勉強しよう数学: 11月 2024

2024年11月18日月曜日

増減表の極意

〔増減表の初歩のページ〕
　増減表における、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合か、又は、ともに負である場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合や、負から正に移る場合には、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。

別の観点から言えば：
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が重解でない場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が２重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が３重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が４重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。

上記の増減表は、４回微分した導関数のグラフから１回微分した導関数のグラフと関数ｆ(x) のグラフを重ねて表示したようなものです。

《ｓ(a)＝０の単調増加関数を外していく増減表》
　関数ｆ(x) を微分していく増減表に類似した増減表として、以下の図の増減表を考えることもできる。すなわち、ｆ(x) から、ｓ(a)＝０であってｘ＝ａの前後で単調増加する関数ｓ(x) を外していく増減表も、関数ｆ(x) の形を微分して変える増減表と同様な効果がある。関数ｓ(x) を外していく増減表を使っても、関数を微分していく増減表と同様に、ｘ＝ａの前後の関数の概形を求めることができる。

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やさしい微分積分
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2024年11月15日金曜日

関数のグラフの形をあらわす増減表

やさしい微分積分
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《関数のグラフの形と微分係数》
　区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) の形を考える。
関数の微分係数によりグラフの傾きが求められる。グラフの各箇所の傾きが分かれば、各箇所の傾きからグラフの形が分かる。
　例えば、ｙ＝ｆ(x) ＝ｘ^２という放物線のグラフでは：

このグラフは、
ｘ＝０の右側のｘではグラフが右上がりで、
ｘ＝０の左側のｘでは右下がりのグラフであることは良く知っている。
　このことは、微分を利用すれば簡単にわかる。
微分を利用すれば、ｘ＝０の右側のｘの導関数ｆ’(x) ＝２ｘが正なので、グラフが右上がりであることがわかる。
また、ｘ＝０の左側のｘの導関数ｆ’(x) ＝２ｘが負なので、グラフが右下がりであることがわかる。
更に、ｘ＝０の位置でのｘの導関数ｆ’(0) ＝０であるので、ｘ＝０の点ではグラフが水平方向に進むことがわかる。
　そのように、微分を利用してグラフの傾きｙ’＝ｆ’(x) を求めることでグラフの概形を知ることができる。
　微分を利用してグラフの導関数ｙ’＝ｆ’(x) からグラフの概形を求める方法として、以下の図に示す増減表でグラフをあらわす。

《増減表を書く手順》
　先ず、関数ｙ＝ｆ(x) を微分した導関数ｆ’(x) を求める。
そして、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの値を求める。
　ｆ’(x) ＝０となるｘの値を増減表の列にする。その列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に０を書き、ｙ＝ｆ(x) の欄に、ｆ(x) の値を書く。
　そのｘの値の前後の値のｘのｆ’(x) の値が正（＋）か負（－）かを調べて、そのｘの値の列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に書き込む。
すなわち、ｆ’(x) の値が＋ならば、ｙ＝ｆ(x) の欄に右上がりの矢印を書き込み、ｆ’(x) の値が－ならば、ｙ＝ｆ(x) の欄に右下がりの矢印を書き込む。

増減表は、上図の表のように、関数ｙ＝ｆ(x) の独立変数ｘの値と、従属変数ｙの値と、関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の値とを表にしてグラフの概形をあらわす。
　所定区間でｆ’(x) ＞０ならば、その区間でｆ(x) は単調に増加。
　所定区間でｆ’(x) ＜０ならば、その区間でｆ(x) は単調に減少。

【問１】
　関数ｆ(x)＝ｘ²－6ｘの増減表をつくりなさい。

【解１】
　先ず、関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x)＝２ｘー６を求める。
ｆ’(x)＝０となるｘの値は３である。
そのｘの値＝３を増減表の列にする。
ｘ＝３の列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に０を書き、ｙ＝ｆ(x) の欄に、ｆ(３) の値の－９を書く。

【解２】
　ｆ(x)＝０になるｘ＝０とｘ＝６の点の列を加えて以下の増減表を書いても良い。

【問２】
　関数f(x)=－2x³+6xの増減表をつくりなさい。

【解１】

【解２】
　ｆ(x)＝０になるｘ＝０の点の列を加えて以下の増減表を書いても良い。

《有限の区間で定義された関数ｆ(x) の増減表》
　関数ｙ＝ｆ(x) が有限の区間で定義されている場合の関数の増減表は、関数ｙが区間の端では微分できないことに注意して以下の図のように書く。以下の図は、関数ｙ＝ｆ(x) の定義域が閉区間 [-2,2] の場合の増減表をあらわす。

