複素数平面で正弦定理を導出する

【問】
　正弦定理を複素数平面を利用して導出する。
そのために、以下の複素数平面の図の、半径１の円に内接する三角形ｚｈｇを利用する。


【解答】
　先ず円周角の定理を導き出し、円周角の定理を使って正弦定理を導出する。
　円周角の定理を導き出すために以下の計算をする。

以上の計算によって、ベクトル(zg)とベクトル(zh)の成す角βの２倍が、ベクトルｇとベクトルｈの成す角度になることが示された。
すなわち、点ｇと点ｈの位置が固定されている場合に、ベクトルｚの円上の位置にかかわりなく、円周角βが一定の角度になる事が示された。
（円周角の定理の導出おわり）

　三角形ｚｈｇの頂点ｚの角度βは、三角形Ｏｈｇの頂角Ｏの二等分線で頂角Ｏを半分にした角度である。角度βは、三角形Ｏｈｇを２つの直角三角形に分割した直角三角形の頂角である。そのため、辺ｈｇの長さは、
|h－g|＝２sinβ
になる。三角形ｚｈｇの外接円の半径をＲとすると、
|h－g|＝２Ｒ・sinβ
になる。
よって、正弦定理が導出できた。
（正弦定理の導出おわり）

リンク：
円周角の定理に係る複素数平面の公式
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
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