2011年4月30日土曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(4)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】以下の式を簡単な式に変換せよ。
cosθ・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)

【解答の心構え】この問題は、いきなり出されても解答を思いつく人はまれだと思う。
(そもそも、以下の答えが「単純」であるかどうかについての異論もあると思う。)
以下の解答を見て、解き方を覚えておくこと。

(解答のコツ)
三角関数を分数に変換する公式を使うことが解答のポイントです。
(解答おわり)

なお、sin(16θ)=sinθとなるような特別な角度の場合には、この答え=(1/16)になる。
例えば、θ=π/17の場合などに、そうなる。

リンク: 
高校数学の目次

第5講3節 和と積の公式 練習問題(3)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
sinA=2cosBsinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
 この問題は、上図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。

変数Aを消去することで問題をやさしくする。
 sin(C+B)=2sinCcosB (式1)

三角関数の式を、式の2項を積の式同士に整合する(項の式の形を合わせる)。
そのために、式1の左辺を積の式に変換して右辺の式の形に合わせる。

sinCcosB+sinBcosC=2sinCcosB
sinBcosC=sinCcosB
tanB=tanC
よって、△ABCは、∠B=∠Cの二等辺三角形である。

リンク:
 高校数学の目次





2011年4月29日金曜日

三角関数の和と積の公式 練習問題(2)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
cosA-cosB=sinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。

この問題は、以下の図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。
よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

この問題は、三角関数の和と積の公式の問題として出題されていました。その解き方の方は、遠回りになります。
しかし、どうしても解答方法を知りたい人のために、その遠回りな解き方を以下で説明します。

(解答)
 
よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

遠回りでしたが、かろうじて解答にたどりつけました。

リンク: 
高校数学の目次

三角関数の数列の問題

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式を簡単にせよ。
f(θ)=cosθ+cos(2θ)+cos(3θ)+cos(4θ)+cos(5θ)

(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。)

 リンク: 
高校数学の目次

2011年4月28日木曜日

三角関数の和と積の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数の和と積の公式は、加法定理の一種です。
先ず、積を和に変える公式は以下の公式です。

これらの公式のうち1番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。
次の2番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。
3番目の公式は、以下の様にベクトルの内積の計算を利用して証明できます。


次は、和を積に変える公式です。
cosの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際には、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

sinの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際にも、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

教科書で教えている公式は以上ですが、
以下の公式も覚えておいた方が良いです。
三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)です。
 
この公式は、角度B=Aの場合には、以下の式になる。

リンク: 
高校数学の目次

三角関数の2乗の差の公式

三角関数の2乗の差の公式は、
「単位ベクトルの要素の2乗の差の公式」
と同じものです。

【問1】以下の公式を証明せよ

【問2】以下の公式を証明せよ

これらの問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

 式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、この問題の解答の計算方法を覚えておいて、すぐにこの式を導出できるようになっていてください。

リンク:
高校数学の目次

2011年4月27日水曜日

三角関数の合成の公式

【三角関数の合成の公式】
すなわち、以下の式:
の変形の公式は、加法定理の一種です。
この式の係数:
とあらわせます。
そして、式1は以下の式に変形できます。
この式はsinの加法定理であるので、以下の式になります。
このように、a・sinθ+b・cosθは、1つのsinにまとめることができます。

(a・sinθ+b・cosθ)はベクトルの回転をあらわす式
 ベクトル(X,Y)が既にX座標軸から角度アルファで回転していた場合に、それよりも更にθ回転したベクトル(X’,Y’)を考える。そのベクトルの成分X’とY’以下の式6と7であらわせます。
式7は、もともと角度α回転していたベクトル(X,Y)が更に角度θ回転したベクトル(X’,Y’)と単位ベクトル(0,1)との内積です。
そのため、式1は式7と(全体にかかる係数だけ違う)同じ式であり、式7のsin(α+θ)と(全体にかかる係数だけ違う)同じ式です。
式1の各係数aとbは、 
式7のcos(α)とsin(α)と式2と式3で対応させることができます。
式1は、式7のsin(α+θ)に係数を掛け算した以下の式であらわせます。
 

【問1】
xの関数f(x)の0≦x≦(2π)における最大値,最小値を求めよ。

【解答】
倍角の公式より
なお、
-π/4≦2x-(π/4)≦8π-(π/4)
-π/4≦2x-(π/4)≦7π+(3π/4)

この角度の範囲で、この三角関数が単位円を1回転以上回転できる。
∴ -2√2-1≦f(x)≦2√2-1

(解答おわり)

リンク:
ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
高校数学の目次

2011年4月26日火曜日

2倍角と半角の公式 練習問題(1)難問

【難問】三角形ABCにおいて、
cosAcosBcosC≦(1/8) (式1)
を証明せよ。そして、△ABCが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。
 
(予備知識)
加法定理(2倍角と半角の公式)を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。

そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の発案が解答のポイントの問題を解きます。

この問題は、一部に半角の定理を使いますが、それ以外の発案がポイントです。

(この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります)

リンク:
高校数学の目次

2011年4月25日月曜日

2倍角と半角の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

2倍角の公式は、加法定理の2つの角度が等しい場合の公式です。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α=βの場合は
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
sin(2α)=2sinαcosα
これが、sinの2倍角の公式です。

