佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】実数のｋの値が変化するとき、２直線
ｋｘ＋３ｙ－２ｋ＝０ （直線１）
－３ｘ＋ｋｙ＋２ｋ＋３＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータｋであらわす式と、Ｙのみをパラメータｋであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解く。
（式の形を単純にする）
この直線の式では、ｋがあちこちにあって複雑な式になっている。
先ずは、その複雑な式を、ｋに関するもっと単純な形の式に書き変える。
そのために、先ず、直線の式をｋに関して整理する。
ｋ（ｘ－２）＋３ｙ＝０ （式１）
ｋ（ｙ＋２）－３ｘ＋３＝０ （式２）
ここで、ｋのかかる式（ｘ－２）および（ｙ＋２）をｚとｖに置き換える。
ｘ－２＝ｚ （式３）
ｙ＋２＝ｖ （式４）
この置き換えは、ｚはｘ座標を定数の値で平行移動した値であり、ｖはｙ座標を定数の値で平行移動した値である。ｚとｖをｘとｙに置き換えて考えると計算が楽になる。そのため、式１と式２を、ｚとｖだけであらわす。
ｋ（ｘ－２）＋３（ｙ＋２）－６＝０ （式１）’
ｋｚ＋３ｖ－６＝０ （式５）
ｋ（ｙ＋２）－３（ｘ－２）－６＋３＝０ （式２）’
ｋｖ－３ｚ－３＝０ （式６）
次に、式５と式６から、ｚのみをパラメータｋであらわす式と、ｖのみをパラメータｋであらわす式を求める。
ｖを消去して、ｚのみをパラメータｋであらわす式を求めるために、ｋ（式５）－３（式６）を計算する。
（ｋ２＋９）ｚ－６ｋ＋９＝０
ｚを消去して、ｖのみをパラメータｋであらわす式を求めるために、３（式５）＋ｋ（式６）を計算する。
（ｋ２＋９）ｖ－１８－３ｋ＝０
式７と式８でｚとｖがｋであらわせた。
このような式のグループからｋを消去する場合の計算技術としては、
（Ｓ１）先ず、式７と式８が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（Ｓ２：重要な方針）分母がｋの二乗と定数から成る。この分母Ｂを持つ式で、（分子がＫである式）の２乗と、（分子が定数３である式）の２乗を足し合わせる（方針Ｓ３）と分子が最初の分母Ｂと同じになる。その式は、Ｂ／Ｂ２＝１／Ｂになる。その式を、別に計算して得た、分子が定数の式と加え合わせる（方針Ｓ４）ことで、ｋの分数式を分母と分子ともども一気に消去する。
（計算の準備）
その計算をできるようにする準備として、ｋを分子にする式と、定数を分子にする式とを求める。
（Ｓ２－１）
定数を分子にする式を求めるために、（式７）－２（式８）を計算する。
（Ｓ２－２）
ｋ（の定数倍）を分子にする式を求めるために、２（式７）＋（式８）を計算する。
以上で、準備ができたので、
（Ｓ２：重要な方針）で目標にした（方針Ｓ３）と（方針Ｓ４）を以下のように実行する。
（方針Ｓ３）
式９の分子の二乗と式１０の分子の二乗を加え合わせて、その分子を元の式の分母の定数倍にした式を作る。
すなわち、(式９)２＋(式１０)２を計算する。
（方針Ｓ４）
次に、式１１の右辺の分数式を一気に消去するために、（式１１）＋５（式９）を計算する。
｛(ｚ－２ｖ)２＋(２ｚ＋ｖ)２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
｛ｚ２＋４ｖ２＋４ｚ２＋ｖ２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
５｛ｚ２＋ｖ２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
｛ｚ２＋ｖ２｝＋（ｚ－２ｖ）＝０
(ｚ＋（１／２）)２＋(ｖ－１)２＝（５／４） （式１２）
これで計算の目標が達成できた。
（残りの計算）
次に、ｚとｖをｘとｙに戻す残りの計算を行なう。
式１２に式３と式４を代入する。
(ｘ－２＋（１／２）)２＋(ｙ＋２－１)２＝（５／４）
(ｘ－（３／２）)２＋(ｙ＋１)２＝（５／４） （式１３）
