2018年5月29日火曜日

3次関数のグラフの2接点の交点を通る第3の接線の接点

【問】
上の式1の3次関数のグラフの点Aでの接線と点Bでの接線の交点をPとする。交点Pを通って式1の曲線に点Cで接する第3の接線PCを考える。
点Cのx座標を、点Aと点Bのx座標であらわす式を求めよ。
ただし、点Pのy座標≠0とする。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2018年5月25日金曜日

ひし形の対角線の直交の公式と2重平行四辺形の面積の公式

以下の「ひし形の対角線の直交の公式」は、このページの読者の心の隅っこのどこかに残れば良いと思います。ガチガチに覚えないようにして、数学を楽しんで欲しいと思います。
 読者が、この公式が必要になった時に、「たしか、そのような式がありそうな気がする」と思いだして、読者が自力でこの公式を導き出して使えたら良いと考えます。
(公式は全て、必要な時に自力で導き出して、それが使えれば良いと思います。)

【ひし形の対角線の直交の公式】
 下図のひし形OAKBの2つの対角線OKとABが互いに直交することが、
以下の図の線分OKの傾きが、線分ABに平行な線分OHの傾きの逆数×(-1)である、ことにより証明できます。
【公式の証明】
(OA)-(OB)
ー1/(OHの傾き)=(OKの傾き)
∴ OKとOHは直交する。
∴ OKとABは直交する。
「この式6の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
(ひし型の対角線の直交の公式おわり)

(補足)この公式を逆にして認識した方が良いかもしれない。
 ひし形の対角線が互いに直交することは幾何学的に証明できます。
 そして、この公式の逆の証明により、線分OKと線分ABが互いに直交する場合は:
ー1/(ABの傾き)=(OKの傾き)
となる事が証明できる。
 なお、
ー1/(ABの傾き)=(OKの傾き)
となる事も、
以上の計算をしないでも、幾何学的に証明できます。

【ひし形の対角線の直交の公式の応用】
ひし形の対角線の直交の公式は、以下のように、ベクトルの内積の式を変換する計算に使います。
上図のベクトルに関してひし形の対角線の直交の公式は、以下の式a1又はa2であらわせます。
式a3のように、ベクトルの内積の式が、式a2を使って変換できます。
また、この式a3を使うと、以下の式a4であらわす、
任意の定数sで成り立つベクトルの内積の変換公式が作れます。

【2重平行四辺形の面積の公式】
 ここで、もう1つの式7で与えられる、2重平行四辺形の面積の公式も覚えて使いましょう。
(これは、OAの長さとOBの長さが異なっても成り立つ恒等式です)
この式7の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
 この式7の公式は、以下の図の2重の平行四辺形の面積の大きさの関係をあらわす公式です。
(この計算は、ベクトルの外積の計算であり、並行四辺形の面積を求める計算であるという意味を持ちます。)
 (2重平行四辺形の面積の公式おわり)

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2018年5月24日木曜日

交差する曲線の全ての交点を通る全ての直線

以下で、交差する曲線(直線も曲線の一種)の全ての交点を通る全ての直線を求める方法を調べる。

【課題】2つの曲線:
(直線1)   y=0  (式1)
(放物線2)  y=x (式2)
がある。この2つの曲線の交点を全て(この場合は座標原点のみ)を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の曲線1(式1)と曲線2(式2)の連立方程式の解が交点(この場合は座標原点)の座標になる。

この式1と式2をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

(調査研究の開始)
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式4)

(第1の計算方針)
新しい直線の式を求めるには: 式1を、式2に代入すると、以下の式3が得られる。
0= x 
∴ x=0 (式3)
この式3は、新しい直線をあらわす式でもある。

式1と式3を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式4)
が得られる。

この式4は、任意のaとbに関する直線をあらわす式でもある。この式4は、式1の曲線と式2の曲線の全ての交点(原点のみ)を通る。

 こうして、式1を式2に代入する計算をすれば、式1の曲線と式2の曲線の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

(第2の計算方針)
 式1と式2を重みを付けて足し合わせる計算をしてみる。
式2を変形する。
y- =0  (式2’)
(式2’)ー(式1):
0- =0 
x=0 (式3)
これによっても式3が得られる。
式1と式3を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式4)
が得られる。

(補足)
 この事例の場合は、第2の計算方針によっても、全ての交点を通る全ての直線を求めることができた。
しかし、後で説明する他の事例「円と円の交点」の場合では、第2の計算方針によっては、全ての交点を通る全ての直線を求めることはできない。
 全ての交点を計算するには、先の図のような図を描いて答えを予測できるように計算の見通しを良くした上で、その答えが得られるように計算式を導く事が良いことが分かった。
(計算の見通しを良くするにはベクトルで考える)
 式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて(整理して)考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

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2018年5月23日水曜日

2円の交点を通る直線が全て求められるのか?