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
α=βの場合は
cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
cos(2α)=cosα-sinα
=cosα-sinα+cosα+sinα-1
=2cosα-1
=cosα-sinα-cosα-sinα+1
=1-2sinα
すなわち、
cos(2α)=cosα-sinα
=2cosα-1
=1-2sinα
これがcosの2倍角の公式です。
上の2つの式を覚えて良く使うようにしましょう。

tan(2α)=2sinαcosα/(cosα-sinα)
分母と分子ともにcosαで割り算すると
tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
これがtanの2倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
cos(2α)=2cosα-1
この式を変形する
2cosα=1+cos(2α)
cosα=(1+cos(2α))/2
cos(γ/2)=(1+cos(γ))/2
これがcosの半角の公式です。

cos(2α)=1-2sinα
この式を変形する
2sinα=1-cos(2α)
sinα=(1-cos(2α))/2
sin(γ/2)=(1-cosγ)/2
これがsinの半角の公式です。

tan(γ/2)=(1-cosγ)/(1+cosγ)
これがtanの半角の公式です。

リンク:
高校数学の目次

2011年4月24日日曜日

加法定理(等式の証明(4))正弦定理と余弦定理

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【蛇足問題】∠Aと∠Bと∠Cの間に、
∠A+∠B+∠C=π (式1)
の関係があり、
ある長さa,b,c,dとの間に、
sinA/a=sinB/b=sinC/c=1/d (式2)
の関係が成り立つ時、
+c-a=2bc・cosA (式3)
が成り立つことを証明せよ。ただし、余弦定理は証明に利用しないこと。

(注意1)数学の証明に「ある定理を使うな」というように、自由に思考させずに、思考過程に制限を加えるというのは、数学する心(自由に解く)に反する思想であるので、
こういう限定をして出題するというのは、問題がある。
そのため、この問題は、蛇足の問題です。

こういう問題が出題されたら、思考制限規定を無視して、解いても良いと思います。

(証明開始)
この問題の式2は三角形の正弦定理にあてはまります。そのような辺a,b,cと頂点の∠A,∠B,∠Cを持ち、直径dの円に内接する三角形が存在し、その三角形に対して式2の正弦定理が成り立ちます。
そして、その三角形については、式3の余弦定理が成り立ちます。よって、式3は成り立つ。
(証明おわり)
 と解答して良いと思います。

この問題は蛇足問題ではありますが、テストの出題というのでは無く、式の証明を研究するために、以下のように加法定理を利用して解いてみたいと思います。

(注意2)この問題は、たしかに解けますが、だからと言って、正弦定理と加法定理さえあれば余弦定理はいらないなどという誤解はしないで欲しい。
むしろ、その逆で、
加法定理を使って遠回りしてかろうじて問題を解く道があれば、必ず、「正弦定理と余弦定理を使って近道して問題を解く道がある」ということが示されていると解釈して欲しい。

それでは、遠回りした道を通る証明になりますが、
この問題を、出題の意図通りに、正弦定理と加法定理を使って、余弦定理を導く解答の道のりを以下で説明します。

(予備知識:問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
+c-a=2bc・cosA (式3)
を、式2を変換して式3を導出しようとはせずに、
先ずは、この式3を、わかる限り、問題をかみくだいてやさしい問題に変換します。

(解答開始)
式3の左辺を、式2を使って変換する。
式1を使って∠Aを消去する。
加法定理を使ってsin(B+C)を展開する。
(cosの加法定理を使って、sinBsinC-cosCcosB=-cos(B+C)にまとめる)
(式2を使って変換する)
=2bc{cos(A)}
∴ b+c-a=2bc・cosA
(証明おわり)

リンク:
高校数学の目次

加法定理の練習問題6

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のように、3つの平行線の上にそれぞれ点A,B,Cをとる正三角形△ABCがあり、点Bを置いた平行線と線分ACの交点をDとする。
図のように平行線の間の距離をそれぞれp,qとし、△ABCの一辺の長さをaとする。
∠ABD=αとし、∠CBD=βとするとき、sin(α)をp,qであらわせ。

【解答の方針】
α+β=π/3 (式1)
であることを利用して、角度α+βのsinかcosかを加法定理で展開する。
そして、
sinα=p/a (式2)
sinβ=q/a (式3)
から、角αとβのcosを計算して、展開式に代入して未知数を消す。
これにより、未知数aのみが式に残るので、先ずaが求められる。
あとは、そのaの値を式2に代入すれば、求めるsinαが得られる。

(解答開始)
式1を利用した以下の加法定理の式を考える。
cos(π/3)=1/2で値が簡単なので、cosの加法定理を使う。
cos(π/3)=cos(α+β)
=cosα・cosβ-sinα・sinβ,
1/2=cosα・cosβ-sinα・sinβ (式4)

(cosαを式2から求める)
(cosβを式3から求める)
式2、3、5、6を式4に代入する。
両辺を二乗する。
両辺の平方根を計算する。

式7を式2に代入する。
(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次

2011年4月23日土曜日

加法定理の練習問題5

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のような図形ABCDにおいて、∠B=90°、AB=3、BC=4、CD=6、DA=7とする。
ABの延長線とDCの延長線の交点をPとするとき、線分PCの長さを求めよ。

【解答の方針】
下図のように考える。

①線分ACの長さをbとして図に書きこむ。
角度αとβとγを図に書きこむ。
②角度γについては、余弦定理から求められる。
③長さxについては、αがわかれば、4/x=cosαを利用して計算できる。
この順に計算を進める、解答の方針を立てる。

(解答開始)
図から、
sinβ=3/5
cosβ=4/5
式2から、
これらと式2を式4に代入する。
(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次