2011年3月27日日曜日

円と直線が接する条件をベクトルで解く

曲線と直線が接する問題の簡単な解き方。
それは、円への接線を求める問題の場合には、ベクトルを使って接線を表現して考える方が、連立方程式の交点が重解を持つことで接線を表現して解くよりも、問題が簡単に解けます。

【問1】座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)と、直線3x+2y=kとが接する場合のkの値を求めよ。

(予備知識)
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
(難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

【解答開始】
(まず、問題を単純化する)

円の式は以下の式1で与えられました。
+y=1 (式1)
直線の式は以下の式2です。
3x+2y=k (式2)

ここで、この直線の式(式2)は、もっと基本的な形をした単純な意味を持つ式に書きかえられます。

式2のxとyの係数はベクトル(3,2)を成します。
このベクトルを、長さが1の単位ベクトルに変換します。
その変換は、ベクトル(3,2)を
で割り算すれば、単位ベクトルに変わります。
検算してみると、
になるので、このベクトルが単位ベクトルであることがわかります。
直線をあらわす(式2)を
で割り算すれば、xとyの係数が単位ベクトルであらわされた直線の式になります。
その直線の式において、(単位ベクトル)と(ベクトル(x,y))との内積は、その直線の座標原点からの距離をあらわします。
(その理由は単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積は、直線上の点のその単位ベクトル(直線に垂直)への正射影の長さになるからです。また、直線に垂直な単位ベクトルへの、座標原点と点(x,y)を結ぶベクトルの正射影の長さは、直線と座標原点との距離だからです。)

すなわち、単位ベクトルと直線上の点(x,y)の位置ベクトルの内積をあらわす左辺の式に等しい右辺の式の、
が、直線の座標原点からの距離です。
この距離が式1の円の半径1になれば、この直線が円に接します。
よって、もとめるkの値は、
の場合に、直線が円に接します。上の式を変形すると、
これが直線が円に接する場合のkの値です。
 以上の解答方法によれば、求める解をもらさず網羅的に求めています。

(解答おわり)

---(接点Cを通る直線の公式)----
kを調整して直線を円に接するようにすると、例えば、
k=√(13)にすれば、
その直線の接点は上図のC点になります。
そのとき、式2は以下の式2’になります。
式2’を上の計算の様に式3に変形すると、
式3は、式3’の様に、接点Cの座標を使って表した式になります。
これはいつも成り立ち、
式1の円の接点Cを通る直線は、式3’で表されます。

===(その理由)==========
なぜなら、式3’の左辺は、円の中心を原点にした場合の、点Cの位置ベクトルと、
そのベクトルへ直線上の点(x,y)の位置ベクトルを正射影したベクトル、
との積をあらわします。
それにより以下の2つが成り立つからです。
(1)
 点Cが接点の場合は正射影したベクトルの先端は点Cになります。
(2)
 直線の係数が作るベクトルCは、直線に垂直なベクトルです。そのため、ベクトルCに直線上の点(x,y)を正射影したベクトルの先端の位置が円上にあれば、直線が円に接します。
====================

また、半径r円の式が以下の式1aで表される場合:
+y (式1a)
この円の接点Cを通る接線の式は:
であらわされます。
--(接点Cを通る直線の公式おわり)-----

(ベクトルで考えると計算が整理できる)
 上の解答では、ベクトルの内積の知識を使って問題を解きました。
 以下では、ベクトルを使って考えますが、以下のようにして、内積の知識の使い方を控え目にして問題を解けます。
 直線の式は、ベクトルから考えると以下の意味を持ちます。
直線の式の直線上の座標xの微小変化量にxの係数を掛け算した値と座標yの微小変化量にyの係数を掛け算した値は0になります。
ベクトルの視点で見ると、そのように積の和(この積の和を内積と呼びます)が0になる場合は、xの係数とyの係数で与えられる点Cと座標原点Oを通る直線は、その式で与えられた直線と直交することがわかっています。
このベクトルの視点から分かる知識だけを加えて考えるだけで、この問題を完全に解くことができます。
 すなわち、連立方程式:
 において、式2を以下の式3に変形して:
この式の未知数x、y、kを以下の値に当てはめる。
この式4、5、6で未知数x、y、kの値を定めると、
式3は以下の式7になる。
この式7は、式1の未知数x、yを式4と式5の値に当てはめた式1になった。
すなわち、式6で未知数kを定めた直線3上の点の座標を与える式4と式5の座標点C(x,y)が式1を満足した。
ゆえに、点C(x,y)は、式1で与えられる円周にある。
式6で未知数kを定めた直線3と円1はこの座標点C(x,y)で交わる。
 次に、考慮することは、ベクトルの視点で見た直線2の式は、直線OCに垂直であることである。
このことを考えると、式6で未知数kを定めた直線3は、円と交わる点Cを通るだけでなく、円の半径OCに垂直であり、点Cで円に交わることがわかる。
式6でkの値を定めると、直線2は円1と点Cで接する。
 最後に考慮すべきことは、以上の解き方では、問題の解を網羅的に求めてはいないので、以上の解がこの問題の解の全てであるかということを確認する必要があります。
 実際、もう1組の解として、以下の式8、9、10で未知数x,y,kを定めることができます。
(解答おわり)
 このように、ベクトルの視点を加えて考えることで、直線の式2の持つ図形的意味を明瞭に把握しながら問題が解けるので、問題を解くために、とても助かります。

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円の方程式

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、点D(d,d)を中心とする半径Rの円の方程式を説明します。
(点Dの座標値を記号であらわすときは、上図のdの様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前Dを引き継いだ記号dであらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです)

(予備知識)
難しい形の図形は、その座標を単純な形の基本的な座標での図形に置きかえて考えます。
(難しい形の図形は、全て、単純な座標での図形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
上の座標軸(x,y)を、平行移動して、円の中心Dを座標軸の原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。

(単純化した図形で問題を考える)
この座標系X,Yでは、上図のように、円の中心点Dが原点にあります。
この座標X,Yで考えると、上の図のように半径Rの円の方程式は、
+Y=R (式3)
であらわせます。

(参考のため、別の視点で円の方程式を導いてみる)

上図のように、円の直径BCの両端と円の上の点A(X,Y)を結ぶ2つの、ベクトルABとベクトルACは直交します。
そのため、その2つのベクトルが直交するとしたベクトルの内積の式を展開します。
その展開の結果、やはり、式3と同じ円の方程式が得られました。
(以上で、単純化した図形で円の方程式が得られた)

(単純化した問題の解答を元の座標系x,yでの解答へ翻訳する)
式3のXとYを、式1と2を使って、x、yに置き換える。
これが、点D(d,d)を中心にする半径Rの円の方程式である。

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2直線の関係(三角形の外接円の中心の座標)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強


【問1】三角形ABCの外心(外接円の中心)の座標Dをもとめよ。ただし、頂点A,B,Cの座標は、点A(4,7)、点B(2,1)、点C(8,3)とする。

外接円の中心Dは、線分ABの垂直二等分線mと線分BCの垂直二等分線nとの交点を計算することで求める。


(予備知識)
複雑な図形の問題は、より単純な図形の問題に置きかえて考えます。
(難しい形の問題は、全て、単純な形に置き換えて考えるのが数学のコツです。)


