下図の点Ｐの位置ベクトルの式を考える。
この式(1)は、点Ｐから三角形の頂点までのベクトルの所定係数の和が０ベクトルになる関係をあらわす式である。以下の計算によって、この式(1)から、点Ｐの位置ベクトルの式を求める。
《点Ｐを与える位置ベクトルの係数和が１の公式》
上記の式は、点Ｐの位置ベクトルを表す式である。
上記の式には、位置ベクトルＡとＢとＣの係数の合計が１になるという特徴がある。
この式が、点Ｐを与える位置ベクトルの係数和が１の公式である。
以下の式のように、位置ベクトルＡとＢとＣが一斉にベクトルＰＱで平行移動する場合を考える。
この式であらわされる点Ｐの位置ベクトルは、以下の式で計算されるように移動する。
位置ベクトルＡとＢとＣの係数ｓとｔとｕの合計が１であるので、点Ｐも他の点Ａらと同じベクトルＰＱで平行移動する。
すなわち、上記の式は、点ＡとＢとＣと点Ｐの位置を平行移動しても変わらず成り立つ。それが成り立つ理由は、位置ベクトルＡとＢとＣの係数の合計が１だからである。
《図形を平行移動し、直線ＢＣ上の直線ＡＰとの交点を原点Ｏまで移動する》
上図のように、図形を平行移動し、直線ＢＣ上の直線ＡＰとの交点を原点Ｏまで平行移動すると、 点Ｐの位置ベクトルの式が２行目の式に単純化される。すなわち、位置ベクトルＡの係数ｓが同じ値に保たれた単純な式になる。
（ただし、２行目の式でも、ｓ＋ｔ＋ｕ＝１が成り立っていて、ｔやｕも０でない値に保たれている。原点Oがその位置にある場合にベクトル(ｔＢ)とベクトル(ｕＣ)が打ち消し合っているだけである）
この式が意味することは、頂点Ａに対向する直線ＢＣから点Ｐまでの高さは、頂点Ａまでの高さのｓ倍の高さにあることを意味する。
すなわち、点Ｐの位置ベクトルを与える式の頂点Ａの位置ベクトルの係数ｓは、
「頂点Aに対向する直線ＢＣを基準にした点Ｐの高さの、頂点Ａの高さに対する割合＝ｓ」
をあらわしている。
《点Ｐを与える位置ベクトルの係数の意味の公式》
先ず、上図の、平面上の点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃで以下の位置ベクトルの公式が成り立つ。
そして、平面での、点Ｐの位置ベクトルを与える上式の右辺の、各頂点（頂点Ｚ（上図の点Ａ）とする）の位置ベクトルに掛かる係数は、
「頂点Ｚ（点Ａ）に対向する直線を水平線とした点Ｐの高さの、頂点Ｚ（点Ａ）の高さに対する割合」
をあらわしている。
（点Pが三角形ABCの内部にある条件）
そう理解すると、点Pが三角形ABCの内部にある場合に以下の不等式が成り立つ。
点Aを始点に持つベクトルでは、点Pが三角形ABCの内部にある場合に以下の不等式が成り立つ。
以上の不等式をまとめた等価な式が：
（以上が、点Pが三角形ABCの内部にある条件）
なお、先の位置ベクトルの公式は、空間での点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄでも成り立つ。
そして、空間での、点Ｐの位置ベクトルを与える上式の右辺の、各頂点（頂点Ｚとする）の位置ベクトルに掛かる係数は、
「頂点Ｚに対向する平面を水平面にした点Ｐの高さの、頂点Ｚの高さに対する割合」
をあらわしている。
《線分ＢＣの内分点Ｄの位置ベクトルの公式》
線分ＢＣを１：２で内分する点Ｄの位置ベクトルの公式は以下の式(10)であらわせる。
式(10)は、内分点Ｄの位置ベクトルの式である。そして、位置ベクトルＢの係数と位置ベクトルＣの係数の和が１であって位置ベクトルの公式が成り立っている。
この式(10)の位置ベクトルの式は：
「頂点Ｂに対向する点（すなわち点Ｃ）を水平線の点にした点Dの高さの、頂点Ｂの高さに対する割合が(2/3)である式」
と覚えれば良い。
内分点の位置は、（内分の比が大きい点から遠くにあり、ベクトルの係数が大きい点に引き込まれる）と覚えれば良い。
内分点Ｄは上の式(11)でもあらわせる。
〔式(11)は、頂点Cに対向する点Bを水平線の点にした点Dの高さの頂点Ｃの高さに対する割合が(1/3)であることをあらわしている。〕
位置ベクトルＤの式(11)は、係数が１の位置ベクトルＢと、図形の平行移動によっても値が変わらない（位置ベクトル以外の）ベクトルＢDと、を合成した式である。この式(11)のような位置ベクトルの式の場合でも、位置ベクトルB（のみ）の係数の和が１になる。
《位置ベクトルと普通のベクトルの違い》
図形を原点Ｏに対して相対的に平行移動しても変わらないベクトルが普通のベクトルであり、
図形を原点Ｏに対して相対的に平行移動すると変わるベクトルが位置ベクトルである。
《外分点の公式》
外分点Ｐの位置ベクトルＯＰをあらわす公式は以下の公式である。
（外分点の公式おわり）
《平面の点の位置ベクトルを４点であらわす》
以下の図の垂心の位置ベクトルの式は、外心の位置Ｇを含む位置ベクトルの式であらわせ、位置ベクトルの公式を満足する。
