2016年10月29日土曜日

三角関数の難問

【問1】 
以下の図形のtanθを求めよ。
(注意)この問題は、ラングレーの問題と呼ばれている有名な問題で、難問です。

当ブログでは、三角関数を使って問題を解きます。数Ⅱ以上を学んで、三角関数の加法定理等を学んだ後にこの問題を解いてください。

数Ⅱ以上を学んだ学生は、この問題は難問ですが、解けるかどうかチャレンジしてください。

当ブログでは、三角関数の問題として解きましたので、
読者も三角関数で解いてみてください。
(ただし、数学の心に従い解き方は自由です。三角関数を使わないで解いて、後で三角関数の答えを計算して答えを書いてもかまいません。) 

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2016年10月16日日曜日

二重根号を外す問題

【問1】 a≧0, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

【問2】 a≧b, b≧0の場合に、
以下の式の二重根号を外せ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
答えが分かったら、解答の(補足)の説明も読んでおいてください。

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2016年10月10日月曜日

二重根号の外し方

【問】 以下の式の二重根号を外せ。
 

【注意】
 二重根号の外し方は「嘘っぽい」方法が使われます。
そのため、その方法を覚えられない高校生が多いのではないかと思います。納得できないことは覚えないでかまいません。
 そのため、この問題は解けなくてかまいませんので、問題が解けないか、あるいは問題が解けるかで、この問題への対応がひと段落したら、
この行をクリックした先に、二重根号の外し方の4つの方法と、その方法の嘘っぽさの弁護を書きましたので、見ておいてください。

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受験生が苦労する因数分解

【問1】 以下の式を因数分解せよ。
-7x+1

【注意】 この問題は、大学入試問題に出題される因数分解ですので、高校1年では出題されないかもしれません。

しかし、この問題の解き方には、
(1)正しい解き方ではあっても、障害物を越える時間をかけなければならない解き方と、
(2)その障害物が出てこない平坦な計算の道を通る解き方と、
の2つの解き方があります。

そのため、この問題を解いた後で、
この2つの解き方の解答(ここをクリックする)を見て、
確認しておいてください。

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2016年10月9日日曜日

直線の方程式はベクトルの内積の式

【直線の方程式の持つ意味】
 直線の方程式の一般形は、
ax+by-c=0 (式1)
である、
と教わります。

この一般形により、
x=1
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を(式1)で表すことで得する他のメリットを考えます。

(直線の方程式の一般形の持つ意味)
この式1を少し変形した式:
ax+by=d (式2)
を考えます。
ここで、右辺にdの二乗を使ったのは、
この式2の全ての文字定数と変数(a,b,x,y,d)に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

【直線の方程式はベクトルの内積の式です】
 下図のように、直線の式1の座標値xとyの係数の作るベクトル(a,b)は、直線に垂直である。
【直線の方程式1は(x,y)位置ベクトルの単位ベクトルへの射影の長さが一定の関係をあらわす式である】
上図のように、点Z又は点Pの、単位ベクトルvの方向への射影の長さがあらわされる。
 そのため、点Pの、式1の直線への距離は、以下の式5で計算でき、射影の長さの差であらわされる。

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ベクトルの視点で見える直線の式の意味
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