以下で、2円の交点を通る直線の全てを求めることができるか調べる。

【課題】2つの円、
(円1) (x-1)+y=1 (式1)
(円2) (x+1)+y=1 (式2)
がある。この2つの円の交点を全て(この場合は座標原点のみ)を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の円の(式1)と(式2)の連立方程式の解が交点(この場合は座標原点)の座標になる。

この式1と式2をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

(調査研究の開始)
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式3)

(第1の計算方針)
m(式1)+n(式2)を計算することで、直線3の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(円1) (x-1)+y-1=0 (式1’)
-2x+1+y-1=0,
+y-2x=0 (式4)

(円2) (x+1)+y-1=0 (式2’)
+2x+1+y-1=0,
+y+2x=0 (式5)

(直線3の式の計算)
先ず、m(式4)+n(式5)を計算することで、直線3の式を求める。
m(x+y-2x)+n(x+y+2x)=0 (式6)
この式6を、式3と等しくなるように、mとnの値を決める。
式6と式3を比較し易いように、式6を変形する。
(m+n)x+(m+n)y
+(-2m+2n)x
=0, (式7)
直線の式3には、xの項やyの項が無いので、上の式7もそれらの項の係数が0でなければならない。

(詳しくは、以下のように考える)
式7が式3と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
         <式7> <式3>
の係数: (m+n)  =0, (式8)
の係数: (m+n)  =0, (式8と同じ)
xの係数: (-2m+2n)=a,
yの係数:       0 =b,
定数項の係数:     0 =-c,

式8以外の式は未知数a,b,cを定める式であって、mとnを限定する式ではないので、mとnを限定するのは式8のみ。
よって、
m+n=0 (式8)
この式8の条件を満たすmとnのどの組合せでも良い。
とりあえず、m=1、n=-1に決める。
その場合は、式7は、以下の式になる。
(-2-2)x=0,
-4x=0,
(-4)で式全体を割り算する。
x=0 (式9)
この式9が求める式3の形(を変形した形)の具体的式である。

(注意)この式9は、式4と式5を加えて得た式であるので、式1と式2の円の交点(座標原点)を通る。
しかし、図から明らかなように、円1と円2の全ての交点(座標原点のみ)を通る直線は、この式9だけでは無い。

(結論)
 式6の計算だけでは、円1と円2の全ての交点を通る全ての直線の式が得られないことがあることが分かった。
 (疑問)
 式6の計算によって、式4と式5を加え合わせるmとnの値をどの様に変えても、この式9の直線以外は得られないのだろうか、どこに見落としがあるのだろうか。

 この疑問への答えを考えた結果、以下の答えが得られた。

(疑問の解決)
 式9を、式4又は式5に代入すると、以下の式10が得られる。
=0 (式10)
∴ y=0 (式11)
式9と式11を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式12)
すなわち、任意のaとbに関する直線が、
円1と円2の全ての交点(原点のみ)を通る。

 こうして、式9を元の円の式に代入する計算をすれば、円1と円2の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

 この様に、式9を元の円の式に代入するという発想は、式9だけでは円の交点を通る全ての直線が求められていないという事が分かっているからこそ、発想できた。そのように解の全てが予測できなければ、この解には至らなかった。
(結論)
 以上の考察の結果、計算する際には、その計算で得られた解が全ての解であるかが分かるように、計算の見通しを良くする事がとても大切であることが分かった。
(計算の見通しを良くするにはベクトルで考える)
 式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて(整理して)考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

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2018年5月11日金曜日

微分積分学の基本定理

https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/06/blog-post_2.html
https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_17.html

 微分積分学の基本定理は、高校の微分積分で当然な定理として使っています。

 しかし、正しい「微分積分学の基本定理」は、関数f(x)を、それが連続な所定の領域で積分する場合に限られています。関数f(x)を、それが連続な領域:
a≦x≦b
内で定積分(注意:高校教科書の定積分の定義は間違っています)することで関数S(x)を求めます。
その関数をxの関数として求めます。
その関数S(x)をxで微分したら、
元の関数f(x)が得られたので感動した!
という内容が、微分積分学の基本定理です。

