2018年5月29日火曜日

3次関数のグラフの2接点の交点を通る第3の接線の接点

【問】
上の式1の3次関数のグラフの点Aでの接線と点Bでの接線の交点をPとする。交点Pを通って式1の曲線に点Cで接する第3の接線PCを考える。
点Cのx座標を、点Aと点Bのx座標であらわす式を求めよ。
ただし、点Pのy座標≠0とする。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

リンク:
高校数学の目次


2018年5月25日金曜日

ひし形の対角線の直交の公式と2重平行四辺形の面積の公式

以下の「ひし形の対角線の直交の公式」は、このページの読者の心の隅っこのどこかに残れば良いと思います。ガチガチに覚えないようにして、数学を楽しんで欲しいと思います。
 読者が、この公式が必要になった時に、「たしか、そのような式がありそうな気がする」と思いだして、読者が自力でこの公式を導き出して使えたら良いと考えます。
(公式は全て、必要な時に自力で導き出して、それが使えれば良いと思います。)

【ひし形の対角線の直交の公式】
 下図のひし形OAKBの2つの対角線OKとABが互いに直交することが、
以下の図の線分OKの傾きが、線分ABに平行な線分OHの傾きの逆数×(-1)である、ことにより証明できます。
【公式の証明】
(OA)-(OB)
ー1/(OHの傾き)=(OKの傾き)
∴ OKとOHは直交する。
∴ OKとABは直交する。
「この式6の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
(ひし型の対角線の直交の公式おわり)

(補足)この公式を逆にして認識した方が良いかもしれない。
 ひし形の対角線が互いに直交することは幾何学的に証明できます。
 そして、この公式の逆の証明により、線分OKと線分ABが互いに直交する場合は:
ー1/(ABの傾き)=(OKの傾き)
となる事が証明できる。
 なお、
ー1/(ABの傾き)=(OKの傾き)
となる事も、
以上の計算をしないでも、幾何学的に証明できます。

【ひし形の対角線の直交の公式の応用】
ひし形の対角線の直交の公式は、以下のように、ベクトルの内積の式を変換する計算に使います。
上図のベクトルに関してひし形の対角線の直交の公式は、以下の式a1又はa2であらわせます。
式a3のように、ベクトルの内積の式が、式a2を使って変換できます。
また、この式a3を使うと、以下の式a4であらわす、
任意の定数sで成り立つベクトルの内積の変換公式が作れます。

【2重平行四辺形の面積の公式】
 ここで、もう1つの式7で与えられる、2重平行四辺形の面積の公式も覚えて使いましょう。
(これは、OAの長さとOBの長さが異なっても成り立つ恒等式です)
この式7の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
 この式7の公式は、以下の図の2重の平行四辺形の面積の大きさの関係をあらわす公式です。
(この計算は、ベクトルの外積の計算であり、並行四辺形の面積を求める計算であるという意味を持ちます。)
 (2重平行四辺形の面積の公式おわり)

リンク:
高校数学の目次

2018年5月24日木曜日

交差する曲線の全ての交点を通る全ての直線

以下で、交差する曲線(直線も曲線の一種)の全ての交点を通る全ての直線を求める方法を調べる。

【課題】2つの曲線:
(直線1)   y=0  (式1)
(放物線2)  y=x (式2)
がある。この2つの曲線の交点を全て(この場合は座標原点のみ)を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の曲線1(式1)と曲線2(式2)の連立方程式の解が交点(この場合は座標原点)の座標になる。

この式1と式2をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

(調査研究の開始)
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式4)

(第1の計算方針)
新しい直線の式を求めるには: 式1を、式2に代入すると、以下の式3が得られる。
0= x 
∴ x=0 (式3)
この式3は、新しい直線をあらわす式でもある。

式1と式3を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式4)
が得られる。

この式4は、任意のaとbに関する直線をあらわす式でもある。この式4は、式1の曲線と式2の曲線の全ての交点(原点のみ)を通る。

 こうして、式1を式2に代入する計算をすれば、式1の曲線と式2の曲線の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

