2016年8月31日水曜日

高校数学の勉強方法

高校数学は、中学とはうって変わって急に教わる項目が増え、

ついていくのがやっとだ、
と言うのはまだマシで、

ついていけなくなる!!
人が大部分のようです。

これは大問題だとおもいます。

ちなみに、私が数学が得意になったのは、自習によるところが大きかったです。
授業中にも、自分の問題を解いたりして
いつの間にか自習していたりしていたことも多かったです。
数学は、とにかく問題を自分で解くことが第1に大切です。

「先生の話を聞かなくても良いから問題を解け」
です。

先生の授業を聞かないでも良いから、
自分で問題を解くことが大切です。
問題の解き方は、教科書や参考書に書いてありますので、
先生の授業を聞かなくても良いかもしれません。

学校の先生は、どうしても解けない問題があった時に、
教えてくれる人として存在価値があるようにも思います。

高校の数学の先生は、生徒の学習が遅れてもかまわず先に進んで教えるという噂を聞きます。

それが本当ならば、ひどい教育ですが、
先生は、生徒の学習のペースメーカー(進行係)として、
「今は~~まで勉強するべし」
と、学習の進度を教えているというのならば、
理解できます。

自力で問題を正しく解けるようになる大原則は、
(1)「何でも、先ずは疑うこと」 
(2)「疑いようが無いことのみを覚えること」
(3)「安易に、納得していない疑わしい公式を覚えないこと」
疑わしい公式は間違いの発生源だから、無い方が良い。
そもそも、公式は自分で導き出せるようになること。
(自分で導き出せるのだから、覚えないでも良い)
 です。

納得できるようになるまで数学を勉強して下さい。
それが、高校の数学の勉強のやり方と思います。

数学を得意になろうと思ったら、
分からなくなったところから、ていねいに教えてくれる先生をみつけて、
自分がわかるところから、次にわかることまで、
自分で納得しながら勉強するのが良い勉強の仕方と思います。

 高校1年の後期になると、三角比の授業で、三角形の余弦定理を学びます。その余弦定理の形が複雑なので、覚えるのに苦労します。その時、安易に余弦定理の式の形を暗記するのでは無く、余弦定理をいかに速く導き出すかを探究するのが良いと思います。

 「なぜ数学を勉強しなければならないのか」という疑問がインターネットに書かれています。その質問は、私自身に対しては「なぜ私は数学をするのか」という自問になると思います。
 その自問に対する答えは、面白いから数学をやっていました。そのため、勉強して解き方を覚えた問題はもう解かないで良くなったという事にはなりませんでした。面白いので分かった問題も解きます。余弦定理を使って解く問題は三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って解けました。
 しかし、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って速やかに余弦定理を導き出す方法を知らなかったので(誰かに教わる事ができれば良かった)、ベクトルの内積を学ぶまで1年の間、余弦定理を覚えていませんでした。その間、「余弦定理を書け」という問題を恐れていました。

 高校2年の後期になると、微分積分を教わります。その微分積分を学ぼうとすると教科書の記述が意味不明なので苦しみます。そのとき、妥協せず、それが意味不明だとはっきり認識するのが正しい認識です。残念ながら、高校の教科書の記述は誤っているので、誤りが理解出来ないのが正しいです。
 そのとき、駄目な本はダメとして捨てて、正しい事を教えている大学の教科書を探して、それから学ぶように切り替えてください。そうすると、スムーズに学習が進むようになります。そのように、自分の数学センスに素直に従って学んで行ってください。

 それと、高校数学の公式を覚えるという数学センスから考えると、嘘とごまかしは、数学を覚えにくくするので禁物なのです。なぜかと言うと、数学の公式を覚えるというのは公式を導き出す小さなヒントだけ覚えて、そのヒントから公式全体を導き出せるようにすることだからです。
 小さなヒントだけ覚えれば良いので多くの公式を覚える量が本当に少なくて済み、覚えるのが楽になります。
 しかし、嘘とごまかしによっては、そこから正しい公式全体を導き出せ無くなります。そのような不純物(嘘、ごまかし)が心に入ると、もう数学の力は失われてしまい、何もわからなくなります。