(まず、問題を単純化する)
上の図形の座標軸(x,y)を、平行移動して、点Bを座標原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
X=x-2 (式1)
Y=y-1 (式2)


この座標系X,Yでは、上図のように、点Bが座標の原点にあります。

線分ABの垂直二等分線mは線分ABの中点Mを通る直線であり、
線分BCの垂直二等分線nは線分BCの中点Nを通る直線である。

線分ABの垂直二等分線mの式は、ベクトルMDとそれに垂直なベクトルMの内積が0であることをあらわす式である。

上の図のように、直線ABの垂直二等分線の式は、式3であらわされる。
(X-1)+3(Y-3)=0 (式3)

同様にして、直線BCの垂直二等分線nの式は、式4であらわされる。
3(X-3)+(Y-1)=0 (式4)
式3と式4を連立して解けば、垂直二等分線mとnの交点の座標Dが求められる。
式3を展開して式5を得る。
X+3Y=10 (式5)
式4を展開して式6を得る。
3X+Y=10 (式6)


Yを消去するために、(式5)-(式6)・3を計算する。
X+3Y=10 (式5)
-9X-3Y=-30 (式6’)
-8X=-20
X=5/2 (式7)


式7を式6に代入する。
3・(5/2)+Y=10
Y=5/2 (式8)
式7と式8でD点の座標(5/2,5/2)が得られた。


こうして得た解答を元の複雑な問題の解答に翻訳する。
(計算方針)式7と式8それぞれに、式1と式2を代入して座標X,Yを元の座標x,yに戻す。
式7に式1を代入する。
x-2=5/2
x=9/2 (式9)


式8に式2を代入する。
y-1=5/2
y=7/2 (式10)
これで、点Dの座標系x,yでの座標値(9/2,7/2)が得られた。
(解答おわり)


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2011年3月26日土曜日

垂直二等分線の方程式

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、点A(a,a)と点B(b,b)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を導く方法を説明します。
(点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前AとBを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです) 
 
(予備知識)
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
(難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(まず、問題を単純化する)
上の概念図の座標軸(x,y)を、平行移動して、線分ABの中点(その点を垂直二等分線が通る)を座標原点とする座標(X,Y)で考える。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
この座標系X,Yでは、上図のように、点Aと点Bが原点に対して対称な位置にあります。点AのX座標=Aとし、Y座標=Aと書き直して単純化する。

ここで、単純化した問題の解答を得た後で、解答を元の問題の解答へ翻訳できるように、元の問題との対応関係を与える式を、以下のように書いて記録しておく。
です。

(単純化した問題を解く)
上の図を見ると、点Aと原点を通る直線の式は、
であらわせることがわかる。そして、
この直線に垂直で原点を通る直線の式は、
 (以上で、単純化した問題の解答が得られた)

(単純化した問題の解答を元の問題の解答へ翻訳する)
式5のAとAを、式3と4を使って、a、a、b、bに置き換える。
上の式のXとYを、式1と2を使って、x、yに置き換える。
(解答おわり)

【第2の解答】
この答えは、以下の様に、垂直なベクトルの内積が0になる公式(式6)から速やかに導き出される。
(第2の解答おわり)

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垂直な直線の方程式

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

以下で、ある直線に垂直な直線の方程式を導く方法を説明します。
(予備知識)
複雑な直線の方程式は、単純な形の基本的な直線の方程式に置きかえて考えます。
(難しい形の式は、全て、単純な形の式に置き換えて考えるのが数学のコツです。)

(説明開始)
基本的な直線の式は、以下の式です。
ax+by=0
これは、座標原点(0,0)を通る直線です。

この直線の式は、
位置ベクトル(x,y)と
法線ベクトル(a,b)の内積が0であって、
直線の位置ベクトルに、直線の法線ベクトルが垂直であるという関係を表す式であると覚えてください。

この直線に垂直な直線の式は、
-bx+ay=0
です。
xとyにかかる係数を入れ替えて、1つ目の係数の符号を正負逆にした式です。
この式の関係を、以下の図に示します。
これが、垂直な直線の導き方の基本的考え方です。

ここで、点Aの座標の記号は、下図のように、点Aの記号を引き継いだ記号に添え字を付けてあらわしてください。そうした方が計算の見通しが良くなるからです。

(基本的考え方の応用)
もっと複雑な問題の場合への応用方法は、以下のようにします。


(例1)
直線 2x+y+4=0 に垂直な直線の式は、以下のように導きます。
上の直線の式は、以下の式に書き直すと基本的な直線の式になります。
2(x+2)+y=0
x+2=X と置き変えて見ると、上の式は、
2X+y=0
になり、基本的な直線の式であらわせます。
この直線の式に垂直な直線の式は、
-X+2y=0
-(x+2)+2y=0
-x+2y-2=0
とあらわせます。

(例2)
直線 2x+y+4=0 に垂直で、かつ、点A(3,5)を通る直線の式は、以下のように導きます。
直線 2x+y+4=0 を平行移動して、点A(x,y)=(3,5)を通る直線にする。
座標(x,y)を、平行移動して、点A(3,5)を座標原点A(X,Y)=(0,0)とする座標(X,Y)で考える。
点A(X,Y)=(0,0)
X=x-3
Y=y-5
直線 2x+y+4=0 を平行移動して、点A(3,5)を通る直線は、
2X+Y=0
です。
この直線に垂直な直線は、
-X+2Y=0
この座標(X,Y)を(x,y)に置き換える。
-(x-3)+2(y-5)=0
-x+2y+3-10=0
-x+2y-7=0
(解答おわり)


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高校数学の目次

▷(参考)新型コロナウイルス感染対策
新型コロナに感染したらどうしたら良いのか

高校数学全般については、
「高校数学の美しい物語」や、
「なかけんの数学ノート」
「青空学園数学科」 や、
「受験の月:高校数学」や、
「高校数学の基本問題」や、
「NoSchool」や、
「理数アラカルト」や、 
「数学ナビゲーター」
参考になると思います。
数学の問題の質問には;
ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)
などが親切に解答してくれているようです。

以下では、高校数学の一部の、このサイトのオリジナルな説明のみの一覧を書きます。

数学が得意になる考え方
数学の力とは
子供を理系に育てる勧め
正しい数学の勉強のしかた
高校数学について一言
高校数学の勉強方法
数学で納得できない公式は覚えない方が良い
暗算をしないで視線で計算する
計算の道を作る
正しい分数の計算(計算のリズムをおぼえる)
理系難関大学受験用の数学参考書
センター試験向け数学の勉強をすると二次試験の問題が解けなくなる