(第2の計算方針)
 式1と式2を重みを付けて足し合わせる計算をしてみる。
式2を変形する。
y- =0  (式2’)
(式2’)ー(式1):
0- =0 
x=0 (式3)
これによっても式3が得られる。
式1と式3を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式4)
が得られる。

(補足)
 この事例の場合は、第2の計算方針によっても、全ての交点を通る全ての直線を求めることができた。
しかし、後で説明する他の事例「円と円の交点」の場合では、第2の計算方針によっては、全ての交点を通る全ての直線を求めることはできない。
 全ての交点を計算するには、先の図のような図を描いて答えを予測できるように計算の見通しを良くした上で、その答えが得られるように計算式を導く事が良いことが分かった。
(計算の見通しを良くするにはベクトルで考える)
 式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて(整理して)考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

リンク:
高校数学の目次

2018年5月23日水曜日

2円の交点を通る直線が全て求められるのか?

以下で、2円の交点を通る直線の全てを求めることができるか調べる。

【課題】2つの円、
(円1) (x-1)+y=1 (式1)
(円2) (x+1)+y=1 (式2)
がある。この2つの円の交点を全て(この場合は座標原点のみ)を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の円の(式1)と(式2)の連立方程式の解が交点(この場合は座標原点)の座標になる。

この式1と式2をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

(調査研究の開始)
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
(直線3) ax+by=c (式3)

(第1の計算方針)
m(式1)+n(式2)を計算することで、直線3の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にmを掛け算してm倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
(円1) (x-1)+y-1=0 (式1’)
-2x+1+y-1=0,
+y-2x=0 (式4)

(円2) (x+1)+y-1=0 (式2’)
+2x+1+y-1=0,
+y+2x=0 (式5)

(直線3の式の計算)
先ず、m(式4)+n(式5)を計算することで、直線3の式を求める。
m(x+y-2x)+n(x+y+2x)=0 (式6)
この式6を、式3と等しくなるように、mとnの値を決める。
式6と式3を比較し易いように、式6を変形する。
(m+n)x+(m+n)y
+(-2m+2n)x
=0, (式7)
直線の式3には、xの項やyの項が無いので、上の式7もそれらの項の係数が0でなければならない。

(詳しくは、以下のように考える)
式7が式3と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
         <式7> <式3>
の係数: (m+n)  =0, (式8)
の係数: (m+n)  =0, (式8と同じ)
xの係数: (-2m+2n)=a,
yの係数:       0 =b,
定数項の係数:     0 =-c,

式8以外の式は未知数a,b,cを定める式であって、mとnを限定する式ではないので、mとnを限定するのは式8のみ。
よって、
m+n=0 (式8)
この式8の条件を満たすmとnのどの組合せでも良い。
とりあえず、m=1、n=-1に決める。
その場合は、式7は、以下の式になる。
(-2-2)x=0,
-4x=0,
(-4)で式全体を割り算する。
x=0 (式9)
この式9が求める式3の形(を変形した形)の具体的式である。

(注意)この式9は、式4と式5を加えて得た式であるので、式1と式2の円の交点(座標原点)を通る。
しかし、図から明らかなように、円1と円2の全ての交点(座標原点のみ)を通る直線は、この式9だけでは無い。

(結論)
 式6の計算だけでは、円1と円2の全ての交点を通る全ての直線の式が得られないことがあることが分かった。
 (疑問)
 式6の計算によって、式4と式5を加え合わせるmとnの値をどの様に変えても、この式9の直線以外は得られないのだろうか、どこに見落としがあるのだろうか。

 この疑問への答えを考えた結果、以下の答えが得られた。

(疑問の解決)
 式9を、式4又は式5に代入すると、以下の式10が得られる。
=0 (式10)
∴ y=0 (式11)
式9と式11を連立すると、
任意のaとbに関して:
ax+by=0 (式12)
すなわち、任意のaとbに関する直線が、
円1と円2の全ての交点(原点のみ)を通る。

