し算は、第１の紐の終点に第２の紐の始点を結んで１本の紐を作ることを意味します。）

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする。
①は、視線がベクトルａを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”＋”のまま。

　ベクトルＡＥのＡからの道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けてベクトルＡＥの展開式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

（ベクトルの内積の定義）
　ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、以下の図に示すように、ベクトルＰの単位ベクトルへの正射影の長さです。

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、

（ａ_１・ａ_１）＋（ａ_２・ａ_２）＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）
があり、
単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）
がある場合に、
ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積演算を、以下の式２で定義する。

その定義の結果、以下の式４が成り立つ。

この式のθは、ベクトルＰが単位ベクトルＡと成す角度です。
　ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、ベクトルＰの単位ベクトルＡの方向への正射影の長さをあらわします。

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因数分解のたすき掛けの方法

ページ内リンク
▷ｘの２乗の係数が１でない（例４の別解）
▷たすき掛けしないで自動的に計算する（例５の別解）
▷ｘの２乗の係数が１でない２次関数の因数分解

【問題１】 
以下の式を因数分解する：


この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。

上の図の右端の列の(３x)と(４x)を足すと、最初の式

のｘの１次の項（7x）になります。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。

（例１）以下のように因数分解します。

〘係数（定数）を積に分割するコツ（その１）〙２つの項の和を－１７にするのが目標。－１７が２の倍数ではないので和を求める各項は、両者が一緒に２の倍数にはならない。
そのため、２次式の定数（ー６０）を積に分割する際に、２の倍数と２の倍数との積にはしない。例えば、（－１０）×（６）という積に分割しない。（ー３０）×（２）という積に分割しない。

（例２）以下のように因数分解します。

〘係数（定数）を積に分割するコツ（その２）〙２つの項の和を９にするのが目標。９が３の倍数なので和を求める２つの項は、両者が一緒に３の倍数である。
そのため、２次式の定数（１８）を積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。

（例３）以下のように因数分解します。

２つの項の和を１５にするのが目標。１５が３の倍数なので和を求める２つの項は、両者が一緒に３の倍数である。
そのため、２次式の定数（１８）を積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。

〘積に分割した数を嚙み合わせるコツ〙この因数分解をする際に、かけて１８の定数になる組合せは３と６。かけて２になる係数の組合せは１と２。両者の嚙み合わせをチェックするとき、以下の図のような（嚙み合わせのたすき掛け位置の数同士に公約数がある）ものはチェックしないで良い。

もし、１つのカッコでくくられる２項に公約数がある場合には、因数分解をする前に、以下のように式を変形して公約数をくくり出した式を因数分解するようにしている。

公約数をくくり出した式を因数の積に分けた各因数の中の数には（既にくくり出された）公約数が無いから、噛み合わせのたすき掛けの位置の数同士には公約数が無いからである。

（例４）以下のように因数分解します。

２つの項の和を－６７にするのが目標。－６７が２の倍数ではないので和を求める２つの項は、両者が一緒に２の倍数にはならない。両者が一緒に３の倍数にもならない。
そのため、２次式の定数（１８０）を積に分割する際に、２の倍数同士の積にはしない。３の倍数同士の積にもしない。
１８０＝（－２０）×（－９），  
１８０＝（－４５）×（－４），
という２つの分割のみが有効である。

〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
　ｘの二乗の係数の６の積への分割については、
６＝（１）×（６）
６＝（２）×（３）
という２つの分割のみが有効である。
　係数６＝（２）×（３）という積の分割と、定数１８０＝（－２０）×（ー９）という積の分割を噛み合わせるときに、たすき掛けの位置の数同士に公約数が生じないように注意して嚙合わせる。
６＝（２）×（３）の順の積の分割に、１８０＝（－２０）×（－９）の順の積の分割を嚙み合わせるのが良い。
６＝（２）×（３）の順の積の分割に、１８０＝（－９）×（－２０）の順の積の分割を嚙み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の２や３が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。

《例４の、たすき掛けの手順の別解》
　例４の上記の表において、ｘの係数の－６７を足して求めるための上記の表の真ん中の２つ数、－４０と－２７との積は必ず、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(６×１８０)に等しい。