上図の増減表で、区間の端の関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の欄は、上図のように区間の端の近傍でのｙ’の値をカッコ()付きで書くか、その欄を空欄にするか、あるいはその欄に斜線を引いてあらわす。

《関数の極大・極小》
　上図の関数ｆ(x) のグラフの点（－１，２）では、関数の値が増加から減少に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ａを堺目として増加から減少に移るとき、
　ｆ(x) はｘ＝ａで極大である、
と言い、ｆ(a) を極大値と呼ぶ。
上図のグラフの点（１，－２）では、関数の値が減少から増加に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ｂを堺目として減少から増加に移るとき、
　ｆ(x) はｘ＝ｂで極小である、
と言い、ｆ(b) を極小値と呼ぶ。
極大値と極小値をまとめて極値と呼ぶ。

　上図の関数のグラフでは、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの点で関数が極値を持った。しかし、以下の関数ｆ(x) の例に示すように、ｆ’(a)＝０となるｘ＝ａなるｘの点で関数が極値を持つとは限らない。

関数ｆ(x) に関して次のことが言える。
関数ｆ(x) がｘ＝ａで極値を取るならばｆ’(a)＝０である。
ｆ’(a) ＝０であっても、ｘ＝ａで極値を取るとは限らない。
　ｆ’(a) ＝０であっても：
　　ｘ＝ａの前後でｆ’(x) ＞０ならば、ｘ＝ａの前後でｆ(x) は単調に増加。
　　ｘ＝ａの前後でｆ’(x) ＜０ならば、ｘ＝ａの前後でｆ(x) は単調に減少。

確実に極値を取ると言えるのは、以下の場合である。

　すなわち、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後で、ｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合に必ず極小値を取る。また、ともに負である場合に必ず極大値を取る。
　他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後で、ｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合か、又は、負から正に移る場合には、決して極値を取らない。

【関数ｆ(x) の極値の例】

また、y'' とｙ’との増減表からｙ’＝ｆ’(x) のグラフの概形がわかる。ｙ’のグラフの概形は以下の図のようになる。

《ｆ’(x) ＝０になる前後のｘのｙ’＝ｆ’(x) の正負の判定》
　下図の関数ｆ(x) の増減表のように、ｙ’’を求めて、ｙ’のグラフの概形を求めることでｙ’の正負を判定する。

　ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合か、又は、ともに負である場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合や、負から正に移る場合には、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。

別の観点から言えば：
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が重解でない場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が２重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が３重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が４重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。

《補足》
　３次関数のグラフで、極大値と極小値とを持つグラフには、以下の寸法の関係があることを覚えておくと便利です。（これが成り立つことの証明は各自で行っておくこと）

《極値の定義》
(1) 関数ｆ(x) において、ｘ＝ｃの前後の近くで、
ｘ≠ｃ　なら　f(x)＜f(c)
が成立するとき、
f(c) を極大値と言う。

(2) 関数ｆ(x) において、ｘ＝ｃの前後の近くで、
ｘ≠ｃ　なら　f(x)＞f(c)
が成立するとき、
f(c) を極小値と言う。

　すなわち、ｆ(x)がｘ＝cで微分係数ｆ’(x)を持たない場合でも、更には、ｘ＝cで連続でなくても、以上の定義に当てはまれば、ｆ(c) が極値になり得る。

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 増減表の極意
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2024年11月9日土曜日

円と放物線の接点を求める問題（２）

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【チャレンジ問題２】難問です。時間をかけて解きましょう。
　以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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2024年11月8日金曜日

点Pから引いた放物線への接線の接点AとＢの中点のｘ座標は点Ｐと同じ

やさしい微分積分
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　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。

【チャレンジ問題１】難問です。時間をかけて解きましょう。
　以下の図のように、放物線の外側にある点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。
（１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。
（２）式(1)の関係が成り立つことを示せ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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2024年11月7日木曜日

円と放物線の接点

やさしい微分積分
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　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２／４＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。

（解答の方針）
　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算する方程式を書く。

（解答）
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線　ｙ＝（ｘ^２／４）＋ｈ　　（式１’）
式２から、
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２’）

