玉を取り出す色の組み合わせ毎の玉の組み合わせの数

 【課題１】
　赤玉３個、白玉３個、黒玉３個、計９個の玉が入った袋がある。この袋から同時に玉を３個取り出す。そうして取り出した３個の玉の色の組み合わせ毎に、その色の組み合わせの玉を選ぶバラエティの数を求める。

【解答】
（１）先ず、袋の中の９個の玉から３個の玉を取り出す場合の、３個の玉の組み合わせの総数は、

通りある。
すなわち、３つの玉の組合せを表す事象の連鎖の糸の総数が８４本ある。

（２）次に、取り出した３個の玉の色分けのバラエティを、赤ｍ個、白ｎ個、黒ｔ個という色分け事象の連鎖で表す。そして、総数８４本の事象の連鎖の糸を、その色分け事象の連鎖で分類した枝に分けて束ねる。すなわち、玉の色分け事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を束ねて編集した以下の樹形図を作成する。

この樹形図から、玉の色の組み合わせのバラエティの数（色分け事象の連鎖の数）は１０通りあることがわかる。

　しかし、各々の玉の色分けの枝（色分け事象の連鎖）に対応する玉の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
（２－１）３つの玉の色が全て同じ色の場合の枝は、その色を選ぶバラエティの数の３つの色分布の枝に分岐する。
　その色分布の枝毎の、各色３個の玉からその色分布の数の玉を選ぶバラエティの数は、その枝の色の玉を３つ、その色の３つの玉から選ぶバラエティの数であり、１つのバラエティの数になる。
（２－２）３つの玉の色が２色の場合の枝は、同じ色の２つの玉の第１の色を選ぶバラエティの数の３と、その他の２つの色から、１つの玉の第２の色を選ぶバラエティの数の２との積の、６つの色分布の枝に分岐する。
　その色分布の枝毎の、各色の３個の玉からその色分布の数の玉を選ぶバラエティの数は、２つの第１の色の玉を第１の色の３つの玉から選ぶバラエティの数の３と、１つの第２の色の玉を第２の色の３つの玉から選ぶバラエティの数３の積の、９つのバラエティの数になる。
（２－３）３つの玉の色が全て異なる場合の枝は、色の偏りが無いので、その色のバラエティの数が１つだけなので、１つの色分布の枝に分岐する。
　その色分布の枝の、各色３個の玉からその色分布の数の玉を選ぶバラエティの数は、１つの赤玉を赤玉３つから選ぶバラエティの数の３と、１つの白玉を白玉３つから選ぶバラエティの数の３と、１つの黒玉を黒玉３つから選ぶバラエティの数の３の積の、２７のバラエティの数になる。
（３）このように、玉の色分布の枝毎に、その色分布を生じる３つの玉を選ぶバラエティの数が異なる。
（解答おわり）
　この解の結果、以下の式が成り立つのも不思議なことである。


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９人の組み分けのバラエティの数

【問１】
（各人を区別できる）９人をＡ組とＢ組とＣ組に、どの組にも１人以上入るように分ける組合せの数はいくつあるか。

ここをクリックした先にこの問題の解答があります。

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