 こうして、式9を元の円の式に代入する計算をすれば、円1と円2の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

 この様に、式9を元の円の式に代入するという発想は、式9だけでは円の交点を通る全ての直線が求められていないという事が分かっているからこそ、発想できた。そのように解の全てが予測できなければ、この解には至らなかった。
(結論)
 以上の考察の結果、計算する際には、その計算で得られた解が全ての解であるかが分かるように、計算の見通しを良くする事がとても大切であることが分かった。
(計算の見通しを良くするにはベクトルで考える)
 式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて(整理して)考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

リンク:
高校数学の目次

2018年5月11日金曜日

微分積分学の基本定理

https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/06/blog-post_2.html
https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_17.html

 微分積分学の基本定理は、高校の微分積分で当然な定理として使っています。

 しかし、正しい「微分積分学の基本定理」は、関数f(x)を、それが連続している連結区間で積分する場合に限られています。関数f(x)を、それが連続する連結区間a≦x≦b
内で定積分(注意:高校教科書の定積分の定義は間違っています)することで関数S(x)を求めます。
その関数をxの関数(不定積分)として求めます。
その不定積分は苦労して計算して求めます。
ところが、ある1つながりに連続な関数F(x)を微分して求めた導関数がf(x)と一致するならば、そのF(x)が苦労して求めるべき不定積分S(x)と一致することが分かりました。
それにより計算がとても楽になったので 感動した!
という内容が、微分積分学の基本定理です。
(1つながりに連続な関数F(x)がf(x)の原始関数です) 
-----【原始関数の正しい定義】---------------
関数F(x)が、連結区間a<x<bのどの点でも連続、かつ、微分可能な関数であれば、F(x)を微分して導関数f(x)が求められる。この場合に、F(x)を関数f(x)の原始関数と言う。
藤原松三郎の「微分積分学 第1巻
 すなわち、原始関数は連結区間における連続関数であり1つながりのグラフであると定義されています。
-------原始関数の定義おわり-----------------

 しかし、高校の数学の教科書では、関数の不定積分S(x)を、
S’(x)=f(x)
となる原始関数として定義しています。
そのように定義すると、
そういうふうに定義した「積分」(微分積分学の基本定理が成り立つように積分を定義した)を、
微分積分学の基本定理の「積分」の定義にすると、
微分積分学の基本定理の意味が不明になります。
教科書の積分の定義が微分積分学の基本定理そのものですので、その定義と同じ内容に見える微分積分学の基本定理を説明する意義が有りません。

 しかし、「積分」がそのように定義されるという教科書の記述は嘘です。 
積分は、不定積分を求める事が課題であって、
原始関数は、その不定積分を求める手段として利用されているに過ぎないのです。
教科書の定義が嘘であるため、微分積分学の基本定理の存在意義があります。
 そもそも、積分の概念は、日本の高校の教科書が微分の逆演算で定義しているような狭い貧弱な概念ではありません。積分の概念は、数学の研究対象を微小な部分に分割して研究し、その微小部分を集積した全体にまとめ上げて全体を考えるという、適用範囲が広い概念なのです。

 高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。
連続関数の定義も間違いを教えています。
読まない方が良いのではないかと考えます。高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校2年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は:
「やさしく学べる微分積分」(石村園子) ¥2000円
が内容がわかり易くて良いと思います。
この本の36ページから45ページまで読めば、微分の概念から始めて合成関数の微分の公式まで学ぶことができます。

 高校生は、成人に成長する最終段階にいます。自ら研究して数学の独自分野を開拓する高校生もいると思います。高校生は数学の参考書を高校生向けの本に限定するこだわりは捨て、大学生向けの参考書も、自分に合っていると思えばどんどん吸収していく事が望ましいと考えます。