 しかし、高校の数学の教科書では、関数の積分S(x)を、
S’(x)=f(x)
となる原始関数として定義しています。
そのように定義すると、
そういうふうに定義した「積分」(微分積分学の基本定理が成り立つように積分を定義した)を、
微分積分学の基本定理の「積分」の定義にすると、
微分積分学の基本定理の意味が不明になります。
教科書の積分の定義が微分積分学の基本定理そのものですので、その定義と同じ内容に見える微分積分学の基本定理を説明する意義が有りません。

 しかし、「積分」がそのように定義されるという教科書の記述は嘘です。そのため、微分積分学の基本定理の存在意義があります。
 そもそも、積分の概念は、日本の高校の教科書が微分の逆演算で定義しているような狭い貧弱な概念ではありません。積分の概念は、数学の研究対象を微小な部分に分割して研究し、その微小部分を集積した全体にまとめ上げて全体を考えるという、適用範囲が広い概念なのです。

 高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校2年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は:
「やさしく学べる微分積分」(石村園子) ¥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
この本の36ページから45ページまで読めば、微分の概念から始めて合成関数の微分の公式まで学ぶことができます。

【微分積分学の基本定理】
関数f(x)が、変数xの実数の区間:
a≦x≦b
において連続な場合を考える。
(1)
x=aにおいてf(x)が連続であるので、関数の連続の定義に従って、
関数f(x)は、x=aの点より広い範囲の、少なくとも、
区間:
a − δ<x<a + δ
を含む範囲で定義されている。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
そして、その領域内で関数が連続なので、
x→a でのf(x)極限値と、
x=aにおける値f(a)とが等しい。
(2)
x=bにおいてf(x)が連続であるので、
bについても同様な関係がある。
(3) 
以上のことから、
関数f(x)は、少なくとも区間:
a-δ<x<b+δ
を含む範囲で定義されている。
(4)
 また、関数f(x)が定義されている変数xの範囲で関数f(x)が積分可能です。そのため、その変数xの範囲での積分結果の関数F(x)は、その変数xの範囲で値を持ちます。すなわち、積分結果の関数F(x)は被積分関数f(x)と同じxの定義域を持ちます。
(5)
 しかし、
a-δ<x<b+δ
を含む範囲で定義されている関数F(x)を微分すると、その微分で得られた関数F’(x)は、関数F(x)の境界では微分不可能であって微分係数を持ちません。
そのため、関数F’(x)の定義域は、関数F(x)の定義域よりも狭い、
a≦x≦b
で定義されます。
積分前の関数f(x)の定義域に比べ、それを積分して更に微分して得た関数F’(x)の定義域の方が狭くなります。

(6)
以上で説明した定義域を持つ関数f(x)に関して以下の関係式が成り立つ。
すなわち、式2で定義された原始関数F(x)を、
式3のように、その微分可能な範囲:
aーδ<a≦x≦b<b+δ
で微分して得た導関数は、
その微分可能な範囲:
a≦x≦b
において、 元の連続関数f(x)(その領域内で連続な関数f(x))と一致する。
(基本定理の定義:おわり)

(備考1)
(第1のポイント)
 この基本定理の定義のポイントは、関数の連続の定義に従って:
a≦x≦b
の範囲で連続な関数f(x)の変数xの定義域は、少なくとも、
a-δ ≦ x ≦ b+δ
で定義されている。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
その定義域が
a≦x≦b
よりも広いことが、微分積分学の基本定理の定義の第1のポイントです。

 (第2のポイント)
 そして、この基本定理は、関数f(x)の定義域の一部の領域:
a≦x≦b
に限定した定理であって、関数f(x)の定義域の全領域について成り立つ関係を述べた定理では無いというのが第2のポイントです。
 すなわち、関数f(x)は、その定義域内ではあるが、その一部の領域:
a≦x≦b
の外の領域:
x<aや、b<x
の点では連続で無くても良く、
関数f(x)を積分して微分した導関数が元のf(x)に戻る必要も無い。
そういう異常な領域を除外した領域
a≦x≦b
に限ることで、
定理が適用できる関数f(x)の自由度を高くしているという特徴もあります。 