これは、Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡が円になることをあらわしている。
この円は、点（３／２，－１）を中心にした、半径（√５）／２の円である。
ここで、この円は、下の図のようになる。
ｚとｖをあらわした式７と式８を見ると、
パラメータｋの値が負の無限大、あるいは正の無限大に大きくなると、
点Ｐ（ｘ，ｙ）は、（ｚ，ｖ）＝（０，０）となる点、すなわち、点（ｘ，ｙ）＝（２，－２）に近づく。
しかし、点Ｐは、決して（２，－２）に達することは無い。
【一部の別解】
以上の解き方で、気の短い人は、式６以降の、式１２を求めるまでの計算がわずらわしい、道草を食っている、と思った方もいるかもしれません。そのため、以下で、その部分の別解を書きます。
（式７と式８は計算しましょう）
式６の後、すぐ式１２を計算できますが、それでは、ｚとｖの値がｋとともにどう変化するかの傾向を見ることができなくなります。そのため、式７と式８は計算しておきましょう。この計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。
（式５と式６から式１２を導く）
式５から、以下の式が得られます。
（１）ｚ≠０のとき
ｋ＝（６－３ｖ）／ｚ
この式を式６に代入する。
（（６－３ｖ）／ｚ）ｖ－３ｚ－３＝０
（６－３ｖ）ｖ－３（ｚ＋１）ｚ＝０
（ｖ－２）ｖ＋（ｚ＋１）ｚ＝０
ｖ２－２ｖ＋ｚ２＋ｚ＝０
(ｖ－１)２＋(ｚ＋（１／２）)２＝１＋（１／４）
(ｖ－１)２＋(ｚ＋（１／２）)２＝５／４ (式１２）
（２）ｚ＝０の場合、
式５に、ｚ＝０を代入して、
６－３ｖ＝０
ｖ＝２ （式１４）
式６に、ｚ＝０とｖ＝２を代入して、
ｋ・２－３＝０
ｋ＝（３／２）
式１２にｚ＝０を代入して、
(ｖ－１)２＋(１／２)２＝５／４
(ｖ－１)２＝１
この式の解でｖ＝０、２がありますが、ｖは（式１４）で得られた２のみが有効で、ｖ＝０という解はありません。
そのため、軌跡は、式１２であらわされる円のうち、点（ｚ，ｖ）＝（０，０）は通りません。
式１２以降の計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。
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【問１】実数のｋの値が変化するとき、２直線
ｋｘ＋３ｙ－２ｋ＝０ （直線１）
－３ｘ＋ｋｙ＋２ｋ＋３＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータｋであらわす式と、Ｙのみをパラメータｋであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解く。
（式の形を単純にする）
この直線の式では、ｋがあちこちにあって複雑な式になっている。
先ずは、その複雑な式を、ｋに関するもっと単純な形の式に書き変える。
そのために、先ず、直線の式をｋに関して整理する。
ｋ（ｘ－２）＋３ｙ＝０ （式１）
ｋ（ｙ＋２）－３ｘ＋３＝０ （式２）
ここで、ｋのかかる式（ｘ－２）および（ｙ＋２）をｚとｖに置き換える。
ｘ－２＝ｚ （式３）
ｙ＋２＝ｖ （式４）
この置き換えは、ｚはｘ座標を定数の値で平行移動した値であり、ｖはｙ座標を定数の値で平行移動した値である。ｚとｖをｘとｙに置き換えて考えると計算が楽になる。そのため、式１と式２を、ｚとｖだけであらわす。
ｋ（ｘ－２）＋３（ｙ＋２）－６＝０ （式１）’
ｋｚ＋３ｖ－６＝０ （式５）
ｋ（ｙ＋２）－３（ｘ－２）－６＋３＝０ （式２）’
ｋｖ－３ｚ－３＝０ （式６）
次に、式５と式６から、ｚのみをパラメータｋであらわす式と、ｖのみをパラメータｋであらわす式を求める。
ｖを消去して、ｚのみをパラメータｋであらわす式を求めるために、ｋ（式５）－３（式６）を計算する。
（ｋ２＋９）ｚ－６ｋ＋９＝０
（ｋ２＋９）ｖ－１８－３ｋ＝０
このような式のグループからｋを消去する場合の計算技術としては、