　そのため、上図の表のように、以下の手順で計算する。
（第１の処理）
　その積(６×１８０)を、＝(-40)×(-27)という積に分割して、足してー６７になる積の分割を求める。
－４０＋（－２７）＝ー６７
▷（ただし、足してー６７にする積の分割は、その和がー６７のときは、ともに２の倍数にもならず３の倍数にもならないので、積の分割の一方の数を２７の倍数にしてもう一方の数が３の倍数にならないようにして、数の選定作業を節約する）。
そのように積を分割した２つの数（ー４０）と（－２７）を、上図のたすき掛けの計算表の真ん中に書き込む。
（第２の処理）
　表の真ん中のその２つの数を、 ｘの２乗の係数６の因数と、定数項１８０の因数と、の積であらわす。
２つの数のうちの第１の数（－４０）の因数には、
ー４０＝２×（－２０）、
というように、ｘの２乗の係数（６）の因数２と、定数項（１８０）の因数（ー２０）を用いる。
２つの数のうちの第２の数（ー２７）の因数には、
ー２７＝３×（－９）
というように、ｘの２乗の係数（６）の残りの因数３と、定数項（１８０）の残りの因数（－９）を用いる。
その因数の嚙み合わせをたすき掛けして因数分解の式を完成させる。

（例４Ｂ）以下の式も同様にして、以下のように計算する。

ｘの２乗の係数の３と、定数項２との積(３×２＝６)を計算する。
（第１の処理）
　その積(６)を、＝(３)×(２)という積に分割して、足して、ｘの１乗の係数（５）になる積の分割を求める。
３＋２＝５
そのように積を分割した２つの数（３）と（２）を、上図のたすき掛けの計算表の真ん中に書き込む。
（第２の処理）
　表の真ん中のその２つの数を、 ｘの２乗の係数３の因数と、定数項２の因数と、の積であらわす。
２つの数のうちの第１の数の（３）の因数には、
３＝（３）×（１）、
というように、ｘの２乗の係数（３）の因数３と、定数項（２）の因数（１）を用いる。
２つの数のうちの第２の数（２）の因数には、
２＝（１）×（２）
というように、ｘの２乗の係数（２）の残りの因数１と、定数項（２）の残りの因数（２）を用いる。
その因数の嚙み合わせをたすき掛けして因数分解の式を完成させる。

（例５）以下のように因数分解します。

〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
係数（３ａ）＝（３）×（ａ）の順の積の分割に、定数（－２ａ）＝（２）×（－ａ）の順の積の分割を噛み合わせるのが良い。
係数（３ａ）＝（３）×（ａ）の順の積の分割に、定数（－２ａ）＝（－ａ）×（２）の順の積の分割を噛み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の（ａ）が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。

《例５の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する

　たすき掛けが考えにくい場合は、以下のように式を計算すれば良い。
　先ずｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式

を計算する。
次に、それを２つの式の積に分割する。
その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの式の積に分割する。

という２つの式の積に分割すれば、その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になる。
　その積への分割が見つかったら、分割した式をしっかり分けて
（ｘの１乗の項を２つに分けて） 以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

（例６）以下のように因数分解します。


（例７）以下のように因数分解します。

２つの項の和を８９にするのが目標。
項の和が８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、用いることができるのは：
かけて75になる組み合わせは、1と75、3と25の２つだけ、
かけて164になる組み合わせは、1と164、4と41の２つだけです。
その組合せの中から、２項の和がちょうど89になる組合せを選ぶだけです。

扱う数が大きな数というだけで、通常のたすき掛けの問題を解くのと同じようにして解けました。

《ｘの２乗の係数が１でない２次関数の因数分解》
《例７の別解》例４の別解と同様な解き方

ｘの２乗の係数の７５と、定数項（－１６４）との積を、２つの数の積に分解して、その２つの数の和がｘの係数の８９になるようにする。
▷積に分解した数の和が８９になるには、各数が一緒に２の倍数にはならない。各数が一緒に５の倍数にはならない。
そうなる数の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組しかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
この組合せが求められたので、７５の積への分割の２つの数と、（－１６４）の積への分割の２つの数と、を嚙合わせて１６４と（－７５）が得られるように各項の積の分割を定める。

《例７の別解（２）》たすき掛けしないで自動的に計算する

　先ずｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式

を計算する。
次に、それを２つの式の積に分割する。
その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの式の積に分割する。