 中高一貫校では、中学3年の時に高校1年用の数学を学びます。受験数学では、実は、高校1年生の数学にも踏み込んで学んでいます。
高校1年の数学が既に受験数学で学ばれているため、受験数学では未だ学んでいない高校で初めて学ぶ数学の概念は、ベクトルであると考えます。
また、ベクトルを学ぶことで、ベクトルの概念によって、高校数学の多くの分野が整理され体系付けられます。また、高校1年生がつまずく余弦定理もベクトルの観点から見ると簡単に覚えられるようになります。
そのため、受験数学で高校1年生の数学にも踏み込んで学んだ学生は、高校1年で余弦定理を学ぶより先にベクトルを学ぶ方が望ましいと考えます。

 
中学の復習 中学数学の目次
数学Ⅰ 連立方程式と整式 2次関数 集合と論理 2次関数のグラフ 三角比
数学A 場合の数 確率 整数 平面幾何
三角形 円の性質 メネラウスの定理 トレミーの定理 立体幾何
数学Ⅱ 式と証明・複素数 図形と方程式・直線・円 三角関数 関数と微分積分
数学B ベクトル 数列 複素数平面の初歩
数学Ⅲ 積分の応用 ベクトルの応用 楕円と双曲線 複素数平面の応用


中学の復習
【図形】
ピタゴラスの定理
三角錐の体積の公式
微妙な合同の条件
中学で習う円周角のまとめ
中学数学の目次

数学Ⅰ
【連立方程式と整式】
 連立方程式の計算をやさしくする
 解の無い連立方程式
 無数の解がある連立方程式の高校生の解答
 整式の除法
 整式の除法(2)
 ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める
 2乗の引き算の式の変換公式

【連立不等式】
未知数が2つ以上ある連立不等式

【2次関数】
関数と区間と定義域
平方完成の公式
二次方程式の解の公式を初めて解く方法
2次方程式の解き方(解の公式を使わず以下の様に解く)
二次方程式の解の公式のやさしい覚え方
2次方程式の解の公式の応用問題
2次方程式の応用問題
【因数分解】
因数分解のタスキ掛けの方法
因数分解の問題を易しくして解く
自分で問題を解いて、何が良いかを自分で考える
因数分解の応用問題
受験生が苦労する因数分解
二重根号を外す因数分解の問題
二重根号の外し方
二重根号を外す問題
2重根号が外れない問題
xの最高次の係数が1の整数係数方程式の有理数解は整数解になる
因数分解の可能性を広げる発想
2次方程式の解き方
判別式の使い方(12)
判別式の使い方(13)
計算ミス対策(32)平方完成の分数係数を記号で単純化
平方完成の公式
計算ミス対策(59)平方完成で書く式(その2)
平方完成を覚える(57)視線ペア生成チェックと積の視線チェック
計算ミス対策:数学本能を覚える(11)
計算ミス対策(15)計算のリズムを覚える
計算ミス対策(16)計算のリズムを作る
計算ミス対策(20)計算式を目が「書ける」ように書く
計算ミス対策(25)視線が速く動ける式を書く
計算ミス対策(50)式を1行1行視線チェックする
計算ミス対策:センター試験の計算問題
計算ミス対策:計算ミスの改善方法
計算ミス対策:センター試験の計算問題(5)

【集合と論理】
部分集合の概念の問題点
 論理の問題では余分な部分を無くす
 肯定形の命題要素で組み立てる
 論理の問題の反例範囲を分割する
 必要条件と十分条件の表現のバラエティ
 条件付き命題の対偶の表現のバラエティ

[2次関数編]
第2講「2次関数とそのグラフ」
(1)y=axのグラフと平行移動
2次関数のグラフの係数の意味
3点を通る放物線の式を求める
二次関数のグラフ(放物線の焦点)
2次方程式の解の公式を2次関数のグラフから求める
計算ミス対策:センター試験の計算問題(2)
計算ミス対策:センター試験の計算問題(3)
計算ミス対策:センター試験の計算問題(4)
計算ミス対策(34)平方完成の分数係数は記号で単純化
計算ミス対策(35)複雑な式は記号で単純化
計算ミス対策(37)文字の塊を一つの文字に置き換え
計算ミス対策(39)グラフを覚える
計算ミス対策(41)グラフを覚える
計算ミス対策(45)グラフを覚える


【三角比】
 角度を長さと結び付けて、角度を自由自在に使って長さを自由に計算するために、角度を代表するものとして、タンジェントとサインとコサインという三角比が考えられたと思います。

 それらは、1つの角度を3つの形で代表するものであって、源が1つの角度なので、互いに密接な関係があります。
第1講「三角比の考え」
(1)相似と直角三角形
(2)タンジェントの覚え方
tan30度
tan15度
(4)サインとコサインの覚え方
(5)サイン,コサインの応用(2重根号の外し方)
(6)サイン,コサインについての問題演習
第2講「三角比の拡張と相互関係」
(1)tanθとcosθであらわした三平方の定理の覚え方
(2)三角比の拡張
(3)三角方程式
(4)三角比の応用
《sinθとcosθの方程式の解き方》
三角比の相互関係(応用問題)(1)
sinとcosの方程式の確実な解き方
三角関数の2乗の差の公式1
三角関数の2乗の差の公式2
三角比の分数式の変換
三角比の分数式の三平方の定理
二等辺三角形の底辺の長さ
頂角が半分の三角形の三平方の定理の変換
三角比の相互関係(応用問題)(3)
第3講「三角形の辺と角」
 以上で三角比の定義を学んだ学生は、以下の正弦定理と余弦定理を学ぶより先に、ベクトルの内積を学び、ベクトルの内積による余弦定理の導出方法を学んでみて欲しい。

(1)正弦定理
正弦定理の覚え方
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す
裏正弦定理
正弦定理の確実な思い出し方
(47)図形を変形して正弦定理をチェック
三角形の高さと外接円の半径の関係
外接円の半径Rを頂点Aの高さhと辺bとcから求める問題
(2)余弦定理
三角形の辺の二乗の引き算の公式に係る問題
拡張三平方の定理
余弦定理は拡張三平方の定理
拡張三平方の定理の複数の式がベクトルの内積により1つの余弦定理の式になる
やさしい高校数学《数Ⅱ・B》の9章「ベクトル」を読んで余弦定理を覚える
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
余弦定理の1番やさしい覚え方

余弦定理の2番目にやさしい覚え方
余弦定理の確実な思い出し方
余弦定理の式の値を具体的長さに関係付ける
(3辺が定まっている三角形)
余弦定理を使って三角形の3辺から角度を求める
三角形の3辺から頂角の三角比を求める
(二辺挟角が定まっている三角形)
余弦定理を使って三角形の2辺挟角から残りの辺を求める
二辺夾角から残りの辺を求める
二辺挟角から残りの角の三角比を求める
(二辺と1つの角が定まっている三角形)
三角形の2辺と1つの角から残りの辺を求める
(二角挟辺が定まっている三角形)
三角形の2角のコサインと1辺から辺の長さを計算する
二角挟辺が分かっている三角形の残りの辺の長さ
三角形の2角の三角比から残りの角の三角比を求める
(底辺と頂角と面積が定まっている三角形)
三角形の底辺aと面積Sと頂角Aから辺の長さを求める
(余弦定理に類似した公式)
余弦定理に類似した公式の多さの解決策はベクトル
余弦定理に類似した中線の式と方べきの定理
余弦定理に類似した外心の高さを含む式
余弦定理に類似した高さhを含む式
余弦定理に類似した頂点から垂心までの長さの式
(49)変則正弦定理
正弦定理余弦定理を使った問題の解き方
先ず正弦定理を試みるべき問題