例えば、以下の図の、関数f(x)が連続な範囲で、f(x)を積分してF(x)が得られます。
(注意)この関数f(x)は、x=0で不連続ですが、その不連続点以外の図の、関数が連続な範囲内のxで連続です。その範囲内で、この関数f(x)が連続関数(その領域内で関数が連続)であると定義されます。 
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
このF(x)を、元の関数が連続な範囲で微分すれば、その範囲内では、元と同じ関数f(x)が得られます。

(補足)
  元の関数f(x)の定義域の境界では、導関数F’(x)が定義されないが、その境界のxの値は、関数f(x)が連続な範囲の外にあるので、関数f(x)の連続である範囲に限れば、導関数F’(x)が存在し、それがf(x)に一致する。

(連続関数(その領域内で連続な関数)を使う利点)
変数xが、
a≦x≦b
で連続な連続関数f(x)(その領域内で関数が連続)の関数の定義域は、少なくとも、
a-δ<x<b+δ
の範囲を含みます。
 (関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
そして、関数f(x)は、それが定義された範囲で積分できるので、f(x)を積分して得た関数F(x)の定義域はf(x)の定義域と一致します。
そのため、関数f(x)及びF(x)は、その定義域より狭い範囲である:
a≦x≦b
において微分可能になり得ます。
この、微分可能な範囲は、関数f(x)が連続な範囲と同じになります。
 これにより、関数f(x)が連続な変数xの範囲で、関数f(x)及びF(x)が微分可能にもなり得るという、使い易い利点があります。

《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》

【問題を解く実用性に優れた形で表現した、微分積分学の基本定理】
大学1年生向けの参考書であるが、高校2年生が勉強するのに良い参考書の、「やさしく学べる微分積分」(石村園子) の106ページに書いてある形の、微分積分学の基本定理が、問題を解く役に立つ、実用性に優れています。
(基本定理の定義の開始)
 関数y=f(x)が、
a≦x≦b
上で連続とする。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
とおくと、次のことが成り立つ。
(1)S(x)はf(x)の原始関数の1つである。
(2)F(x)をf(x)の任意の原始関数とすると、
 が成立する。
(定理の定義おわり)

【この定理の主要な命題の対偶】
 この定理の意味を理解するために、この定理の述べる主要な命題の対偶を考えて、対偶によって定理を理解するようにします。

(基本定理の対偶(その1)の定義の開始)
とおいたとき、ある値のcとdで
となるならば、
関数y=f(x)は、
a≦x≦b のどこかで不連続である。
(対偶(その1)の定義おわり)
 この対偶が成り立つだろうかと考えると、f(x)が不連続であっても、
とはならず、この式の左右の辺の式は等しくなると考えます。
 この式の左右の辺の式が等しく無いという事にはならなければ、左右の辺の式が等しく無い場合にどうなるかという話自体が意味を失います。
 このことによって、この定理に対偶(その1)が成立し得ると考えたことが、意味の無い事を考えるという間違いであり、それでは、この定理を正しく理解していなかったことが分かりました。

 再度、この定理を正しく理解したと言える、定理の対偶を考えます。
(基本定理の対偶(その2)の定義の開始)
とおいたとき、ある値のcとdで
という計算をすることができない場合は、
関数y=f(x)は、
a≦x≦b のどこかで不連続である。
(対偶(その2)の定義おわり)
 すなわち、この対偶(その2)は、不連続点を含む範囲では積分できないことがあると言う命題です。
 この命題は意味を持ちます。
 意味のある対偶が考えられたので、対偶の元になった定理も、そのように解釈すべきです。

(基本定理の正しい定義の開始)
 関数y=f(x)が、
a≦x≦b
上で連続とする。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
その条件が成り立つならば、必ず、 
という計算をすることができる。
そして、次のことが成り立つ。
(1)S(x)はf(x)の原始関数の1つである。
(2)F(x)をf(x)の任意の原始関数とすると、
 が成立する。
(定理の定義おわり)
  すなわち、基本定理の意味は、その定理の命題が、S(x)の式の積分計算を可能にする十分条件(関数が連続である)を述べたものであることがわかります。
 この基本定理の命題が正しいか否かは、連続関数(その領域内で関数が連続)が、「関数の積分を可能にする十分条件」になるか否かによって決まる、そして、関数はその関数が連続な領域で積分可能なので、微分積分学の基本定理が成り立つ、ということがわかります。