【微分積分学の基本定理】
関数f(x)が、変数xの実数の連結区間a≦x≦b
において連続な関数である場合を考える。
すなわち、その連結区間で1つながりのグラフであるとする。
(1)
x=aにおいてf(x)が連続であるので、関数の連続の定義に従って、
その連結区間内で関数が連続なので、
x→a でのf(x)の片側極限値と、
x=aにおける値f(a)とが等しい。
(2)
x=bにおいてf(x)が連続であるので、
bについても同様な関係がある。
(3)
 また、関数f(x)が定義されている変数xの連結区間で関数f(x)が積分可能です。そのため、その変数xの連結区間での積分結果の関数F(x)は、その変数xの連結区間で値を持ちます。すなわち、積分結果の不定積分F(x)は被積分関数f(x)と同じ連結区間のxの定義域を持ちます。
(4)
連結区間a≦x≦b
の変数xの範囲で定義されている不定積分F(x)を微分する場合に、関数F(x)の境界でも微分可能になり得るように微分の定義が修正されています。

(5)
以上で説明した定義域を持つ関数f(x)に関して、
不定積分F(x)に関して、
連結区間a≦x≦b
の範囲のxに関して以下の関係式が成り立つ。
F’(x)=f(x)
すなわち、不定積分F(x)を微分して得た導関数は、元の連続関数f(x)(その連結区間内で連続な関数f(x))と一致する。
(基本定理の定義:おわり)

(備考1)
(基本定理の定義のポイント)
 この基本定理の定義のポイントは、
関数f(x)はもともとは大きな定義域があったが、その定義域を狭めた連結区間a≦x≦bを新たな定義域にした新たな関数として、連結区間とセットにされて定義されている関数であるというのが第1のポイントです。 すなわち、関数f(x)は、連結区間a≦x≦bを新たな定義域にした関数である。
その連結区間の外の領域:
x<aや、b<x
の点で、もとの定義域の関数f(x)が無限大になっても良い。
元の関数f(x)のそういう異常な領域を除外した連結区間
a≦x≦b
に限って定義された関数である。
その連結区間で定積分することで、
区間を限定して定理を適用できる元の関数f(x)の選択の自由度を高くしているという特徴があります。 

例えば、以下の図の、関数f(x)が連続である連結区間で、f(x)を積分してF(x)が得られます。
(注意)この関数f(x)は、x=0で不連続ですが、その連続で無い点以外の図の、関数が連続な連結区間内のxで連続です。その連結区間内で、この関数f(x)が連続関数(その連結区間内で関数が連続)であると定義されます。 

このF(x)は、連結区間a≦x≦bで定義される。
F(x)をこの連結区間で微分すれば、再び関数f(x)が得られます。
《下図に各種の関数の集合の包含関係をまとめた》

【問題を解く実用性に優れた形で表現した、微分積分学の基本定理】
大学1年生向けの参考書であるが、高校2年生が勉強するのに良い参考書の、「やさしく学べる微分積分」(石村園子) の106ページに書いてある形の、微分積分学の基本定理が、問題を解く役に立つ、実用性に優れています。
(基本定理の定義の開始)
 関数y=f(x)が、
連結区間a≦x≦b
上で連続とする。
(連続関数の定義域は、それが連続な連結区間以上あるということは、いつも意識していて下さい)
とおくと、次のことが成り立つ。
(1)S(x)はf(x)の原始関数の1つの不定積分である。
(原始関数は、連結区間で1つながりの連続関数であり、その全区間内で微分可能な関数です。) 
(2)F(x)を、連結区間を定義域とするf(x)の、その連結区間内で1つながりに連続な関数である原始関数の任意の1つとすると、
 が成立する。
(定理の定義おわり)