数学A
【場合の数】
ベン図問題は樹形図で解くべし
ベン図問題は連立方程式
樹形図で解く分類の分析問題
樹形図で解く分類の分析問題(2)
3色玉の順列の数
円順列とじゅず順列(1)黒玉2つ白玉3つ
(2)黒玉2つ白玉4つ  (3)黒玉3つ白玉3つ

(4)3種類の玉1+1+4  (5)3種類の玉1+2+3
(6)3種類の玉1+2+4  (7)黒玉3つ白玉4つ
(8)3種類の玉2+2+3
  (9)3種類の玉2+2+4
(10)3種類の玉2+2+2

重複組合せ(1) (2)
重複組合せ(3) X+Y+Z=N問題と最短経路の数
重複組合せ(4) 3つの数字の組合せの数
組分けの数を求める考え方
9人をA組とB組とC組に、どの組にも1人以上入るように分ける組合せの数
6人をA,B,Cの3組に分ける組分けの数
組に区別なく人数指定なく組分けする数と組分け問題の本質
絶対に試験に出ない重複組合せの問題
最短経路の数の問題
玉を取り出す色の組み合わせ毎の玉の組み合わせの数
3色の玉を持つ3つの箱から玉を1つずつ取り出す問題

【確率】
確率の同様に確からしい事象と事象の対称性
確率の積の法則と並列に取り扱う法則
文字を円形に並べる確率の地道な解き方
6文字を円形に並べるパターンの確率
樹形図の基本ルール
樹形図の基本ルール(その2)
複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理
確率の問題の難問
サイコロの目が2種類出る確率
全部の場合を数え上げる確率の入試問題1
余事象の確率の入試問題2
確率の問題を空試行を考えて解く
空試行を考える確率の入試問題3
空試行を考える確率の入試問題4
模様数と確率分の積を考える確率の入試問題5
模様内模様を考える確率の入試問題6
自然数の数の入試問題7
最初に戻る確率の入試問題8
条件付き確率の計算例題1
両表コインの条件付き確率の例題2
条件付き確率の問題文の意味
条件付き確率の計算例題3
条件付き確率の計算公式
(難問)モンティ・ホール問題
条件付き確率の入試問題9
条件付き確率の入試問題10
2重条件の条件付き確率
《間違えやすい問題》
さいころの目で作る直線の方程式

【整数問題】
不定方程式の解き方
不定方程式の難問
(難問)ペル方程式の整数解の問題
ペル方程式で解ける不定方程式
整数解が無い不定方程式
任意の整数nに対するxの方程式が整数解を持つ問題


【平面幾何】
佐藤の数学教科書[三角比・平面図形編]
第4講「図形の計量」
想像力を使う角度連動公式
XY座標系と二等辺三角形に関する問題
(1)三角形の面積(二辺夾角)
三角形の面積を外接円の半径を使って求める公式を初めて学ぶ方法
三角形の面積を外接円の半径を使って求める
三角形の面積を3辺から計算する公式を初めて学ぶ方法
三角形の面積を三辺から求める
外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる
三角形の面積をベクトルで表す公式
ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
三角形をずれ変形させて面積を求める
三角形の面積をベクトルで分解して計算する(ベクトルの外積)
三角形の面積と行列式(ベクトルの外積)

第5講「三角形の性質」
 三角形をとらえる想像の翼
 (1)線分の長さと比
 3辺が定まった三角形の頂点の足の位置
 三角形の中線の長さの公式(中線定理)

 (2)三角形の内角の2等分線
 水平線上の点の高さの比の公式
 (2-2)三角形の外角の2等分線
 三角形の内角の2等分線の長さ
三角形の内角の2等分線の長さの定理の式の覚え方
 三角形の部分の長さの定理の速やかな導き出し方
 XY座標系と二等辺三角形に関する問題

(3)三角形の辺と角の大小関係
(4)三角形の重心
三角形の重心の性質
三角形の重心の公式(ベクトルで)
三角錐の重心
(5)三角形の内心(三角形の面積と内接円の半径)
三角形の高さと外接円の半径の関係
(6)外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる
外接円の半径Rを三角形の2辺と高さhから求める
外接円の中心の高さmを三角形の2辺と高さから求める
(7)三角形の垂心の高さ
三角形の垂心が成り立つ証明
三角形の垂心の座標の証明
三角形の垂心の周りの角度
頂点から垂心までの距離は三角形の外心の高さの2倍に等しい
三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す
三角形の2角の三角比から残りの角の三角比を求める
計算ミス対策:図形を覚える(8)
計算ミス対策(17)図形を覚える
正弦定理余弦定理を使った問題の解き方
(3辺が定まっている三角形)
余弦定理を使って三角形の3辺から角度を求める
三角形の3辺から頂角の三角比を求める
三角形の頂点のx方向変位量の公式
(二辺挟角が定まっている三角形)
余弦定理を使って三角形の2辺挟角から残りの辺を求める
二辺夾角から残りの辺を求める
二辺挟角から残りの角の三角比を求める
(二辺と1つの角が定まっている三角形)
三角形の2辺と1つの角から残りの辺を求める
(二角挟辺が定まっている三角形)
三角形の2角のコサインと1辺から辺の長さを計算する
二角挟辺が分かっている三角形の残りの辺の長さ
三角形の2角の三角比から残りの角の三角比を求める
(底辺と頂角と面積が定まっている三角形)
三角形の底辺aと面積Sと頂角Aから辺の長さを求める

第6講「円の性質」
(1)円周角(1/2)
円と直線の関係の問題1
問題をやさしくする数学(26)接弦定理を思い出す視線
使い易い形の拡張円周角の定理と円周角の定理
三角形の垂心を通る線分の長さの積が同じ
方べきの定理の証明
問題をやさしくする数学(27)方べきの定理を思い出す視線
余弦定理に類似した中線の式と方べきの定理
方べきの定理(の逆)の応用問題1(極と極線の関係)

メネラウスの定理等
メネラウスの定理の証明:線の垂直線への射影の利用
(2)メネラウスの定理(1/3)

(2/3)
(3/3)チェバの定理
スーパーメネラウスの定理
問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(13)
3点が1直線上にある証明
トレミーの定理の証明
アポロニウスの円の証明
計算ミス対策(29)数値は記号で単純化
(48)三角形と円の角度の関係図形をおぼえる
正弦定理余弦定理を使った問題の解き方


【立体幾何】
正四面体の面が交差する角度
(4)球の体積と表面積
 球の表面積を積分で求める
 (1/3)正四面体の高さと表面積と体積
 (2/3)正四面体に外接する球
 (3/3)正四面体に内接する球


数学Ⅱ
 ベクトルの使い道:問題をやさしくする数学
 高校2年になったら、先ずはベクトルを学んでください。
 2元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する

