2018年12月28日金曜日

二等辺三角形の底辺の長さ

【問題】 以下の二等辺三角形ACDの底辺CDの長さXを頂角Aのsinθとcosθを使ってあらわせ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
 
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2018年12月27日木曜日

接線と接点の定義

(接線の定義)
 連続なグラフ上に2点A,Bを取って、その2点をその間の1点のCに無限に近づけた時に、その2点A,Bを通る直線が1つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Cにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。
例えば、上図のようなY軸に平行な直線
x=k
と円とが接する条件は、
直線と円との2つの交点が1つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
k=-1、または、k=1
である。
その場合にyの値が重解0になる。

また、下図のような直線
y=x+k
と円が接する条件を求める。
直線と円との2つの交点が1つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
kの二乗=2
である。
その場合にxの値が重解(=-k/2)になる。

交点(x,y)の解が重解になる場合に、 直線と円が接する。
それは、上図の様にxの解が重解になる場合や、yの解が重解になる場合がある。

(注意1)
 グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点に接する直線があるかもしれないが、その点における「接線」については考え無いことにする。
(接線の定義の言い換え)
(1) XY平面上のY=f(x)であらわすグラフの、X=X0となる1点Cにおいて、
微分係数f’(X0)が存在するとき、その点Cを通り、傾きf’(X0)を持つ直線が点Cにおける接線である。
(2) その微分係数f’(X0)が存在しない(無限大になる)場合には:
そのグラフを、YX平面上のX=g(Y)というグラフとみなして考える。そう考えた場合に、
そのグラフ上の1点C(X0,Y0)において、微分係数dx/dY=g’(Y0)が存在するとき(この場合は、g’(Y0)=0になると思うが)、その点Cを通り、YX平面での傾きdX/dY=g’(Y0)を持つ直線が点Cにおける接線である。
(3) 微分係数f’(X0)が存在せず、微分係数g’(Y0)も存在しない場合、その点Cにおける「接線」については考え無いことにする。その点Cでグラフに接する直線はあるかもしれないが、その点における「接線」は考え無いことにする。

(補足1)
「関数が x0 で微分可能(有限の値の確定した値の微分係数が存在する)」
という意味は、
「関数が、その変数 x のその値 x0 に限って、その変数 x で微分可能であれば良く、その変数 x のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。
 
 (補足2)
df/dx=∞
の場合は、傾きが有限で無いので、
変数xで微分可能ではありません。 
df/dx=無限大
という関係が存在しても、
「微分係数(df/dx)が存在しない」
とも言われ、微分不可能です。
それは、
x=0において、
関数f(x)=1/x
の値が無限大という関係が存在しても、
「x=0において関数値1/xが存在しない」
と言うのと同じ意味です。
 下図のグラフの関数は、x=0となるO点では傾きが無限大なのでx=0では変数xによる微分係数が存在せず、変数xで微分不可能です。
なお、このグラフは、O点でX=0という直線と接します。
それは、このグラフの座標(変数)を変換して、Y座標値を変数であるとみなし、グラフのX座標値を、関数値とみなせば、グラフの微分係数(dX/dY)=0は存在するので、変数Yによるその微分係数で接線X=0が定められるからです。
すなわち、このグラフのYを与えるxの関数はx=0でYがxで微分不可能ですが、この関数の逆関数の、xを与えるYの関数は、変数としてのYの全ての定義域でxがYで微分可能です。

 このように、座標系を回転させる座標変換(変数変換の一種とも言える)によって角度を変えて見ると、ある変数Xでは微分不能であった点が、他の変数Yでは微分可能に変わることがあります。

(注意2)
このグラフの関数は、x=0で微分不可能ですが、以下の性質は持っています。
すなわち、
Δx→0の場合にΔy→0となる性質は持っています。
そして、このグラフは、
x1<x2の場合にf(x1)<f(x2)となる、単調増加の性質は持っています。
(注意2おわり) 

 「微分可能」を定めた意味は、ある制限条件を定めて、その「制限条件」を外れた関数については”考えないこと”にするのが、「微分可能」という制限条件を定めたた本当の理由だと思います。
 以下のグラフの関数については:

このグラフには、X=0の点に接する「接線」が存在しませんが、
その「存在しない」の本当の意味は、
X=0においては微分係数が存在しないので、X=0では「接線のことを考えないことにした」のです。
その影響を受けて、このグラフにおける、X=0で接する線については「接線では無い」と言われるようになったのだと思います。
 「接線が無い」のでは無く、「微分不可能な点では接線を考えないことにした」だけなのですが、、、
 実際、以下のグラフでは、X=0での微分係数が∞になり微分不可能な曲線の点にY軸に平行な接線が接する。
その場合に、その変数Xで微分不可能な点において、「接線が無い」のではなく「接線を考え無いことにした」ことが明らかです。

(注意3)
 関数の変数を変換すると、接する2つグラフが接さない2つのグラフに変換される例を考える。
 下の2つの関数のグラフはO点で接しています。
しかし、この2つの関数の変数xを、以下のグラフで表される関数X(t)を使って変数tに変換してみます。
この関数X(t)のグラフは、
t=0の点での傾き(関数のtによる微分係数)が無限大になってしまい、t=0では微分可能で無いという特徴があるグラフです。

この関数で元の2つの関数の変数xを変数tに変換してあらわすと以下の2つのグラフになります。
元の2つのグラフの変数xを変数tに変換した2つのグラフはO点で接さず交差しています。

 変数を変換すると、このように、互いに接する2つのグラフが、交差はするが接さない2つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。

 なぜ、その様なことが起こるのでしょうか?
 それを自力で考えていく事が数学を勉強する良い態度だと思います。
 原因が分からなければ、数学の信用できる参考書で勉強しましょう。しかし、結局は、その答えは自力で考えることになりますが、、、


 その様なおかしな事が起こる場合は、変数tのその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする1つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません
 「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。

 この「微分可能」によって、自然な直感で想像できる事がどのようにして生じ得るかの答えは、「合成関数の微分の公式」によって明らかにされますので、それまで地道に勉強を進めて欲しいと思います。

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2018年12月24日月曜日