（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２　（式３）
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、
円のグラフの法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４）
ただし、法線の傾きが無限大の場合には接線の傾きは０であり、その場合でも、式（４）によって接線の傾きが計算できる。

（４）
式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、

この式５を解くと、
ｘ＝０　（式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－２　（式７）

式２から　－１≦ｙ－１≦１
であるので、式７は不適。
よって、式６のみが解である。

（５）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）^２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０

接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）

式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（解答おわり）

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曲線の接線を微分で求める基本公式

やさしい微分積分
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《曲線の接線》
　区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) を考え、その関数ｆ(x) が所定の区間で微分可能な場合を考える。
　微分可能な区間の変数ｘの点ｘ＝ａにおけるｙ＝ｆ(x) のグラフの曲線の接線の方程式を導出する。
　グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a, f(a)) における接線の傾きは、関数ｆ(x) を微分した結果の導関数ｆ’(x) の変数ｘの点ｘ＝ａにおける微分係数ｆ’(a) に等しい。そのため、グラフ上の点における接線の方程式に関して以下のことが言える。
　グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a,f(a)) における接線の方程式は、
ｙ＝(ｆ’(a))（ｘ－ａ）＋ｆ(a) ，　(1)
とあらわされる。

【問１】ｙ＝ｘ^２の曲線の変数ｘの点ｘ＝１でのグラフの接線を求めよ。

【解答】
ｆ(x) ＝ｘ^２
微分の公式により
ｆ’(x) ＝２・ｘ

ｆ(1) ＝１^２＝１
ｆ’(1) ＝２・１＝２

接線の方程式は、
ｙ＝２（ｘ－１）＋１
　＝２ｘー１，

（解答おわり）

（接線の定義）
　連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間のグラフの点Ｃに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。

（注意）
　グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点で接する直線があるかもしれないが、その点Cの両側の点AとＢの一方の点が無かったり、直線の傾きが１つに収束し無かったりするので、その点における「接線」については考え無いことにする。

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やさしい微分積分
 接線と接点の定義
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2024年11月6日水曜日

合成関数の微分の公式を証明する

やさしい微分積分
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【問１】
　区間で連続な関数ｇ(x) が変数の点ｘで微分可能であり、区間で連続な関数ｆ(g) が変数の点ｇ＝ｇ(x)で微分可能であるとき、独立変数の点ｘと従属変数の点ｇ=ｇ(x) で、以下の式であらわす合成関数の微分の公式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
（証明開始）
　合成関数ｆ(g(x))をｈ(x)とあらわす。
独立変数の点ｘで、区間で連続な関数ｇ(x) のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。
また、従属変数の点ｇ=ｇ(x) で、区間で連続な関数ｆ(g) のｇによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。
その場合に、以下の式が成り立つ。

（証明おわり）

【問２】
以下の関数を微分せよ。

【解答】

（解答おわり）

【問３】
　以下の関数を微分せよ。

【解１】

（解１おわり）

【解２】
　関数の商の微分の公式を使う。

（解２おわり）

リンク：
やさしい微分積分
 合成関数の微分の公式の分かり易い証明
 高校数学の目次

微分の基本公式を導き出す

やさしい微分積分
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【問１】区間で微分可能な関数ｆ(x) とｇ(x) に関する以下の公式を導け。
《関数の積の微分の公式》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’

【解答】
（証明開始）

（証明おわり）

《関数の積の微分の公式の適用例》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
この関数の積の微分の公式を使って、以下の公式を導き出す。

ｘ’＝ｄx/dx＝１となることを利用して以下の計算をする。

同様にして

以上で、微分の公式がいくつか求まった。
（解答おわり）

【問２】
　以下の式ｐ(x) を微分せよ。

【解１】

（解１おわり）

【解２】
　この問題は、単に微分する問題と考えると、以下のように解く方が楽です。
　先ず、ｐ(x) を変形する。

そして、微分する。

（解２おわり）

《補足》
　問２の解き方では、微分の基本公式（関数の積の微分）を使う解１よりも解２の解き方の方が楽に解けた。解１の解き方が有効に生きる関数の商の微分の問題は、問３の、分数式の分母がもっと複雑な関数の商の場合である。

《関数の商の微分の公式》
　関数の積の微分の公式の同類の、関数の商の微分の公式を導出する。