【式と証明・複素数】
第1講:整式の性質
 整式の除法
 整式の除法(2)
 ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める
 2つの多項式が共通因数を持つ問題
 指定された複数の解を持つ高次方程式
 有理数係数での既約多項式が次数の低い有理数係数の多項式と複素数の因数も共有しない不思議
追加講:
 形が違う同じ式
 二項定理
 二項定理に関連する公式
第2講:式と証明
恒等式の定義と式の変換ルール
関数で表した恒等式とは何
 4節:相加平均と相乗平均の不等式
第4講:2次方程式の解と複素数
 (1)虚数
 (2)2次方程式を複素数を使って因数分解
 (3)xの分数式を、xの一次式を分母にする分数の和であらわす
 (4)虚数の平方根
 実数の指数法則と複素数の指数法則

第6講:複素数平面の初歩
(高校2年生も知るべし)(1)複素数平面
(高校2年生も知るべし)(2)複素数を掛け算すると偏角が足し算される
(高校2年生も知るべし)初めて複素数平面を学ぶ学び方(共役複素数の役割)
(高校2年生も知るべし)座標を回転させる複素数のやさしい覚え方
(高校2年生も知るべし)(3b)複素数の掛け算で三角関数の加法定理を導く

第5講:高次方程式
高次方程式の解き方のパターン
3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根
(1)1の三乗根を複素数平面で求める
(2)1のn乗根を複素数平面で求める
複素数平面での正5角形の求め方
(4)正5角形の問題を複素数平面を用いて解く
因数分解の難問
高次多項式の追加講:
 xの最高次の係数が1の整数係数方程式の有理数解は整数解になる
 方程式の有理数解の有無の判定
 高次式の因数分解
無理関数の式への因数分解の公式
 無理関数の分数式の変換公式
技巧的な、無理関数の方程式の解き方
技巧的な、無理関数の方程式の解き方(その2)
 分数式を多項式に変換する問題(3次方程式が成り立つ場合)
 平方根の式を多項式に変換する(2次方程式が成り立つ場合
 平方根の式を多項式に変換する問題(3次方程式が成り立つ場合)

(数3)
第6講:複素数平面の応用(その1)
(複素数平面で円を画く)
複素数の式が円を表す事を示す種々の計算
複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式
(5d)複素数平面での軌跡
(6)複素数平面での等角写像
(双曲線)
複素数平面での軌跡の問題

(複素数の式が実数になる解を求める)
複素数平面上に複素数を書いてベクトルで問題を解く
べクトルの内積を複素数を使って計算する
三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明
三角形の垂心
 複素数平面のベクトル方程式での垂心の導出
 複素数計算で三角形の垂心を求める
三角形の外心の入門
 複素数平面のベクトル方程式での外心の導出
図形の角度を複素数平面で求める
複素数平面が、円の2つの接線の交点問題を簡単にする
複素数計算で円外の点からの直線の円への接点を求める
複素数平面のベクトル方程式(1)
複素数平面のベクトル方程式
べクトルの外積と複素数の積との関係を初めて学ぶ学び方
ベクトルの外積を複素数を使って計算する
ベクトルの外積の応用:角運動量保存の法則
(高校2年生も知るべし)座標の回転変換の公式を初めて学ぶ学び方 
覚えておきたい公式集
 複素数平面の公式

複素数平面の3倍角の公式
複素数の分解の公式
複素数の分解の公式と、合成の公式
ひし形の対角線と辺の複素数の公式
複素数平面の公式を導き出す(1)
複素数平面の公式を導き出す(2)
複素数平面のひし形の対角線の直交公式など
複素数平面の公式を導き出す(4)
複素数平面の公式を導き出す(5)
複素数平面の公式を導き出す(つづき)
自分の計算を楽にする自分だけの公式を発見する
垂線の足H
 垂線の足までのベクトルの複素数の公式
 点Pから直線に下した垂線の足Hまでの複素数
3つの複素数の交代式の簡単化公式
複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくしましょう
(高校2年生も知るべし)複素数平面を積極的に利用して問題をやさしくする(2)
複素数平面を使うとベクトルの計算が楽になる(ある難問の等式の証明の別解)
ベクトルの角度を複素数平面で扱えることを初めて知ったら円周角の定理を試してみよう
複素数平面で円周角の定理を示す

複素数平面の問題を図形で解く
複素数平面の問題を図形の平行移動で解く
複素数平面を利用して回転した楕円の方程式を得る
複素数平面の3点が正三角形になる条件に初めて出会ったとき
(2b)複素数平面での正三角形の条件

複素数平面の直線の方程式を初めて見たとき
複素数平面を利用して直線の交点を計算する
三角形の外心
 複素数平面で三角形の外心を表す複数の式

(複素数平面のグラフの式)

複素数平面のグラフの式を恐れないために
複素数平面で双曲線の特徴を表現する
放物線の極と極線の問題
初めて複素数の式でグラフをあらわす問題に出会ったとき
アポロニウスの円の問題
複素数平面のグラフの方程式の変換は図形で解くこと
複素数平面のグラフの変換方法
複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く
複素数平面の問題を図形で解く(2)
ベクトルの難問を複素数平面で解く問題B(1/2)
ベクトルの難問を複素数平面で解く問題B(2/2)
自分で問題を解く中で発見した、計算の近道になるパターンを自分だけの公式として覚える
円周角の定理に係る複素数平面の公式
三角形の面積を外接円の半径を使って表わす公式を複素数を使って導く
第6講:複素数平面の応用(その2)
(3a)複素数はベクトルの一種:3次方程式の解
(5a)複素数平面での円と直線の交点 
(5b)複素数平面での円と直線の交点の別解 
(5c)複素数平面での円の極と極線 
(複素数平面での写像変換は、媒介変数を使うと易しく解けるようになる)
▽複素数平面のグラフの変換には媒介変数を使うべし

(7)3次方程式の一般解
因数分解の難問
3次方程式が重根を持つ条件
3次方程式の3つの解が全て実数解である条件
微分を利用して、3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根を計算する
(8)4次方程式の一般解 



【図形と方程式】
 高校で学ぶ図形と方程式はベクトルと深い関係があります。点と直線の距離の公式等はベクトルを学んでいれば、すんなり覚えられます。直線と円の交点を求める問題も、ベクトルを使うことで解答の見通しを良くできます。そのため、図形と方程式を学ぶ前にベクトル(内積の計算まで学べば良い)を学んで欲しいと思います。
第2講 直線の方程式
1節 直線の関係
  直線の方程式はベクトルの内積の式/点と直線の距離
  ベクトルの内積(直線の式)
  ベクトルの内積(点と直線の距離)
2節 2直線の関係
  交差する直線の連立方程式の変換
  交差する線の連立方程式の変換
  交差する曲線の全ての交点を通る全ての直線
  (1/4)垂直な直線の方程式
  点Bから線分OAに下した垂線の足Hを求める
  ひし形の対角線の直交の公式と2重平行四辺形の面積の公式
  直線の交点を求める2元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
  (2/4)垂直二等分線の方程式
  (3/4)三角形の垂心の座標
  (4/4)三角形の外接円の中心の座標を2直線の交点で求める
  三角形の外心の高さを直線の交点で求める
追加講:三角形の面積
  ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
  三角形の面積
  三角形の面積と行列式