(まぼろしの基本定理の予感)
 微分積分学の基本定理をこの形で表現すると、微分積分学の基本定理の抱える問題点が良く分かると思います。
連続関数(その領域内で関数が連続)については、積分して微分すると元の関数が得られるという便利な特徴がありますが、他の関数にも、そういう特徴を持つ関数が無いか、調べてみましょう。
 下図の関数F(x)とF’(x)=f(x)を考えてみます。
関数F(x)はx=0で連続な関数です。
この関数F(x)を微分すると、下図の関数f(x)が得られます。
この関数f(x)はx=0では連続ではありません。
しかし、この関数f(x)を積分すると、F(x)を得ることができます。
この関数f(x)はx=0で連続で無いので、x=0を含むxの範囲で微分積分学の基本定理が適用できません。
しかし、
x=0を含む範囲で、微分積分学の基本定理の結論である:
 が成立します。
このことから、
以下のまぼろしの基本定理がありそうです。
【まぼろしの基本定理】
関数y=F(x)が、
a≦x≦b
上で連続とする。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
関数F(x)が、
a<x<b
で微分可能で、その範囲内で、
F’(x)=f(x)になるとする。

 ここで、関数f(x)の値が存在しない境界点のx=a又はbがある場合:
関数f(x)の値が存在するxの値の範囲がa<x<bならば、そのxの値の範囲の境界点の極限値のaとbが考えられる。
その関数f(x)の値が存在するxの値の範囲a<x<bの範囲内で関数f(x)を積分した結果のF(x)の値の、
x→a の極限を、F(a)とし、
x→b の極限を、F(b)とし、
a<x<bでの積分範囲の極限の、a≦x≦b
での積分を、
F(b)-F(a)
と定義する。そう定義すると:
 が成立する。
(まぼろしの基本定理の定義のおわり)

「やさしく学べる微分積分」(石村園子)の106ページの形の微分積分学の基本定理を使うと、以下の定理がすぐに導き出せる。
【定理】
a≦x≦b
の範囲で連続な関数f(x)がある場合:

(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい) 
a<x<b
の範囲で、
f(x)>0
ならば、
a≦x≦bの範囲で、
f(x)の原始関数F(x)は単調増加である。
(定理の定義おわり)

(証明開始)
関数f(x)が
a≦x≦b
で連続であるので、
a≦x<x≦b
なるxとxに関して、
微分積分学の基本定理により、

よって、
F(x)は単調増加である。
(証明おわり)


 高校で扱う連続関数(その領域内で関数が連続)はこの定理の条件を満足するので、この定理があれば十分と思いますが、「まぼろしの定理」が使えるならば、f(x)が連続関数(その領域内で関数が連続)で無くても、F(x)が連続関数(その領域内で関数が連続)であるだけで十分のようにも思います。

 実際、以下の定理があります。
【定理】
a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)がある場合:

(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
a<x<b
の範囲で、
F’(x)≡f(x)>0
ならば、
a≦x≦bの範囲で、
関数F(x)は単調増加である。
(定理の定義おわり)


 この定理の証明に、怪しげな「まぼろしの定理」を使えますが、先ずは、それを使わずに、伝統的に確立されている平均値の定理を使って、この定理を証明しておきます。
(証明開始)
a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)が:

a<x<b
の範囲で微分可能で、
F’(x)=f(x)
の場合、
平均値の定理によって、
a≦x1<x2≦b
なるx1とx2に関して、
(F(x2)-F(x1))/(x2-x1)=f(x)
となるxが、
a≦x1<x<x2≦b
に、少なくとも1つ存在する。
その範囲で、
f(x)>0
なので、
F(x2)>F(x1)
である。
よって、F(x)は単調増加である。
(証明おわり) 

(備考2)
 なお、全ての種類の関数における、積分前の関数f(x)と、微分前の関数F(x)との、変数xの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
(なお、F(x)として考えられる関数の、関数が連続な領域内の至るところ微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、不連続点を持たないが、微分不可能です。)
(上図で、関数f(x)は、除去可能な不連続点を除去した関数です。関数F(x)は、関数F(x)の不連続点を除いた変数xの範囲でf(x)の原始関数であるとともに、f(x)の原始関数でもあります)