【この定理の主要な命題の対偶】
 この定理の意味を理解するために、この定理の述べる主要な命題の対偶を考えて、対偶によって定理を理解するようにします。

(基本定理の対偶(その1)の定義の開始)
とおいたとき、ある値のcとdで
となるならば、
関数y=f(x)は、
連結区間a≦x≦b のどこかで不連続である。
(対偶(その1)の定義おわり)
 この対偶が成り立つだろうかと考えると、f(x)が不連続であっても、S(x)が計算できる(積分可能である)ならば、
とはならず、
この式の左右の辺が等しくなります。
(ここをクリックした先のページを参照)
 その場合には、この式の左右の辺が等しく無いという事にはならないので、
そうなる場合にどうなるかという話自体が意味を失います。
 このことによって、この定理の対偶(その1)が成立し得ると考えたことが、意味の無い事を考える間違いであり、それでは、この定理を正しく理解していなかったことが分かりました。

 再度、この定理を正しく理解したと言える、定理の対偶を考えます。
(基本定理の対偶(その2)の定義の開始)
とおいたとき、ある値のcとdで
という計算をすることができない場合は、
が計算できず、また、関数y=f(x)は、
連結区間a≦x≦b のどこかで不連続である。
(対偶(その2)の定義おわり)

 すなわち、この対偶(その2)は、連続で無い点を含む連結区間では積分できないことがあると言う命題です。
 この命題は意味を持ちます。
 意味のある対偶が考えられたので、対偶の元になった定理も、そのように解釈すべきです。

(基本定理の正しい定義の開始)
 関数y=f(x)が、
連結区間a≦x≦b
上で1つながりに連続とする。

その条件が成り立つならば、必ず、
という不定積分S(x)を計算をすることができる。
そして、次のことが成り立つ。
(1)不定積分S(x)はf(x)の原始関数の1つである。
(原始関数は、連結区間で1つながりの連続関数であり、その全区間内で微分可能な関数です。) 
(2)F(x)を、連結区間を定義域とするf(x)の、その連結区間内で1つながりに連続な関数である原始関数の任意の1つとすると、
 が成立する。
(定理の定義おわり)
  すなわち、基本定理の意味は、その定理の命題が、S(x)の式の積分計算を可能にする十分条件(関数f(x)が連結区間で1つながりに連続である)を述べたものであることがわかります。
 この基本定理の命題が正しいか否かは、連続関数(その連結区間内で関数が1つながりに連続)が、「関数の積分を可能にする十分条件」になるか否かによって決まる。

(定理の確認その1)
そして、その関数が、以下の図の様に、連結区間内で1つながりに連続な場合に積分可能である。

(定理の確認その2)
一方、以下の図の様に、関数が1つながりにならず不連続になる連結区間で積分が不可能になる場合がある。
そのため、微分積分学の基本定理が成り立っている、ということがわかります。

【定理の証明の前半】
 この微分積分学の基本定理の証明は、「やさしく学べる微分積分」(石村園子)の106ページの証明を読んで欲しい。

 その証明の前半(1)において、
関数y=f(x)が、
連結区間a≦x≦b
上で1つながりに連続とする。
その条件が成り立つならば、必ず、 
という計算をすることができる。
という命題が正しい事は、以下の様にして証明できる。
(証明開始)
 f(x)が連結な閉区間a≦x≦bで1つながりに連続な関数であれば、閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理によって、f(x)の値はある最大値と最小値の間の値に限られている。
そのように、ある最大値と最小値の間の値に限られている関数f(x)を、リーマン積分によって、微小領域の要素に分割して集積する積分S(x)の値の、分割数を無限大にする極限の値が存在する。
よって、S(x)が計算できる。
(証明おわり) 
(この証明の詳しい内容は、ここをクリックした先のサイトのページの「定積分の平均値定理」も参考になります)

すなわち、「関数f(x)が連結な閉区間a≦x≦bで1つながりに連続な関数であれば、
式S(x)であらわす、リーマン積分で計算する定積分が可能である。」
(微分積分学の基本定理の証明の前半(1)おわり) 