第3講 円
1節 円の方程式
接線と接点の定義
2節 円と直線が接する条件をベクトルで解く
  円(半径1)と直線の交点を座標軸を回転して解く
  円(半径r)と直線の交点を座標軸を回転して解く
  半径1の円と直線の交点をベクトルで解く
  円(半径r)と直線の交点をベクトルで解く

  円と直線の2つの交点から直線の点までの距離の積 
  極と極線
  円の極の座標の解の変換
(接点の座標の求め方)
  点Aを通る直線の円への接点は図形で求めること
  点Aを通る直線の円への接点をベクトルを利用し図形で解く

  点Aを通る直線の円への接点を座標軸を回転して解く
  点Aを通る直線の円への接点をベクトルの内積を利用して解く
4節 円と円の関係
  2円の交点を通る直線
  2円の交点を通る直線が全て求められるのか?
  2円の交点を通る直線と円
  2円の交差
円と放物線の関係
  円と放物線が接する条件
  円と放物線の接線(2)重解の判別式の意味
  円と円が接する条件、円と放物線が接する条件
  円と放物線の接線(3)難問
【追加講】
4次曲線の2点への接線

【軌跡】
(軌跡の問題は、媒介変数を使うと易しく解けるようになる)
軌跡(1)   (2)  (3)

(4)  (5)  (6)  (7) (8) (9)
内角が二等分される点の軌跡


【三角関数】
   三角関数を勉強する意味と加法定理が速やかに学べる手順
第4講 加法定理
1節
   三角関数の2倍角の加法定理
   加法定理の発見
   加法定理とは(1)
   加法定理はベクトルの内積の式
   ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
   (高校2年生も知るべし)(3b)複素数の掛け算で三角関数の加法定理を導く
   sin70°の変換公式
   三角関数の加法定理の応用問題
   積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式
   加法定理の練習問題1
   加法定理の練習問題2
   加法定理の練習問題3
   加法定理の練習問題4
   加法定理の練習問題5
   加法定理の練習問題6
2節 等式の証明(1)ある難問
   等式の証明(2)
   等式の証明(3)
   等式の証明(4)正弦定理と余弦定理
第5講 2倍角と半角の公式
1節 2倍角と半角の公式
    三角関数の2乗の差の公式
    練習問題(1)難問
    3倍角の公式
2節 三角関数の合成の公式
   a・sinθ+b・cosθの変形の練習問題
    三角関数の単純化パターンの公式
3節 三角関数の和と積の公式
    三角関数の和と積の公式の証明
    和と積の公式
    三角関数の和と積の公式の応用問題
   積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式
    三角関数の分数式の変換公式
    分母がsin(B+C)の三角関数分数式変換公式
    三角関数の積を2乗の差へ変換する公式
    三角関数の数列の問題
    練習問題(2) 
    練習問題(3)
    練習問題(4)
《三角形の三角関数の公式》
    三角形の高さhの公式の証明の簡単さの差
    三角形の3つの正弦の積の公式
    三角形の等式の証明の難問の別解(三角関数の和と積の公式)
    三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す
    三角形の三角関数の公式
    三角形の三角関数の3重積と3項和の公式

    三角形の三角関数の3重積と3項和の公式(2)
    練習問題(7)
    三角形の頂角の二等分線の長さに係る証明
    図形の角度を求める問題
    三角関数の難問

【指数・対数関数・逆関数・合成関数と微分積分】 
恒等式の定義と式の変換ルール
  関数で表した恒等式とは何
  逆関数や合成関数の概念
  覚えておくと便利な逆関数の公式
  変数変換して無理関数の根号を外す公式
第5講 対数関数 
 3節 底の変換公式
  対数の大小の公式
  対数の大小の公式2
  指数関数で一番大切なネイピア数e
【微分・積分】
 「微分・積分」はどうすれば勉強できるか
 微分積分はどうすれば勉強できるか(2)
 円の面積を積分で求める
 球の表面積を積分で求める
 球の体積を積分で求める
 微小変位の想像の翼
極限の概念を使って問題を解き易くする
 放物面鏡での光の反射
 微分:等加速度運動の発見
 微分可能の定義
 積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方
  原始関数とは何か
  不定積分とは何か
  不定積分の積分定数Cの扱い
  変な積分
 連続関数の定義
 微分の基本公式
 関数の極限の定義
 閉区間で連続な関数の最大値・最小値の定理
 微分するための極限の極意
 2階微分の記号の定義
 合成関数の微分の公式の分かり易い証明
(次は、この公式の種々の証明を知りたい方だけ見てください)
 合成関数の微分の公式の種々の証明

 指数関数の爆発性
 極限:ロピタルの定理の一部(媒介変数表示関数微分法)
 合成関数の微分の公式と微分の連鎖律
 合成関数の微分の公式の信頼性
 合成関数の極限の裏切り
 関数値が複素数になる関数の合成関数の微分
 逆関数の微分の公式
 xの有理数乗の関数の微分の公式
 xの実数乗の関数の微分の公式
 対数関数の微分の公式
 指数関数の微分
 指数関数変換公式
 対数微分法とxの実数乗の関数の微分の公式
 指数関数の合成関数の微分の公式
 定数分離法で解く問題
 方程式の実数解の個数の問題

 微分積分学の基本定理
 微分積分学の基本定理からまぼろしの基本定理まで
 積分方程式の問題

置換積分法の概要
置換積分等の積分の計算に潜んでいる広義積分
 高校2年生も覚えるべき置換積分法
サイン分の1の積分
 変数をtan(x/2)で置換する積分のコツ
tan(x/2)で置換積分して最適な積分変数を求める
 対称性を用いた定積分
 対称性を利用した定積分(その2)
 困った時に使う部分積分法
 正しい部分積分法で解く問題
 三角関数の逆関数の不定積分
 技巧的な積分の公式
 かろうじて初等関数で表される積分
 不定積分の不思議な解き方
 かろうじて初等関数で表される積分(その2)
積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式
積分微分変換処理による公式の導出
 初等関数で表せない不定積分のいろいろ

 既約多項式が重根を持たない不思議
 曲線の接線(基本公式)
 円の接線の公式を微分で導く
 楕円と双曲線と放物線の接線の公式を覚える
(応用問題)
 3次関数の曲線の形
 接線と接点の定義
 三次関数の曲線の接線の残りの交点
 3次関数のグラフの2接点の交点を通る第3の接線の接点
 3次方程式が重根を持つ条件
3次方程式の3つの解が全て実数解である条件
 曲線同士が接する条件は点の座標の解の重なり
 曲線の接線とは(接線は微分で定義される)
 円と放物線が接する条件
 円と放物線の接線(1)
 円と放物線が接する条件(2)
 円と放物線の接線(2)重解の判別式の意味
 円と放物線の接線(3)難問
 円と放物線の接線(4)
 接線と放物線の交点
 2つの放物線の共通接線
 放物線の極線
 放物線の極と極線の問題
放物線の2つの接線の交点のx座標は2接点の中間
 放物線の直交接線の交点の軌跡
放物線の2つの接線が45°で交わる交点の軌跡
 2つの放物線の接線が直交する
 4次曲線の2点への接線
 有理数乗関数のグラフへの接線
 微分の傾き0を一瞬で把握するコツ
(追加講)
 微分とマクローリン展開
 マクローリン展開とオイラーの公式
 微分を利用して平方完成する公式
 微分を利用して、3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根を計算する
 変数xの虚軸で見た関数
 計算ミス対策:センター試験の計算問題(2)
 計算ミス対策:3点を通る放物線の式を求める(6)
 計算ミス対策(42)グラフを覚える
 計算ミス対策(43)グラフを覚える


