複素数平面の公式一覧

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▷基本的な公式群
▷単位ベクトルの差とその共役複素数の比
▷ベクトルの内積を複素数であらわす
▷直線へ下した垂線のベクトル
▷直交ベクトルへの分解
▷三角形の頂点から外心までのベクトル
▷正三角形になる必要十分条件
▷線対称な点の公式
▷３倍角の公式
▷複素数平面のベクトル方程式

【公式０】基本的な公式群

はRe()とIm()の定義と、それらに関する当たり前の公式ですが、それに対して以下の基本的な公式群が成り立ちます。




以下の公式が式の変形に便利：


【公式１】単位ベクトルの差とその共役複素数の比の公式



【公式２】単位ベクトルの和とその共役複素数の比の公式


以下の公式にして使うと便利である：


【公式３】円周角の定理の公式



【公式４】ベクトルの内積を複素数であらわす公式。
 
《具体的公式》

《応用例》


【公式４ｂ】ベクトルの外積を複素数であらわす公式。

《補足》
　ベクトルの内積の計算と合わせると、以下の式が成り立つ。

上記の２つの式での、外積が０か内積が０かの、どちらかの条件が満足されるベクトルの組を選ぶ。そうすると、その組のベクトル同士の間では、ベクトルの積の逆の演算（ベクトルの商）のような演算が、複素数平面での計算によって行える。

【公式５】直線へ下した垂線のベクトルの複素数の公式


【公式５ｂ】複素数の直交ベクトルへの分解の公式


【公式６】三角形の頂点から外心までのベクトルの複素数の公式

この外心ベクトルＰの複素数ｐの公式において、垂線ベクトルＨの複素数ｈを求める以下の公式を使うことができる。



【公式７】三角形の辺の中点Mから外心までのベクトルの複素数の公式


　
【公式８】ひし形の対角線の直交の公式
以下の公式もよく使います。
 


【公式９】複素数平面上に書いた三角形が正三角形になる必要十分条件の公式



【公式１０】ひし形の対角線と辺の複素数の公式

《線対称な点βと点S(s)の公式》

上図で、αとβの積の複素数と絶対値が等しく左回りの偏角θをもつ複素数が αとβであらわせ、それと等しい複素数が ｓとαであらわせるので、両者を等しいとする式(1)が成り立つ。

《２点αとβの垂直２等分線上の点γの公式》


【公式１１】三角形の面積の公式


【公式１２】複素数ｚとｗが平行でない条件の公式


【公式１３】正弦の３倍角の公式：
　

【公式１４】複素数平面のベクトル方程式

（解Aと解Bが求められる。解Bでは実数ｐ,qが求められる）

【公式１５】方べきの定理の公式


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