2024年11月6日水曜日

微分の基本公式を導き出す

やさしい微分積分
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【問1】区間で微分可能な関数f(x) とg(x) に関する
以下の公式を導け。
《関数の積の微分の公式》
(f・g)’=f’・g+f・g’

【解答】
(証明開始)

(証明おわり)

《関数の積の微分の公式の適用例》
(f・g)’=f’・g+f・g’
この関数の積の微分の公式を使って、以下の公式を導き出す

x’=dx/dx=1となることを利用して以下の計算をする。

同様にして

以上で、微分の公式がいくつか求まった。
(解答おわり)

【問2】
 以下の式p(x) を微分せよ。


【解1】

(解1おわり)

【解2】
 この問題は、単に微分する問題と考えると、以下のように解く方が楽です。
 先ず、p(x) を変形する。

そして、微分する。

(解2おわり)

《補足》
 問2の解き方では、微分の基本公式(関数の積の微分)を使う解1よりも解2の解き方の方が楽に解けた。解1の解き方が有効に生きる関数の商の微分の問題は、問3の、分数式の分母がもっと複雑な関数の商の場合である。

《関数の商の微分の公式》
 関数の積の微分の公式の同類の、関数の商の微分の公式を導出する。


(関数の商の微分の公式)

 以上の計算で得られた関数の商の微分の公式を使って、以下の問3の、分数式の分母が問2よりも複雑な関数の商の微分を求める。
【問3】
 以下の式p(x) を微分せよ。


【解答】

(解答おわり)

【問4】
以下の関数を微分せよ。


【解答】

(解答おわり)

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