2018年11月25日日曜日

三角比の分数式の変換

 三角比は、角度θをあらわすのに、cosθとsinθとの2つの表し方があり、複雑です。
 また、三角比は、以下の公式の様に、同じ値が、2つ以上の三角比の式で表されるという複雑な性質を持っています。そのため、その同じ値の2つの三角比の式同士を相互に変換できるように頭を整理しておきましょう。

【公式1】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式1及び1’:
が成り立つ事を証明せよ。

【公式2】 
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式2及び2’:
が成り立つ事を証明せよ。

【公式3】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式4:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

【公式4】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式5:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
これらの問題を解いたら解答も見てください。補足したコメントも書きましたので。 

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2018年11月24日土曜日

XY座標系と二等辺三角形に関する問題

【問1】 
上図のように、XY座標軸の原点Oを頂点にする二等辺三角形OABがあり、
OA=OB
である。
辺ABの中点をMとする。
MからY軸に平行に引いた直線と、
BからX軸に平行に引いた直線の交点をNとする。
MからY軸に引いた垂線の足をQとする。
Bから辺OAに引いた垂線の足をHとする。
このとき、
三角形QMNと三角形BHAが相似であることを証明せよ。

三角関数の分数式の変換公式

【公式1】 
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式1:
が成り立つ事を証明せよ。

なお、角度CをーCに置き換えれば、式1は:
になる。
更に角度Cを(π/2)ーCに置き換えれば、式2は:
になる。

【公式2】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式4:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

【公式3】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式5:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

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これらの問題を解いたら解答も見てください。補足したコメントも書きましたので。

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2018年11月21日水曜日

三角形の垂心の周りの角度

【問1】 
上図の角度の関係、すなわち、
三角形の垂心Hの周りの角度が、上図の様に、三角形の頂角と同じ角度になっていることを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2018年11月19日月曜日

三角関数の積を2乗の差へ変換する公式

 計算問題が易しく解ける近道を示す道しるべが公式だと思います。
 そういう計算の道しるべの以下の公式を速やかに導き出せるよう、計算練習をしておくと良いと考えます。

【公式1】  角度Bと角度Cに関して、以下の式:
又は、
又は、
が成り立つ事を証明せよ。

【公式2】 
 角度Bと角度Cに関して、以下の式:
又は、
又は、
が成り立つ事を証明せよ。

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2018年11月10日土曜日

余弦定理に類似した公式の多さの解決策はベクトル

下のような平行四辺形を考えます。
 
この平行四辺形の一部の三角形ABCに関して、余弦定理は、平行四辺形の対角線2s=aに関して、以下の式1であらわせます。
【問題1】
ここで、上の平行四辺形のもう1つの対角線(2m)に関して、以下の式2が成り立つ事を証明しなさい。

【問題2】
また、上の平行四辺形の対角線(2m)と(2s)=aに関して、以下の式3が成り立つ事を証明しなさい。

(解説)
これらの証明は各自で自力で証明してください。

(ベクトルの学びの勧め)
 ここで、この公式2を学んだ学生は、余弦定理に類似した公式が多すぎて、どのように頭を整理したら良いかという課題がある事に気づき、悩む学生もいるかもしれません。
 その、公式をどう整理して秩序付けたら良いかという悩みは、ベクトルの内積を学ぶ事で解決します。
 公式の多さに悩んだ学生は、ベクトルの内積まで学べば、余弦定理に類似した多くの公式を整理するのに十分な手段を学ぶことができます。是非、ベクトルの内積を学んで下さい。

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