という２つの式の積に分割すれば、その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になる。
　その積への分割が見つかったら、分割した式をしっかり分けて
（ｘの１乗の項を２つに分けて）以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

（例８）例４の別解と同様な因数分解方法

ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（－４）になるのが目標。
▷目標の（－４）が２の倍数なので、積に分解した２つの数の和が２の倍数の目標になるには、その２つの数が一緒に２の倍数になる。
　そうなる２つの数の組合せは、２と（－３０）、６と（－１０）、の２組しかない。そのうち、２つの数の和がちょうど（－４）になるのは、６と（－１０）の場合である。
　この２つの数（６と（－１０））が求められたので、
この２つの数を、ｘの２乗の係数の１２の因数と、定数項（－５）の因数と、の積であらわす。
すなわち、
６＝６×１、
とする式の右辺の６に、ｘの２乗の係数（１２）の因数６を用い、右辺の１に、定数項（－５）の因数１を用いる。
また、
ー１０＝２×（－５）
とする式の右辺の２に、ｘの２乗の係数（１２）の残りの因数２を用い、右辺の（－５）に、定数項（－５）の残りの因数（－５）を用いる。
そのように、それらの因数を分割して嚙合わせて目標の６と（－１０）を得る。

その因数の噛み合わせをたすき掛けして、
(６ｘ－５)(２ｘ＋１)
という因数分解の式が求まる。

《例８の別解（２）》たすき掛けしないで自動的に計算する

　先ずｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式

を計算する。
次に、それを２つの式の積に分割する。
その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの式の積に分割する。

という２つの式の積に分割すれば、その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になる。
　その積への分割が見つかったら、分割した式をしっかり分けて
（ｘの１乗の項を２つに分けて）以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

（例９）例４の別解と同様な因数分解方法

ｘに関する定数項（3(y-1)(y-2)）と、
ｘの２乗の項の係数の（２）との積（６(y-1)(y-2)）を計算する。
そして、その数を、２つの数の積に分解する。
その２つの数の和が、
（目標にする）、ｘの１次の項の係数（５ｙ－８）
になるようにする。

その２つの数は、
2(y-1)=2y-2と、
3(y-2)=3y-6と
が良い。
その２つの数の、
2(y-1)と、
3(y-2)と
を、
ｘの２乗の項の係数（２）の因数と、定数項（3(y-2)(y-1)）の因数と、
の積であらわす。

（１）すなわち、１つ目の数を：
2(y-1)＝２×(y-1)
という式で、ｘの２乗の項の係数（２）の因数（２）と、定数項（3(y-2)(y-1)）の因数(y-1)の積にする。
（２）また、２つ目の数を：
3(y-2)＝１×3(y-2)、
という式で、ｘの２乗の項の係数（２）の残りの因数（１）と、定数項（3(y-2)(y-1)）の残りの因数（3(y-2)）の積にする。
（３）その因数の嚙み合わせをたすき掛けして因数分解の式：
ｆ＝（２ｘ＋３（ｙ－２））（ｘ＋（ｙ－１））
を完成させる。

《例９の別解（２）》たすき掛けしないで自動的に計算する

　先ずｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式

を計算する。
次に、それを２つの式の積に分割する。
その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの式の積に分割する。

という２つの式の積に分割すれば、その２つの式の和が、ｘの１乗の項の係数になる。
　その積への分割が見つかったら、分割した式をしっかり分けて
（ｘの１乗の項を２つに分けて）以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。

こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。

（例１０）たすき掛けでは因数分解できない式の判定方法

ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（９６）との積の（９６）を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（３６）になるのが目標。
▷目標の（３６）が２の倍数なので、積に分解した２つの数の和が２の倍数の目標になるには、その２つの数が一緒に２の倍数になる必要がある。また、目標の（３６）が３の倍数なので、積に分解した２つの数の和が３の倍数になるには、その２つの数が一緒に３の倍数になる必要がある。
　しかし、（９６）を、２つの３の倍数の数の積に分解することが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
　この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。

（例４の因数分解の、平方完成による方法）



（例１１）以下の式の因数分解は、たすき掛けでは因数分解できない。そのため、この式を因数分解するには、根号を使った式に因数分解する必要がある。|a|≦1の場合には、以下の式に因数分解できる。


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