数学B
【ベクトル】
ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
ベクトルにより、メネラウスの定理も怖くなくなります。
ベクトルにより、図形の問題が易しくなります。
ベクトルにより、直線と円の交点の座標を計算する問題が易しくなります。
ベクトルにより、連立方程式の表現が簡単になり、また、連立方程式の解の公式も表現できます。

以下の中で、ベクトル方程式よりも正弦定理等で解くべき問題

ベクトル方程式で解こうとすると挫折する問題 ベクトルの難問の強力な解答手段

ベクトルによる円周角の定理の確認

以下の中でベクトル方程式で解ける問題




やさしい高校数学《数Ⅱ・B》の9章「ベクトル」を読んで余弦定理を覚える
ベクトルの公式一覧
ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く
ベクトルで表す最短路の式
ベクトルを勉強する意味と問題をベクトルで解くパターン
試験中に心を落ちつかせる:図形の線形変換
線形変換を使って図形問題を易しくする
空間ベクトルの3つの公式
位置ベクトルの公式
ベクトルの概念の範囲
第2講:ベクトルの成分表示
3節 2つのベクトルの成す角のcos
3節 2つのベクトルの成す角のsin
ベクトル方程式について
 ベクトル方程式の意味
 3点が1直線上にある証明
第3講:ベクトルの内積
ベクトルPと単位ベクトルの内積はベクトルPの単位ベクトルへの射影
直線の方程式はベクトルの内積の式/点と直線の距離
点Bから線分OAに下した垂線の足Hを求める
拡張三平方の定理の複数の式がベクトルの内積により1つの余弦定理の式になる
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
ベクトルでの三角形の中線定理のやさしい覚え方
ベクトルの内積と三角関数のcosの加法定理
(ベクトルの回転移動)
加法定理はベクトルの内積の式
ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
ベクトルによる座標軸の回転変換の公式

ひし形の対角線の直交の公式
直交するひし形の対角線の方向のベクトル成分を計算する問題
ベクトルの切替の公式
ベクトルの内積の和と積の公式
ベクトルの内積の和と積の公式の練習問題
ベクトルの内積の和と積の公式の練習1解答
ベクトルの内積の和と積の公式の練習2解答
ベクトルの内積の和と積の公式の練習3解答
ベクトルの内積の和と積の公式の練習4解答
単位ベクトルの要素の2乗の差の公式

(90度回転したベクトルの利用)
ベクトルaに直交するベクトルの作り方
2次元ベクトルの分解の公式の要約
2次元ベクトルの分解の公式
2次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と2つのベクトルの大きさの積の三平方の定理
90度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす
 2元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
 2元連立方程式をベクトルの内積により計算する
 (16)垂直ベクトルへの射影を利用した連立方程式の解の公式
工夫(4)直線の交点Pの計算
ベクトル方程式の直線の交点
ベクトルの内積であらわされた2直線の交点
ベクトルの交点の公式の解き方のバラエティ

第4講:分点の位置ベクトル
三角形の重心の公式
ベクトルの使い道:問題をやさしくする数学
ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める
三角形内の点Pからのベクトルの式と三角形の面積比と点Pの位置
三角形の3頂点のベクトルの張る三角形の面積比の公式
三角形の垂心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
ベクトル方程式で三角形の垂心の位置ベクトルを求める
外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル
三角形のベクトル計算で外心を原点にする

(三角形の外心の高さ)
三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
三角形の外心の高さを導出するベクトルの内積の変換
外心の高さの式のベクトルでの証明
三角形の外心の高さ
(46)図形を変形して三角形の外心の高さの定理をチェック
(辞書的な)ベクトルで三角形の外心を表す種々の式

(三角形の高さ)
三角形の辺と外接円の半径の関係
三角形の高さベクトルhの公式の要約
三角形の高さベクトルhの公式
三角形の高さhの公式の証明の簡単さの差
三角形の垂心の足を結ぶ線の方向
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明
ベクトルの内積(直線の式)
点と直線の距離
 《ベクトルの外積(2次元平面ベクトルの外積)》
ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
三角形をずれ変形させて面積を求める
三角形の面積をベクトルで分解して計算する(ベクトルの外積)
三角形の面積と行列式(ベクトルの外積)

2重平行四辺形の面積の公式
ひし形の対角線の直交の公式と2重平行四辺形の面積の公式(ベクトルの観点で)
長さの等しいベクトルの張る2重平行四辺形の面積の公式
ひし形の対角線ベクトル変換公式
ベクトルで円の2接線の交点(極)を求める(解の変換)
円と直線の交点

【数3:ベクトルの応用】
ベクトルの内積の不等式
メネラウスの定理
円の外の点Aから引いた円への接線の接点の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法
ベクトル方程式による極と極線
極点から引いた円への接線の接点の位置ベクトル
ベクトルで楕円の2つの接線の交点を求める
ベクトルの問題は図形を描いて解くこと

ベクトル方程式の落とし穴
ベクトル方程式で解こうとすると挫折する問題
ベクトル計算での挫折を回避する方法
未知ベクトルとそれに垂直なベクトルを使うベクトル方程式
【3次元空間ベクトル】
3つの空間ベクトルが同一平面上にある条件
立体図形の頂点から面への垂線の長さ
点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求める
立体図形の面の法線の公式
ベクトルAとBに対し90度と角度θを成すベクトル
 ベクトルを境界面まで延長する問題
 空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ
  ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める
  面と直線の交点:問題をやさしくする数学
       横国文系2023年大問3
  問題をやさしくする:面の法線への射影の利用(9)
  アフィン変換:問題をやさしくする数学
 面と面の交線をベクトルで求める
 空間直線の交点:問題をやさしくする数学
 空間直線の交叉の判定:問題をやさしくする数学
【3次元空間のベクトルの外積】
 ベクトルの外積の応用:角運動量保存の法則
 (14)3次元ベクトルの外積
 ベクトルの外積:問題をやさしくする数学10
 ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める:問題をやさしくする数学12
 初めて立体上の三角形の面積を計算するとき
 立体をずれ変形させて体積を求める
 (11)ベクトルの外積と3元連立方程式:問題をやさしくする数学
 (17)ベクトルの外積と3元連立方程式
 (18)ベクトルの外積と3元連立方程式:問題をやさしくする数学
ベクトルの外積の3重積の公式
ベクトルの外積同士の内積の公式
3次元ベクトルの分解の公式
【追加講】
ベクトルの難問の強力な解答手段
ベクトルの複素数平面積を使って問題を解く
ベクトルによる円周角の定理の確認
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
計算ミス対策(18)計算の道を覚える