(数学の公式の覚え方の注意)
 中学生のときは数学ができたのに、高校生になると数学ができなくなったと感じて数学をあきらめて脱落する学生が多いようです。そうなるのは、中学生のときから数学の公式の間違った覚え方を身につけ、それが現実の数学の公式群を覚えるのに通用しなくなるからだと考えます。
 公式をごろ合わせで覚えるのは公式の間違った覚え方です。毎回式を展開して、必要な公式を導き出して使うのが、正しい公式の覚え方だと思います。
 式を展開するだけでは、何も覚えていない様に見えますが、実はそうでは無く、式を展開する毎に、解に到達する式の展開手順を無意識に覚えているのです。そういうふうに公式を覚えるのが、 高校生になった後でも数学の学習から脱落しない公式の正しい覚え方だと思います。

リンク:高校数学の目次

2016年8月11日木曜日

因数分解の可能性を広げる発想

【問1】
次の式を因数分解せよ。

(コメント)1変数をある変数の2乗と解釈しても良い。頭を柔らかくして、因数分解の可能性を広げて下さい。

【解答】
(解答おわり)

(補足)
この問題は、因数分解を拡張して数学の可能性を広げる方法であって、自分の必要に応じて使う技術であり、
正式な因数分解ではありません。

なぜなら、この考え方では、
a-b=(√a-√b)(√a+√b),
a+b=(√a-i√b)(√a+i√b),
とでき、あらゆる式が更に因数分解できることになります。
そのため、この方法は普通の因数分解ではありません。
(公式な因数分解の試験問題としては出題されないと思います)

リンク:
高校数学一覧

2016年8月10日水曜日

三角形の外心の高さ

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問】三角形ABCの外心(外接円の中心)の座標Dを定める法則を探せ。

数学の新しい技術を学んだら、その技術の力を使って、何か新しい法則を見つけるよう心掛けましょう。

ここでは、外接円の中心座標Dを定める法則を探してみましょう。

(予備知識)
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
(難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

【解答】
先ず、頂点A,B,Cの座標を、点A(2m,2m)、点B(0,0)、点C(2c,0)と定義して、問題を解いてみる。
外接円の中心Dは、線分ABの垂直二等分線と線分BCの垂直二等分線(X=c)との交点を計算することで求める。

線分ABの垂直二等分線は線分ABの中点Mを通る直線である。

線分ABの垂直二等分線の式は、ベクトルMDとそれに垂直なベクトルMの内積が0であることをあらわす式である。

上の図のように、直線ABの垂直二等分線の式は、式1であらわされる。
(X-m)+m(Y-m)=0 (式1)

直線BCの垂直二等分線の式は、
X=c (式2)
であらわされる。
式1と式2を連立してY座標を計算する。
これで、D点のY座標を定める式の法則が得られた。
(解答おわり)

このYの値の式を、以下の様に分かり易く書き直します。
外心の高さYを与える式を変形すると、2番目の式のように、
余弦定理に類似した式が得られます。

そもそも、三角形の外接円の半径をRとすると、
R・cosA= Y
が成り立っていて、
また、
三角形の辺bと辺cの積は、高さhで:
bc=2Rh
とあらわせます。
そのため、
bc・cosA=2h・Y
になる事は直ぐに分かります。

以下では、この式を、ベクトルの切替の公式を使って導きます。
【問1】 
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
 先ず、ベクトルbとcを、外心から引いたベクトルAとBとCであらわす。
この式を、大きさRが等しいベクトルAとBとCの内積であらわし、式を変換する。
赤枠内でベクトルの切替の公式を使っています。
ここでベクトル(B+C)は、上図の辺BCに垂直であり、長さが2mである。
(証明おわり)

(補足)
 上の解答の計算の別解として、
ひし形の対角線の直交の公式を使った方が、
以下の様に、スムーズに計算できます。
(解答おわり)

リンク:
裏正弦定理
高校数学の目次

2016年8月3日水曜日

2次方程式の応用問題

【問1】
次の方程式を解け。
(x+1) (x+2)(x+3) (x+4)=16 ,

ヒント:この問題は、工夫して式を置き換えると2次方程式の形の式に変換できます。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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