2017年8月31日木曜日

双曲線の二接線の交点を求める

【問1】
 双曲線(x-y=1)に対して、
接点a(a,a)から引いた接線と接点b(b,b)から引いた接線の交点p(p,p)を求めよ。
(参考)接点aと接点bから引いた2つの接線の交点pを、双曲線の極線abに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式1のf(x,y)=0であらわす。
接点aとbとに、以下の式2と3が成り立つ。
双曲線の接線の公式により、接点aとbとの2つの接線は、以下の式4と5であらわせる。
式4と5を連立させて、2つの接線の交点p(p,p)=(x,y)を求める。
この接点の式を、以下の、双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式を使って更に変形する。
<双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式>
「この式10の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式です。
これは、以下の図の直線が直交し、両直線の傾きの積=-1となる関係を表す公式です。
(原点と中点mの共役点と通る直線は極pの共役点p’も通ります)

式6を変形する。
この式11に、公式10を代入する。
次に、式7を変形する。
この式13に公式10を代入する。
式12と式14をまとめる。
(解答おわり)

(補足)
 式15は、2つの接線の交点pの位置ベクトルは、点aと点bの中点mの位置ベクトルに平行であることを示している。
また、式15は、点aと点bの中点mの位置が双曲線に近づけば、点pが中点mに近づくことを示している。

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高校数学の目次

2017年8月27日日曜日

ベクトルで円の二接線の交点(極)を求める(解の変換)

以下では、ベクトルを使って、ベクトルで記述した方程式を解きます。
 ベクトルの問題の解法の1つに「ベクトル方程式」というものがあります。しかし、以下の様なベクトルで記述した方程式の解を求めるには、「ベクトル方程式」のみでは解けません。「ベクトル方程式」を使う以上に、ベクトルで記述した多くの公式を組み合わせて問題を解きます。
 ベクトルで問題を解くということは、ベクトルという記述手段を利用して問題を記述し、多くの公式を適用することで問題を解く作業を行なうということです。
いわば、ベクトルは問題や公式を記述する道具であって、ベクトル自身の法則を使って問題を解くというのはごく一部の問題に限られています。
 そのため、ベクトルの問題を解くということは、ベクトルで記述された公式を使って図形の問題を記述し、その図形問題を、図形を考えることで、図形を解くあらゆる手段を用いて解くという作業です。例えば、XY座標系のグラフを使ってグラフの連立方程式を作って問題を解くことだってあり得ます。
 そのため、ベクトルの独特の計算方法によって問題を解いているような場合も、その計算は、従来の計算方法を、ベクトルという表現手段を使って、整理した形で表現しているだけなのではないかという視点も持って問題解法を見るようにして欲しいと思います。

【問1】
 座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、
接点B(b,bから引いた接線と、接点C(c,cから引いた接線の交点A(a,aをあらわすベクトルを求めよ。
(参考)点BとCから引いた円の接線の交点Aを、直線BCに対する円の極と呼びます。

【解答】
(第1種の解)
線分OAの長さをaとする。


点BとCの中点をEとする。
2角が等しいため、△ABO∽△BEO
∴OA/OB=OB/OE
a/1=1/OE
OE= 1/a
すなわち、ベクトルOEの長さは1/aで、OAの長さはaである。
そして、ベクトルOAはベクトルOEに平行なので、ベクトルOAは以下の式で計算できる。
(解答おわり)

(第1種の解その2)
 上の解で式1と式2を導出した後は、以下のベクトルの計算によって解を求めることもできます。
この式b9は、式5と同じ形の、ベクトルOAの解である。
(解答おわり)

(第2種の解)
長さgのベクトルEB=βはベクトルOEに垂直である。
そのベクトルEBを90度回転したベクトルαはベクトルOEに平行なベクトルである。
以下では、そのベクトルαを使って、ベクトルOAをあらわす式を計算する。
(解答おわり)

(第2種の解その2)
以下の図のように、ベクトルOBに垂直なベクトルuと、ベクトルOCに垂直なベクトルwを考える。
 ベクトルOAを、以下の、変数sを使った式8と、変数tを使った式9との2通りにあらわす。
ベクトルOAを未知数kとhを持つ以下の式10の形で計算することにする。
式8と式10を合わせる。
式9と式10を合わせる。
式12と式14を式10に代入して、ベクトルOAをあらわす。
この式15は、式7と同じ形の、ベクトルOAの解である。
(解答おわり) 

(補足1)
 ベクトルOAをあらわす解答の式は、式5の形の第1種の解と、式7の形の第2種の解との、異なる2つの形の式であらわされた。
 この2つの形の異なる式は、同じ値をあらわし、両者とも、これ以上単純な式であらわすことができない同等な解である。
 この解は、ここをクリックした先のページで、複素数平面の助けを借りて統一された1つの単純な形で表現できる。

 また、この式5の形の解は、xy座標系であらわした接線の式の連立方程式の解では容易には導けない(連立方程式を解くと、通常は、式7の形の解が導かれる)という特徴がある。
 この式5は、以下の「ひし形の対角線の直交の公式」を使うことで、式7に変換できる。
<大きさが同じベクトルbとcで描いたひし形の対角線の直交の公式>
 詳しくは:

(解の式5の変換開始)
 この式a4の公式を使って、式5であらわしたベクトルOAの1つの成分を変換する。
こうして、式7であらわしたベクトルOAの成分が得られた。
式5であらわしたベクトルOAの残りの成分についても同様に計算すれば、式7であらわしたベクトルOAの成分が得られる。
(解の式5の式7への変換おわり)