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この式(1)は、点Ｐから三角形の頂点までのベクトルの所定係数の和が０ベクトルになる関係をあらわす式である。以下の計算によって、この式(1)から、点Ｐの位置ベクトルの式を求める。
《点Ｐを与える位置ベクトルの係数和が１の公式》
上記の式は、点Ｐの位置ベクトルを表す式である。
上記の式には、位置ベクトルＡとＢとＣの係数の合計が１になるという特徴がある。
この式が、点Ｐを与える位置ベクトルの係数和が１の公式である。
以下の式のように、位置ベクトルＡとＢとＣが一斉にベクトルＰＱで平行移動する場合を考える。
この式であらわされる点Ｐの位置ベクトルは、以下の式で計算されるように移動する。
位置ベクトルＡとＢとＣの係数ｓとｔとｕの合計が１であるので、点Ｐも他の点Ａらと同じベクトルＰＱで平行移動する。
すなわち、上記の式は、点ＡとＢとＣと点Ｐの位置を平行移動しても変わらず成り立つ。それが成り立つ理由は、位置ベクトルＡとＢとＣの係数の合計が１だからである。
《図形を平行移動し、直線ＢＣ上の直線ＡＰとの交点を原点Ｏまで移動する》
上図のように、図形を平行移動し、直線ＢＣ上の直線ＡＰとの交点を原点Ｏまで平行移動すると、 点Ｐの位置ベクトルの式が２行目の式に単純化される。すなわち、位置ベクトルＡの係数ｓが同じ値に保たれた単純な式になる。
（ただし、２行目の式でも、ｓ＋ｔ＋ｕ＝１が成り立っていて、ｔやｕも０でない値に保たれている。原点Oがその位置にある場合にベクトル(ｔＢ)とベクトル(ｕＣ)が打ち消し合っているだけである）
この式が意味することは、頂点Ａに対向する直線ＢＣから点Ｐまでの高さは、頂点Ａまでの高さのｓ倍の高さにあることを意味する。
すなわち、点Ｐの位置ベクトルを与える式の頂点Ａの位置ベクトルの係数ｓは、
「頂点Aに対向する直線ＢＣを基準にした点Ｐの高さの、頂点Ａの高さに対する割合＝ｓ」
をあらわしている。
《点Ｐを与える位置ベクトルの係数の意味の公式》
先ず、上図の、平面上の点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃで以下の位置ベクトルの公式が成り立つ。
そして、平面での、点Ｐの位置ベクトルを与える上式の右辺の、各頂点（頂点Ｚ（上図の点Ａ）とする）の位置ベクトルに掛かる係数は、
「頂点Ｚ（点Ａ）に対向する直線を水平線とした点Ｐの高さの、頂点Ｚ（点Ａ）の高さに対する割合」
をあらわしている。
（点Pが三角形ABCの内部にある条件）
そう理解すると、点Pが三角形ABCの内部にある場合に以下の不等式が成り立つ。
点Aを始点に持つベクトルでは、点Pが三角形ABCの内部にある場合に以下の不等式が成り立つ。
以上の不等式をまとめた等価な式が：
（以上が、点Pが三角形ABCの内部にある条件）
なお、先の位置ベクトルの公式は、空間での点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄでも成り立つ。
そして、空間での、点Ｐの位置ベクトルを与える上式の右辺の、各頂点（頂点Ｚとする）の位置ベクトルに掛かる係数は、
「頂点Ｚに対向する平面を水平面にした点Ｐの高さの、頂点Ｚの高さに対する割合」
をあらわしている。
《線分ＢＣの内分点Ｄの位置ベクトルの公式》
線分ＢＣを１：２で内分する点Ｄの位置ベクトルの公式は以下の式(10)であらわせる。
式(10)は、内分点Ｄの位置ベクトルの式である。そして、位置ベクトルＢの係数と位置ベクトルＣの係数の和が１であって位置ベクトルの公式が成り立っている。
この式(10)の位置ベクトルの式は：
「頂点Ｂに対向する点（すなわち点Ｃ）を水平線の点にした点Dの高さの、頂点Ｂの高さに対する割合が(2/3)である式」
と覚えれば良い。
内分点の位置は、（内分の比が大きい点から遠くにあり、ベクトルの係数が大きい点に引き込まれる）と覚えれば良い。
内分点Ｄは上の式(11)でもあらわせる。
〔式(11)は、頂点Cに対向する点Bを水平線の点にした点Dの高さの頂点Ｃの高さに対する割合が(1/3)であることをあらわしている。〕
位置ベクトルＤの式(11)は、係数が１の位置ベクトルＢと、図形の平行移動によっても値が変わらない（位置ベクトル以外の）ベクトルＢDと、を合成した式である。この式(11)のような位置ベクトルの式の場合でも、位置ベクトルB（のみ）の係数の和が１になる。
《位置ベクトルと普通のベクトルの違い》
図形を原点Ｏに対して相対的に平行移動しても変わらないベクトルが普通のベクトルであり、
図形を原点Ｏに対して相対的に平行移動すると変わるベクトルが位置ベクトルである。
《外分点の公式》
外分点Ｐの位置ベクトルＯＰをあらわす公式は以下の公式である。
（外分点の公式おわり）
《平面の点の位置ベクトルを４点であらわす》
以下の図の垂心の位置ベクトルの式は、外心の位置Ｇを含む位置ベクトルの式であらわせ、位置ベクトルの公式を満足する。
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