（Ｓ１）先ず、式７と式８が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（Ｓ２：重要な方針）分母がｋの二乗と定数から成る。この分母Ｂを持つ式で、（分子がＫである式）の２乗と、（分子が定数３である式）の２乗を足し合わせる（方針Ｓ３）と分子が最初の分母Ｂと同じになる。その式は、Ｂ／Ｂ２＝１／Ｂになる。その式を、別に計算して得た、分子が定数の式と加え合わせる（方針Ｓ４）ことで、ｋの分数式を分母と分子ともども一気に消去する。
（計算の準備）
その計算をできるようにする準備として、ｋを分子にする式と、定数を分子にする式とを求める。
（Ｓ２－１）
定数を分子にする式を求めるために、（式７）－２（式８）を計算する。
（Ｓ２－２）
ｋ（の定数倍）を分子にする式を求めるために、２（式７）＋（式８）を計算する。
以上で、準備ができたので、
（Ｓ２：重要な方針）で目標にした（方針Ｓ３）と（方針Ｓ４）を以下のように実行する。
（方針Ｓ３）
式９の分子の二乗と式１０の分子の二乗を加え合わせて、その分子を元の式の分母の定数倍にした式を作る。
すなわち、(式９)２＋(式１０)２を計算する。
（方針Ｓ４）
次に、式１１の右辺の分数式を一気に消去するために、（式１１）＋５（式９）を計算する。
｛(ｚ－２ｖ)２＋(２ｚ＋ｖ)２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
｛ｚ２＋４ｖ２＋４ｚ２＋ｖ２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
５｛ｚ２＋ｖ２｝＋５（ｚ－２ｖ）＝０
｛ｚ２＋ｖ２｝＋（ｚ－２ｖ）＝０
(ｚ＋（１／２）)２＋(ｖ－１)２＝（５／４） （式１２）
これで計算の目標が達成できた。
（残りの計算）
次に、ｚとｖをｘとｙに戻す残りの計算を行なう。
式１２に式３と式４を代入する。
(ｘ－２＋（１／２）)２＋(ｙ＋２－１)２＝（５／４）
(ｘ－（３／２）)２＋(ｙ＋１)２＝（５／４） （式１３）
これは、Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡が円になることをあらわしている。
この円は、点（３／２，－１）を中心にした、半径（√５）／２の円である。
ここで、この円は、下の図のようになる。
ｚとｖをあらわした式７と式８を見ると、
パラメータｋの値が負の無限大、あるいは正の無限大に大きくなると、
点Ｐ（ｘ，ｙ）は、（ｚ，ｖ）＝（０，０）となる点、すなわち、点（ｘ，ｙ）＝（２，－２）に近づく。
しかし、点Ｐは、決して（２，－２）に達することは無い。
【一部の別解】
以上の解き方で、気の短い人は、式６以降の、式１２を求めるまでの計算がわずらわしい、道草を食っている、と思った方もいるかもしれません。そのため、以下で、その部分の別解を書きます。
（式７と式８は計算しましょう）
式６の後、すぐ式１２を計算できますが、それでは、ｚとｖの値がｋとともにどう変化するかの傾向を見ることができなくなります。そのため、式７と式８は計算しておきましょう。この計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。
（式５と式６から式１２を導く）
式５から、以下の式が得られます。
（１）ｚ≠０のとき
ｋ＝（６－３ｖ）／ｚ
この式を式６に代入する。
（（６－３ｖ）／ｚ）ｖ－３ｚ－３＝０
（６－３ｖ）ｖ－３（ｚ＋１）ｚ＝０
（ｖ－２）ｖ＋（ｚ＋１）ｚ＝０
ｖ２－２ｖ＋ｚ２＋ｚ＝０
(ｖ－１)２＋(ｚ＋（１／２）)２＝１＋（１／４）
(ｖ－１)２＋(ｚ＋（１／２）)２＝５／４ (式１２）
（２）ｚ＝０の場合、
式５に、ｚ＝０を代入して、
６－３ｖ＝０
ｖ＝２ （式１４）
式６に、ｚ＝０とｖ＝２を代入して、
ｋ・２－３＝０
ｋ＝（３／２）
式１２にｚ＝０を代入して、
(ｖ－１)２＋(１／２)２＝５／４
(ｖ－１)２＝１
この式の解でｖ＝０、２がありますが、ｖは（式１４）で得られた２のみが有効で、ｖ＝０という解はありません。
そのため、軌跡は、式１２であらわされる円のうち、点（ｚ，ｖ）＝（０，０）は通りません。
式１２以降の計算は、上に書いた計算と同じですので、記載を省略します。
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