微分積分学の基本定理の証明の後半(2)が成り立つ事は、以下の様にして証明できる。
(証明開始)
 リーマン積分によって、微小領域の要素に分割して集積する積分F(x)の値の、分割数を無限大にする極限の値が計算できる場合は、
すなわち、微小領域の要素を集積する区間を分割して、
その分割した区間毎の要素の集積値の極限値を求める事ができる場合は:
リーマン積分の積分範囲の区間を、2の区間AとBに分割して、
区間Aでの要素の集積値の極限値+区間Bでの要素の集積値の極限値=区間Aと区間Bを合わせた区間での要素の集積値の極限値
になる。
ゆえに、微分積分学の基本定理の証明の後半(2)が成り立つ。
(証明おわり)

「やさしく学べる微分積分」(石村園子)の106ページの形の微分積分学の基本定理を使うと、以下の定理がすぐに導き出せる。
【定理】
連結区間a≦x≦b
の範囲で1つながりに連続な関数f(x)がある場合:

連結区間a<x<b
の範囲で、
f(x)>0
ならば、
連結区間a≦x≦bの範囲で、
f(x)の不定積分F(x)は単調増加である。
(定理の定義おわり)

(証明開始)
関数f(x)が
連結区間a≦x≦b
で連続であるので、
a≦x<x≦b
なるxとxに関して、
微分積分学の基本定理により、

よって、
F(x)は単調増加である。
(証明おわり)


以下の定理があります。 
【定理】
連結区間a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)がある場合:

連結区間a<x<b
の範囲で、
F’(x)≡f(x)>0
ならば、
a≦x≦bの範囲で、
関数F(x)は単調増加である。
(定理の定義おわり)


平均値の定理を使って、この定理を証明しておきます。
(証明開始)
連結区間a≦x≦b
の範囲で連続な関数F(x)が:

連結区間a<x<b
の範囲で微分可能で、
F’(x)=f(x)
の場合、
平均値の定理によって、
a≦x1<x2≦b
なるx1とx2に関して、
(F(x2)-F(x1))/(x2-x1)=f(x)
となるxが、
a≦x1<x<x2≦b
に、少なくとも1つ存在する。
その範囲で、
f(x)>0
なので、
F(x2)>F(x1)
である。
よって、F(x)は単調増加である。
(証明おわり) 

(備考2)
 なお、全ての種類の関数における、積分前の関数f(x)と、微分前の関数F(x)との、変数xの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
(なお、F(x)として考えられる関数の、関数が連続な領域内の至るところ微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、連続で無い点を持たないが、微分不可能です。)
(上図で、関数f(x)は、除去可能な連続で無い点を除去した関数です。関数F(x)は、関数F(x)の連続で無い点を除いた変数xの範囲でf(x)の不定積分であるとともに、f(x)の不定積分でもあります)

 上図の、f(x)とF(x)の関数のセットの例:
以下で定義する関数のセットでは、f(x)にx=xで除去不可能な連続で無い点があって、f(x)は不連続な関数(その点で関数が不連続な関数であって、その点以外の領域では関数が連続な連続関数である)です。
 しかし、この連続で無い点を持つ関数f(x)を、その連続で無い点を含む連結区間で定積分することで定義した関数F(x)が、その連続で無い点の位置xでも変数xで微分可能で、F(x)を微分すると再び連続で無い点を持つf(x)が得られます。
(F(x)の定義)
x≠0の場合:
x=0の場合: F(0)=0,

(導関数f(x))
この関数F(x)はx≠0の場合も、x=0の場合も、微分可能で、
その導関数f(x)は、以下の式であらわせます。
x≠0の場合の微分:
になり、xが0に近づくとー1と1の間を振動します。
この導関数が含むcos(1/x)の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。
X=0の場合にも、F(x)は微分可能で:
というように、0になります。
そのため、この導関数f(x)は、x=0で連続ではありませんが、F(x)を微分することで得られます。
この導関数f(x)は積分可能であり、積分するとF(x)になります。 