 上図の、f(x)とF(x)の関数のセットの例:
以下で定義する関数のセットでは、f(x)にx=xで除去不可能な不連続点があって、f(x)は不連続関数(その点で関数が不連続な関数であって、その点以外の領域では関数が連続な連続関数である)です。
 しかし、この不連続点を持つ関数f(x)を、その不連続点を含む範囲で定積分することで定義した関数F(x)が、その不連続点の位置xでも変数xで微分可能で、F(x)を微分すると再び不連続点を持つf(x)が得られます。
(F(x)の定義)
x≠0の場合:
x=0の場合: F(0)=0,

(導関数f(x))
この関数F(x)はx≠0の場合も、x=0の場合も、微分可能で、
その導関数f(x)は、以下の式であらわせます。
x≠0の場合の微分:
になり、xが0に近づくとー1と1の間を振動します。
この導関数が含むcos(1/x)の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。
X=0の場合にも、F(x)は微分可能で:
というように、0になります。
そのため、この導関数f(x)は、x=0で連続ではありませんが、F(x)を微分することで得られます。
この導関数f(x)は積分可能であり、積分するとF(x)になります。 

 この関数F(x)はx=0で連続な連続関数(その点で関数が連続)です。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
 F’(x)=f(x)はx=0で微分可能では無く不連続なので、x=0を含むxの範囲では微分積分学の基本定理が適用できませんが、「まぼろしの定理」が適用できるように思います。

 この様な複雑な関係の中から、比較的に扱い易い連続関数(その領域内で関数が連続)を使って従来の微分積分学の基本定理が定められています。

 また、大学以上の微分積分学では、積分の定義をどんどん拡張して、何でも積分できるようにして、ある関数f(x)を積分して不連続点を持つ関数F(x)を得ることができるようにし、その不連続点を持つ関数F(x)を微分して関数f(x)を得ることができるように、微分の定義も拡張するというような事も行なわれます。
 そのように微分・積分の定義を拡張する入口に、微分積分の基本定理が置かれています。
 そのため、微分積分学の基本定理の:
という式の意味することは:
この公式の前提条件以外の条件によってこの式と異なる結果が得られるわけでは無く、
この式を成り立たせるように、f(x)とF(x)を対応させる規則である微分と積分とを矛盾が生じ無い様に定義を修正して、この式を成り立たせているのです。
 そういうわけなので、
a≦x≦bの範囲で、
F(x)が連続な関数とし、
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
そのF(x)が、
a<x<bの範囲で微分可能で、
f(x)=F’(x)
が有限な値で存在する場合は、
f(x)の積分の範囲の取り方を、
f(x)が、x=aやx=bで存在しない場合にも、
f(x)をaからbの範囲で積分可能にするように積分の定義を微妙に修正するだけで、
という式を計算可能にする「まぼろしの定理」を作りあげることができます。
そういう、積分の定義の修正を加えるだけで、「まぼろしの定理」が適用可能になります。
 「やさしく学べる微分積分」(石村園子)の107ページの説明にある、106ページの形の微分積分学の基本定理への感想:「この定理は、f(x)の原始関数を定積分を使って定めてあるところがすばらしい」と書いてあるとおり、
素晴らしい表現だと思います。
という形の定積分を使ってf(x)原始関数F(x)を定めている本質的な表現をしているので、微分積分学の基本定理の前提である:
a≦x≦b
で関数f(x)が連続であれば、
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
という条件は、定積分を可能にしている条件に過ぎないことが顕わに見えています。

