必要条件と十分条件の表現のバラエティ

【問題１】
以下の命題から、何が何の必要条件であるかを述べよ。
また、何が何の十分条件であるかを述べよ。
（命題）
条件Ａが成り立つ場合に、
「ＢならばＣである。」

【解答１】
　この問題の命題は、
「ＡでありＢならばＣである。」
 と言い換えることができます。
ＡandＢ→Ｃ
そのため、
Ｃが（ＡandＢ ）の必要条件です。
（ＡandＢ ）がＣの十分条件です。

【解答２】
問題文そのままを利用して、以下の解が得られます。
条件Ａが成り立つ場合に、
ＣがＢの必要条件です。
ＢがＣの十分条件です。

【解答３】
少し場違い感がありますが、以下の解答も正しい解答です。
Ｂが成り立つ条件の下で、
ＣがＡの必要条件です。

また、Ｂが成り立つ前提条件の下で、
（何が前提条件かをハッキリさせなければなりません）
ＡがＣの十分条件です。

《補足》
ある結果をもたらすために必ず必要な条件が必要条件です。
必ずそうなる結果をもたらす条件が十分条件です。

前提条件の下での、ある結果をもたらすために必ず必要な条件も必要条件です。
前提条件の下での、必ずそうなる結果をもたらす条件も十分条件です。

【問題２】
ｘの方程式

（a,b,c:実数）
が２つの実数解α、βをもつことは、

であるための何条件ですか？ 
ただし、重解の場合は２つの解を持つものとする。

【解答１】
（Ｓｔｅｐ１）
先ず、十分条件の成立の可否を調べます。

a,b,cが実数であって、以下の方程式の解をαやβで表すという前提条件の下で、
ｘの方程式

の解が２つの実数解（重解も含む）をもつならば、
必ず、
ａ≠０
であって、

である。

（注意）
ａ＝０
の場合は、この方程式は１つの解しかもたない。
（注意おわり）

そのため、
ｘの方程式

の解が２つの実数解（重解も含む）をもつ事は、

が成り立つことの十分条件である。
（必ずそうなる結果をもたらす条件が十分条件です）
（前提条件の下での、必ずそうなる結果をもたらす条件も十分条件です） 
 （十分条件の確認おわり） 

（Ｓｔｅｐ２）
次に、必要条件の成立の可否を調べます。

少なくとも
ａ≠０
であって、

で表わせるαとβがある場合に、
方程式

の解は２つある（重解も含む）が、
その解が実数解であるとは限らない。
言い換えると：
少なくとも
ａ≠０
であって、

から計算することができるαとβがあることは、
方程式

の解が２つある（重解も含む）事の十分条件ではあるが、

その解は実数解であるとは限らない。

よって、

の解が２つある（重解も含む）事は、

少なくともａ≠０
であって、

であるために必ず必要な条件（必要条件）である。

しかし、

の解が２つあり（重解も含む）、その解が２つとも実数解である事は、

少なくともａ≠０
であって、

であるために必ず必要な条件（必要条件）では無い。
（必要条件の不成立の確認のおわり）
（解答おわり）

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