 この関数F(x)はx=0で連続な関数です。

 この様な複雑な関係の中から、比較的に扱い易い連続関数(連結区間内で関数が1つながりに連続)を使って従来の微分積分学の基本定理が定められています。

 また、大学以上の微分積分学では、積分の定義をどんどん拡張して、何でも積分できるようにして、ある関数f(x)を積分して連続で無い点を持つ関数F(x)を得ることができるようにし、その連続で無い点を持つ関数F(x)を微分して関数f(x)を得ることができるように、微分の定義も拡張するというような事も行なわれます。
 そのように微分・積分の定義を拡張する入口に、微分積分の基本定理が置かれています。
 そのため、微分積分学の基本定理の:
という式の意味することは:
この公式の前提条件以外の条件によってこの式と異なる結果が得られるわけでは無く、
この式を成り立たせるように、f(x)とF(x)を対応させる規則である微分と積分とを矛盾が生じ無い様に定義を修正して、この式を成り立たせているのです。

 微分積分学の基本定理の登場により我々に注意が喚起されたメッセージは、
『関数f(x)の積分を計算しようとする場合には、その積分区間における関数の性質(連続である等)を調べなければならない』
というメッセージです。
原始関数を用いて定積分を計算する演算の際に、その定積分の積分区間における関数の性質を調べる事を欠かしてはならない、というメッセージです。

 この大切なメッセージは、日本の高校の積分の授業では、教えられていません。 

そして、高校で習う、
「原始関数F(x)を使って、以下の計算で定積分する。」
に従って計算すると、以下の例の様に、
誤解された原始関数F(x)を使った計算では元の関数のグラフの面積が計算できず、
間違った答えになります。 

以下の様に、関数f(x)の連続で無い点を定積分の連結区間内に入れてしまうと以下の間違いをおかします。
F(x)=1/xをxで微分したらf(x)=-1/xになるので、関数f(x)-1/の原始関数がF(x)=1/xであると誤解します。
(原始関数は連結区間で1つながりに連続な関数です)
しかし、積分区間を、f(x)が不連続になる変数値x=0を含めた、xが-1から1までの区間にして、
関数f(x)を定積分しようとして、
誤解された原始関数F(x)を使って、
F(1)-F(-1)=1-(-1)=2
という 計算をすると、明らかに間違えます。
上の図で明らかな様に、-1から1までの範囲でのf(x)の積分の結果は(積分がグラフの面積を表すので)、マイナス無限大にならなければなりません。
しかし、上の計算はそれと全く違う、間違った答えになったのが明らかです。

微分積分学の基本定理によって、 
原始関数F(x)を使って被積分関数f(x)の定積分が計算できる事が完全に保証されているのは、f(x)が、その積分区間で連続なときだけです。
それ以外の場合には、その計算の答えが間違っていることがある、という事を認識しなければなりません。

(誤解された原始関数の差で計算するから間違えるのであって、不定積分(必ず連続関数になる)の差で定積分を計算するならば、間違いは起きません。不定積分(いつも連続関数)の差で定積分を求めたと書く答案が一番正しい答案だと思います。)

また、
という計算で得た関数S(x)は不定積分であって、連結区間内で1つながりに連続な関数です。
実際、a>0の場合には、x>0の範囲の定義域だけの関数
S(x)=1/x, (x>0)
だけが得られます。
a≦b<0の場合には、x<0の範囲の定義域だけの関数
S(x)=1/x, (x<0)
だけが得られます。
a=0の場合には、s(x)が計算できません。
このように、
不定積分:
は、
定義域がx<0とx>0との両方の領域を含む関数という誤解された原始関数:
x≠0における
F(x)=1/x, (x≠0)
とは異なります。

(もう1つの注意)
 以下の関数f(x)は関数の定義域内の全ての点で連続ですが、1つながりに連続な関数では無いので連続関数ではありません。
高校教科書の誤った連続関数の定義:「関数 f(x) が、定義域のすべての x の値で連続であるとき、 f(x) は連続関数である。」に従うと、これを連続関数とする誤りに陥ります。