【まぼろしの基本定理の厳密な定義】
 定積分の定義が修正されて、従来の積分の定義では原始関数F(x)が定義できなかった関数f(x)を、同じ形の定積分で原始関数F(x)を定義できるように積分の定義を修正すれば、微分積分学の基本定理が適用できる関数f(x)の種類を拡大して「まぼろしの基本定理」を構成できることが分かります。
(1)そして、そのように積分の定義を修正し、F(x)が連続関数(その領域内で関数が連続)であるという条件だけを定め、
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
f(x)が連続関数(その領域内で関数が連続)で無くても(積分範囲内にf(x)の関数値が存在しない不連続点があっても)積分を適用できるようにする。
(2)更に、 微分する点を含む領域内で連続な関数F(X)の微分により得ることができる関数f(x)を、以下の処理で定義することができます。
(2-1)すなわち、ある関数f(x)の不連続点x=x0で関数が極限値を持つ場合、その不連続点での関数f(x0)の値をその極限値に修正して不連続点を解消する。
(2-2)その他の不連続点については、その不連続点x=x0 を含む領域で関数f(x)を積分して関数F(x)を得て、関数F(x)を微分した場合の不連続点x=x0で導関数の値が元のf(x0)と異なる場合(例えばF(x)がx0で微分不可能で関数値が無い場合)には、関数f(x)の関数値f(x0)を、その導関数の値に修正する。
(2-3)以上の処理で定義した関数f(x)を、「まぼろしの基本定理」を適用する対象の関数f(x)とします。すなわち、定理の対象にする関数f(x)を、連続関数F(x)を微分することで得られる関数に限定します。
 また、定理の対象にする連続関数F(x)も、それを微分した関数を積分することで再び得られる関数に限定します。詳しくは、連続関数F(x)を、それが微分不可能な点が散在するにしても、大部分のxの値で微分可能な連続関数F(x)に限定します。
そのように限定した関数f(x)に対して、その修正した定義による積分の計算をすると:
が成り立ち、また、次のことが成り立つ。
(3)S(x)はf(x)の原始関数の1つである。
S(x)は連続関数(変数xの定義域内で関数が連続)になる。
(4)連続関数F(x)をf(x)の任意の原始関数とすると、
 が成立する。
(まぼろしの基本定理の定義おわり)

 このまぼろしの基本定理が 成り立つ条件を整えるために、f(x)を積分した結果の(xの定義域内で)連続な関数F(x)を微分した導関数の関数値がf(x)の関数値と同じになるという特徴がある関数f(x)を選びました。(そうならない関数もありますが、そういう関数f(x)は除外してあります)

 この「まぼろしの基本定理」を使えば:
【定理】
a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)がある場合:

(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
a<x<b
の範囲で、
F’(x)≡f(x)>0
ならば、
a≦x≦bの範囲で、
関数F(x)は単調増加である。
(定理の定義おわり)

という定理を、微分積分学の基本定理を使った証明の場合と同様な手順に従って、まぼろしの基本定理を使って証明することができます。
 ただし、この様に定義した関数f(x)に対して、このように修正した積分方法で積分することで得られる連続関数F(x)に限定された証明にはなります。例えば、関数が連続な領域のあらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は連続関数F(x)の候補として使えませんが、、、(例え候補になれても、微分が不可能なので、その関数はこの定理のF(x)の条件から外れる)。 
 こうして、この定理が対象にする連続関数(所定領域内で連続な関数)F(x)が、その様に定義された関数f(x)から積分することで得られる連続関数F(x)に限定されます。そして、関数が連続な領域の至るところ微分不可能な関数が定理の対象とする連続関数F(x)から除外されます。そういうふうに、まぼろしの基本定理が対象にできる連続関数F(x)が制限されている、定理の限界によって、この証明方法で証明されるのは、そういう連続関数F(x)に係る場合だけに限定されるので、この証明方法は、全ての連続関数F(x)について定理を証明したわけでは無く、この証明は不完全です。
 しかし、これにより、この定理の確からしさを確認でき、この証明方法によって定理の持つ意味が分かると考えますので、この証明方法の価値があると考えます。
 また、F’(x)がa<x<bで微分可能であるという条件があるので、その条件が加わった連続関数F(x)は、まぼろしの基本定理の対象にする連続関数の集合に含まれることを証明できそうだと考えます。それが証明できれば、以上の証明方法は、「完全な証明」になり得ると考えます。

 なお、この定理の対偶も正しく成り立ちますが、その対偶の一部の、正しく成り立つ定理を、以下の様に表現することができます。
【定理の対偶(の一部)】
a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)であり、

 a<x<b
の範囲で微分可能な関数F(x)が、

a≦x≦bの範囲で、単調増加で無い
(例えばある領域でF(x)が同じ値に停留したり、減少したりする)
ならば、
a<x<b
の範囲内に、
F’(x)≡f(x)≦0

となる点が必ず存在する。
(定理の定義おわり)

(注意)先の定理(命題)の対偶は、以下の様に、定理の前提条件(関数F(x)が所定領域内で連続であること等)を否定した場合も想定した命題になります。
【定理の対偶】
a≦x≦bの範囲で、
関数F(x)が
単調増加で無い
(例えばある領域でF(x)が同じ値に停留したり、減少したりする)
ならば、
(場合1)
a≦x≦b
の範囲で、関数F(x)が連続で無いか、

