【問１】
５人を区別せずに（0人もある）（名前で区別された）３組に分ける組分けの数を求めよ。すなわち：
上図のような３組に、５人を区別せずに分ける（０人の組があっても良い）組み分けの数を求めよ。
【解答】
この問題は、３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求める問題と同じです。
上図のように①組の行と②組の行と③組の行との３つの行を有し、横の長さが５の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。
上図で、
①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
区別しない５人を、①に分ける数と②に分ける数と③に分ける数の１つの組合せに
１対１で対応する。
その対応の特殊な例では、
①組の数が５人、②組の数が０人、③組の数が０人の組み合わせは、下の図の経路に対応する。
①の数が０、②の数が０、③の数が５の組み合わせは、下の図の経路に対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
３組に区別しない５人を（０人の組があっても良く）分ける組分けの数と等しい。
上図の経路は、
→→↑→→↑→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)５つの順列であらわされる。
（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)５つの順列と１対１対応する）
そのため、図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)５つが作る全ての順列の数と等しい。
その数は、
（２＋５）！／（２！×５！）
＝（２＋５）Ｃ２＝（２＋５）Ｃ５
＝７Ｃ２＝２１
になる。
その２１個の組分けを具体的にあらわすと、以下の２１個になる。
（解答おわり）
【問２】
５人を区別せずに（名前で区別された）３組に（どの組も１人以上入れて）分ける組分けの数を求めよ。
【解答】
問２は、上図のＡ点からＢ点までの経路において、(↑)２つの各々を、(→)５つが隣接する４つのすき間のうちの２つを選んで、そこに(↑)を入れる。
その入れ方ならば、どの(↑)においても、(↑)の前にも後にも必ず(→)が１つあることになる。そのため、５つの(→)が、（どの組も１人以上入れて）３つに分けられる。
その組分けの数が求める数である。
その数は、
４Ｃ２＝６
になる。
その６つの組分けを具体的にあらわすと、以下の６つになる。
（解答おわり）
【問３】
５人を区別せずに（区別されない）３組に（どの組も１人以上入れて）分ける組分けの数を求めよ。
【解１】
問３は、問２の（名前のある３つの組に）区別しない５人を分ける解き方の解の全ての組み分けを１つ１つ調べる。
そうして、組を区別しない場合には、組名を入れ替えると同じ組分けになる組分けのグループをまとめて１つの組み分けに分類する。
は、組名を入れ替えるとできる組み分けのグループなので、組を区別しない場合には同じ組分けと分類する。
は、組名を入れ替えるとできる組み分けのグループなので、組を区別しない場合には同じ組分けと分類する。
この調査の結果、組を区別しない組分けは、
(3,1,1)と(2,2,1)との２つだけである。
（解答おわり）
【解２】
問３は、組を区別しない組分けを、順次に場合分けして数える方が早く解答が得られる。
組を区別しないのですから、
(3,1,1)も(1,3,1)も同じです。
そうなので、人の数の多い組を最初に書いて、同じ組分けを代表させます。
(3,1,1)
です。
次に、
(2,X,X)
とするとき、人の数の多い組を先に書くならば、
(2,2,1)
しか書きようがありません。
その２つ以外には、
５人を、各組に１人以上入れて、（区別しない）３つの組に分ける組分けはありません。
以上の結果、
組を区別しない組分けは、
(3,1,1)と(2,2,1)との２つだけである。
（解答おわり）
【問４】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良く）（名前で区別されない）３組に分ける組分けの数を求めよ。
【解答】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良く）（名前で区別されない）３組に分ける組分けの数は、
「組に区別なく人数指定なく（各人を区別できる）人を組分けする数と組分け問題の本質」
のページの【問１】の解き方で解くことができる。
「（１）（各人を区別できる人を）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を付け替えると、３！の異なる組分けができる。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を付け替えると、３・２＝３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組５人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を付け替えても、３つの組分けができるだけである。（０人のA組と０人のB組の組の名前を付け替えても、組の名前を付け替える前と全く変わらない）」
以上の（１）（２）（３）の場合毎に、組の区別なく3つの組に分ける組み合わせの数を以下のように計算する。すなわち、組の名前を付け替えることで出来る複数の組分けは、同じ組分けであるとして１つと数える。
その数え方による以下の計算により組み合わせの数を求める。
｛（３）の場合｝/3＋｛（１）と（２）の場合｝/(3!)＝
（解答おわり）
リンク：
組分け問題全パターン
場合の数と確率
高校数学の目次