 また、三角関数を使うと、この2つの式は以下の式に単純化される。

(補足2)
 式5の解と式7(式15)の解は、以下の図の、ひし形の対角線ベクトル変換公式を使うことで、もっと簡単に変換できる。
(ひし形の対角線ベクトル変換公式)
(ひし形の対角線ベクトル変換公式おわり)

 このひし形の対角線ベクトル変換公式を使うと、式5が以下の様に変換できる。
(解の式5の変換開始)
この式16は、式15及び式7と同じ形の式である。
(解の式5の式7への変換おわり)
 ひし形の対角線ベクトル変換公式を使うことで、このように簡単に式5から式7への変換ができた。
 そもそも、式5と式7との2つの形の解をあらわすことができる原因は、ひし形の対角線ベクトル変換公式によってあらわされる、同じベクトルが2つの形で表現できるという現象に起因するからです。

 ベクトルの問題を解くという作業は、
(1)求めるベクトルの解をどのベクトルを使って表すかを選択ずる。
(2)次に、その2つのベクトルの線形結合の係数を計算して求める。
という作業です。
 ベクトルの問題を解く計算の結果で、解を表現するために適切なベクトルが選び出されてくるということは起こらず、
(1)の段階で基準ベクトルを選ぶことで、解に使われるベクトルが決まってしまいます。それ以外のベクトルによっては、その解があらわされなくなります。式15等はその様にして解を表すベクトルを定めています。
 ここで、あるベクトル系で解を表現した場合に、その解は、ひし形の対角線ベクトル変換公式により、そのベクトル系の直交ベクトル系で表現したもう1つの解の表現ができます。その解は、一見、全く異なる解に見えますので注意する必要があります。

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2017年8月25日金曜日

困った時に使う部分積分法

https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/06/blog-post_2.html
https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_17.html
「微分・積分」の勉強

(6)積分の知識:
 「部分積分法」
ここをクリックした先のページのpdfの110ページ(「微分積分学入門」著者:横田 壽)に、部分積分法が書いてあります。

3.3 部分積分法(integration by parts)
置換積分法を用いて.かなりの積分が求められるようになりました.しかし,置換積分法でも手に負えないものがあります.

 ではどうすればいいのでしょうか.そこで,置換積分を用いても不定積分が求められないとき,最後の手段として用いるものに,部分積分法(integration by parts) があります.


定理3.5 (部分積分法)

f(x), g(x) が連続であるとき,次の式が成り立つ.
この式1が部分積分法の公式です。
この式1は、以下の式2の形にして使うことができます。

【例題】
 この積分を計算します。
(解答はじめ)
先ず、以下の媒介変数 f を導入します。
式2の部分積分の計算をします。
 こうして、積分ができました。
(解答おわり)

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2017年8月18日金曜日

高校2年生も覚えるべき置換積分法

https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/06/blog-post_2.html
https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_17.html
「微分・積分」の勉強

(6)積分の知識:
 「置換積分法」

「微分積分学入門」(著者:横田 壽)の108ページ近くに、置換積分法が書いてあります。
(注:横田教授が芝浦工業大学を退官したため、この教科書を無料で掲載していたWebページが無くなりました。この本は書店で購入できます。

3.2 置換積分法(integration by substitution)
不定積分∫f(x)dx を求めるときに,

f(x)dx の x を媒介変数 t の関数g(t) に置き換えることにより,
f(x)dx を f(g(t))g’(t)dt という,積分し易い形に変形することを置換積分法(integration by substitution) と いいます.

定理3.4 (置換積分法)
f(x) が連続であるとき,

x = g(t) とおくと,g(t) が微分可能であれば,

が成り立つ.


(証明開始)
(1)先ず、xを媒介変数 t の関数g(t)で表す。
xはtが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、x=g(t)をtで微分する。
x=g(t)がtで微分可能((Δx/Δt)の極限が有限の値になる)なら、
Δxが以下の式であらわされる。
(2)その場合に、以下の式が成り立つ。
ただし、xで積分するxの積分範囲がg(a)からg(b)までの場合に、
tで積分するtの積分範囲は、aからbまでにする。
(証明おわり)

(置換積分の例題)
下図の関数の積分を考えます。
この積分は、以下の様に変数xを変数tに変換する置換積分で計算することができます。
=2
です。
この変数変換をすると、A点からB点までの積分は、下図の関数の積分に変わりました。
そのため、積分が簡単になり、
積分結果が2になりました。
(例題おわり)

(補足)
この関数の積分は、A点からC点までの範囲までならばリーマン積分が可能です。
その積分可能範囲は、C点をB点に近付けた場合の積分結果の極限値をB点までの積分値であると、積分可能範囲の定義を拡張できます。

 一方で、この積分は、以下の様に変数xを変数tに変換する置換積分で計算できました。
この変数変換をすることで、A点からB点までの積分は、下図の関数の積分に変わりました。
上図の積分の場合、A点からB点までの範囲での関数の値が有限値なので、リーマン積分が可能です。
この変数tに変換した積分のA点からB点までの積分可能範囲が、変数xでの積分の、拡張した積分可能範囲と一致しました。

 また、もう1つ注目すべき点は、
(1)xで積分する元の被積分関数は、x=0で微分不能、かつ、関数の値が存在しない関数でしたが、
(2)置換積分で変換した結果の、tで積分する被積分関数は、t=0での値が有限で値が存在する関数に変わりました。

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