(場合2)
関数F(x)はその範囲で連続ではあるが、
 a<x<b
の範囲で微分不可能な点があるか、

(場合3)
関数F(x)はその範囲で連続で、
かつ、 a<x<b の範囲で微分可能
ではあるが、  
a<x<b の範囲内に、
F’(x)≡f(x)≦0

となる点が必ず存在する。
かの何れかである。
(定理の定義おわり)

 先の【対偶の一部】は、この【対偶】における場合3を述べた命題でした。
 ここで、条件付きで定義した命題は、
その条件が成立しないときには、その命題の結論が成立しない事もあるという意味を含んだ命題になりますので、
結局、上の場合1と場合2の想定は、条件付きで定義した命題の意味の中に含まれていることになります。
そのため、先の、【定理の対偶(の一部)】の命題は、
結局、定理の対偶によって表現される内容の全部を含んでいます。そのため、定理の対偶の一部では無く、定理の対偶の全体をあらわすものでした。
 定理の成立条件の位置付けをこの様に解釈すると、この「定理の対偶」の定理(命題)の対偶が、以下の様にあらわせます。
【定理】
a≦x≦b
の範囲で連続で、

a<x<b
の範囲で微分可能な関数F(x)が、
 

その範囲での微分係数が全て、
F’(x)≡f(x)>0

ならば、
その関数F(x)は、a≦x≦bの範囲で、単調増加である。
(定理の定義おわり) 
 この命題は、元の定理ですので、元の定理が「対偶の対偶」によって再現できました。

 なお、
「まぼろしの定理」 を使えば、単調増加関数F(x)の範囲を拡張した以下の定理もやさしく証明できます。
【定理】
a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)がある場合:

(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
a<x<b
の範囲で、
F’(x)≡f(x)≧0

であり、
そのうち、
f(x)=0となる点は有限個数存在するだけならば、
a≦x≦bの範囲で、
関数F(x)は単調増加である。
(定理の定義おわり)

という定理も簡単に証明できます。
積分範囲内に、F’(x0)=0となる点
x=x0が、
a≦x≦b内の、
c<d
となるcからdまでの領域内の全ての点でF’(x)=0であれば、
そのcからdまでの積分結果=0
となります。
しかし、有限の幅を持った領域にわたっては
F’(x)=0
とはならず、
所定領域内に、
F’(x)=0となる点が有限の個数有るだけならば、
その領域での積分結果>0
になるからです。

もう1つ、以下の関数F(x)が単調増加であることも、
「まぼろしの定理」を使ってやさしく証明できます。
(関数F(x)の定義)
x=0のとき: F(x)=0,
0<x≦1において、
F’(x)=1+cos(1/x),
この関数F(x)は、
0≦x≦1
の範囲内に、 無限個のF’(x)=0となる点がありますが、
0≦x≦1
の範囲内で連続、かつ、単調増加です。
(関数の定義域は、必ずそれが連続な領域よりも広いということは、いつも意識していて下さい)
このことは、
「まぼろしの定理」を使ってF’(x)を積分してF(x)を求める計算式を書けば分かります。

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2018年5月10日木曜日

条件付き命題の対偶の表現のバラエティ

【問1】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Aが成り立つ場合に、
「BならばCである。」

【解答】
 この問題の命題は、
「AでありBならばCである。」
 と言い換えることができます。
その対偶は、
「Cで無ければ、Aで無いかBで無いかである。」 
 という命題になります。
(解答その1)

その命題を言い換えると:

「条件Aが成り立つ場合に、
Cで無いならばBで無い。」
と言い換えることができます。

「条件Aが成り立つ場合に」
という言葉には、
「条件Aが成り立たない場合は、
他の条件Bがどうであっても、
「Cで無いことが起こり得る」
すなわち、
「Cで無いならば、他の成立条件が成り立っているか、
あるいは、条件Aが成り立っていないかのどちらかである。」 
と言う意味が含まれています。

よって、この問題の解答として:
(解答)
「条件Aが成り立つ場合に、
Cで無いならばBで無い。」
(解答2)
と答えても正しい解答です。
(解答おわり)

【問2】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Aと条件Bが成り立つ場合に、
「CならばDである。」

【解答】
 問1と同様に考えることができ、
問2の命題の対偶は:
「条件Aと条件Bが成り立つ場合に、
Dで無ければCで無い。」
である。
(解答おわり)

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