この切れ切れのノコギリ状の関数f(x)を不定積分した関数S(x)=F(x)を求めてみます。

この関数S(x)=F(x)を微分すると、x=0.5, 1.5, 2.5等では、S(x)=F(x)の微分係数が計算できません。
この関数S(x)=F(x)は原始関数ではありません。
そうなる原因は、被積分関数f(x)が1つながりに連続では無いので連続関数では無かったから、
微分積分学の基本定理の前提条件である、
「関数y=f(x)が、連結区間a≦x≦bの全ての点で連続である」
条件が成り立っていなかったからです。
正しい連続関数の定義に従うと、
「(被積分関数f(x)を連続関数に限定すると)微分と積分が逆演算になる」
と要約した、この微分積分学の基本定理が成り立つ事が言えます。
しかし、高校教科書の誤った連続関数の定義:「関数 f(x) が、定義域のすべての x の値で連続であるとき、 f(x) は連続関数である。」に従うと、
上の事例が、
「(被積分関数f(x)を連続関数に限定すると)微分と積分が逆演算になる」
と要約した、この微分積分学の基本定理の反例になっていると誤解しますので、注意する必要があります。

《微分積分学の基本定理の拡張》
 なお、微分積分学の基本定理が積分可能性を完全に保証する条件であるf(x)が積分区間で連続でなければならないという条件は、緩める事ができ、
f(x)の原始関数F(x)が積分区間で連続であるだけで良いということが分かっています。
それは、
数学者の藤原松三郎の「微分積分学 第1巻」が、
不連続関数f(x)の積分を広義積分と呼び、
その積分において、関数f(x)の積分区間
a≦x≦b
内で連続な不定積分F(x)が得られたら、

(その積分区間内のxで、f(x)が微分不可能な点があっても良く) 
(1)それは、不連続関数f(x)が積分可能である証拠であり、
(2)以下の計算で定積分を計算して良い事が書いてあります。
F(b)-F(a)
 

そのため、定積分が可能な積分区間の判定条件を緩めることができ、
不連続な関数f(x)に対して、
その積分区間で連続な1つながりの不定積分F(x)が見つかったなら、
その不定積分F(x)を使ってその区間の定積分を計算して良いです。 


また、小寺平治・著「はじめての微分積分15講」(2,200円)の103ページにも、このことが書いてあります。

(誤解された原始関数の差で計算するから間違えるのであって、不定積分(必ず連続関数になる)の差で定積分を計算するならば、間違いは起きません。不定積分(いつも連続関数)の差で定積分を求めたと書く答案が一番正しい答案だと思います。)
  

【ここをクリックした先に、まぼろしの基本定理があります】

リンク:
高校数学の目次


2018年5月10日木曜日

条件付き命題の対偶の表現のバラエティ

【問1】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Aが成り立つ場合に、
「BならばCである。」

【解答】
 この問題の命題は、
「AでありBならばCである。」
 と言い換えることができます。
その対偶は、
「Cで無ければ、Aで無いかBで無いかである。」 
 という命題になります。
(解答その1)

その命題を言い換えると:

「条件Aが成り立つ場合に、
Cで無いならばBで無い。」
と言い換えることができます。

「条件Aが成り立つ場合に」
という言葉には、
「条件Aが成り立たない場合は、
他の条件Bがどうであっても、
「Cで無いことが起こり得る」
すなわち、
「Cで無いならば、他の成立条件が成り立っているか、
あるいは、条件Aが成り立っていないかのどちらかである。」 
と言う意味が含まれています。

よって、この問題の解答として:
(解答)
「条件Aが成り立つ場合に、
Cで無いならばBで無い。」
(解答2)
と答えても正しい解答です。
(解答おわり)

【問2】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Aと条件Bが成り立つ場合に、
「CならばDである。」

【解答】
 問1と同様に考えることができ、
問2の命題の対偶は:
「条件Aと条件Bが成り立つ場合に、
Dで無ければCで無い。」
である。
(解答おわり)

リンク:
高校数学の目次