【数列】
第3講 いろいろな数列
1節
 いろいろな数列の和(1)
 (2) (2-1) (2-2)
 (3)cosの和はsin 
 (4)sinの和は-cos
数列の和に関する難問
(難問)ペル方程式の整数解の問題


数学ⅠAとⅡBの問題をやさしくする。
 ベクトルの使い道:問題をやさしくする数学

 問題をやさしくする数学の工夫(2)
 問題をやさしくする数学:アフィン変換(3)
 問題をやさしくする数学の工夫(4)
 問題をやさしくする数学:平行平面の利用(5)
 問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(6)
 問題をやさしくする数学:線に垂直なベクトルに投影(7)
 問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(8)
 問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(9)
 問題をやさしくする数学:ベクトルの外積(10)
 問題をやさしくする数学:ベクトルの外積(11)
 問題をやさしくする数学:ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める(12)
 問題をやさしくする数学:面の法線への射影の利用(13)
 問題をやさしくする数学(14)ベクトルの外積
 問題をやさしくする数学(15)線の垂直線への射影の利用
(16)垂直ベクトルへの射影を利用した連立方程式の解法
(17)ベクトルの外積と3元連立方程式
 問題をやさしくする数学(18)面の法線への射影を利用した連立方程式の解法
 問題をやさしくする数学(19)座標系を変える
 問題をやさしくする数学(20)論理の問題では余分な部分を無くす
 問題をやさしくする数学(21)論理の問題の反例範囲を分割する
 問題をやさしくする数学(22)肯定形の命題要素で組み立てる
 問題をやさしくする数学(23)スーパーメネラウスの定理
 問題をやさしくする数学(24)因数分解の難問
 問題をやさしくする数学(25)因数分解の公式
 問題をやさしくする数学(26)接弦定理を思い出す視線
 問題をやさしくする数学(27)方べきの定理を思い出す視線

 3次方程式で1つの根がわかっている場合の残りの根
 美しい数学の関係:外心から垂心までのベクトル
 美しい数学の関係:三角形のベクトル計算で外心を原点にする
 入試問題:図形の長さの比の問題
 美しい数学:2変数の式の因数分解が解のかなめ
 美しい数学:三角形の面積の式の因数分解
 美しい数学:解が存在する条件の計算
 美しい数学:計算のメリハリ
 美しい数学:ベクトルの内積の式の解の存在条件
 美しい数学:放物線と直線の交点
 美しい数学:平方完成の計算ミスを減らす公式
 美しい数学:平方完成の検算
 美しい数学:美しい問題の種

計算ミス対策
センター試験向け数学の勉強をすると二次試験の問題が解けなくなる
計算ミス対策:2次方程式の解き方
計算ミス対策:センター試験の計算問題
計算ミス対策:センター試験の計算問題(2)
計算ミス対策:センター試験の計算問題(3)
計算ミス対策:センター試験の計算問題(4)
計算ミス対策:計算ミスの改善方法
計算ミス対策:センター試験の計算問題(5)
計算ミス対策:3点を通る放物線の式を求める(6)
計算ミス対策:グラフを覚える(7)
計算ミス対策:図形を覚える(8)
計算ミス対策:図形を覚える(9)
計算ミス対策:図形を覚える(10)
計算ミス対策:数学本能を覚える(11)
計算ミス対策:判別式の使い方(12)
計算ミス対策:判別式の使い方(13)
計算ミス対策:連立方程式の計算(14)
計算ミス対策(15)計算のリズムを覚える
計算ミス対策(16)計算のリズムを作る
計算ミス対策(17)図形を覚える
計算ミス対策(18)計算の道を覚える
計算の道を作る
計算ミス対策(20)計算式を目が「書ける」ように書く
計算ミス対策(21)目が「書ける」ように書いた例
計算ミス対策(22)目が「書ける」式が書けているかチェックする
計算ミス対策(23)この1行が必要
暗算をしないで視線で計算する
計算ミス対策(25)視線が速く動ける式を書く
計算ミス対策(26)計算ミスの減らし方
計算ミス対策(27)図形問題の先行検算方法
計算ミス対策(28)図形問題の先行検算方法
計算ミス対策(29)数値は記号で単純化
計算ミス対策(30)ベクトルを分解する道を視線でたどる
計算ミス対策(31)分数係数を記号で単純化
計算ミス対策(32)平方完成の分数係数を記号で単純化
計算ミス対策(33)前後式の各項対応を視線でチェック
計算ミス対策(34)平方完成の分数係数は記号で単純化
計算ミス対策(35)複雑な式は記号で単純化
計算ミス対策ルール(36)
計算ミス対策(37)文字の塊を一つの文字に置き換え
計算ミス対策(38)グラフを覚える
計算ミス対策(39)グラフを覚える
計算ミス対策(40)分数は必ず文字に置き換えて計算
計算ミス対策(41)グラフを覚える
計算ミス対策(42)グラフを覚える
放物線の2つの接線の交点のx座標は2接点の中間
計算ミス対策(44)グラフが単純になる座標系で計算
計算ミス対策(45)グラフを覚える
(46)図形を変形して三角形の外心の高さの定理をチェック
(47)図形を変形して正弦定理をチェック
(48)三角形と円の角度の関係図形をおぼえる
(49)変則正弦定理の図形をおぼえる
計算ミス対策(50)式を1行1行視線チェックする
計算ミス対策(51)式を1行1行視線ブーメランチェックする
計算ミス対策(52)式を1行1行ブーメランチェック
計算ミス対策(53)概算ブーメランチェック
計算ミス対策(54)視線かき集めチェック
計算ミス対策(55)イコール交差チェック
計算ミス対策(56)平行シフト視線チェック
計算ミス対策(57)視線ペア生成チェックと積の視線チェック
平方完成の公式
計算ミス対策(59)平方完成で書く式(その2)
計算ミス対策(60)各項への視線オーラの結び付け

数学 Ⅲ
【積分法の応用】
 傘形積分と2重積分
 バウムクーヘン積分と2重積分
 ループで囲まれた図形の面積の計算

数学 C
【式と曲線】楕円と双曲線
 楕円
  楕円と直線の接点
  楕円と円の接点
  原点の回りに回転した楕円の方程式を初めて学ぶ方法
  楕円に円が接触する問題
  楕円同士が接触する条件
  楕円同士が接触する問題の解き方
 双曲線
  双曲線の二接線の交点を求める
  双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式と双曲線の極の座標の解の変換
  2変数の3つの方程式の互除法で問題を解く
  2変数の3つの方程式の互除法で問題を解く(2)

いろいろな曲線
  媒介変数表示のグラフの形
  三角関数の3倍角の公式の問題

【その他】
  複数回繰り返すと0になる操作

【大学受験参考書】
  理系難関大学受験用の数学参考書

【大学教育に移行した、行列演算】
 座標の回転変換の式のおぼえ方
 行列の掛け算のやさしい覚え方
 行列の掛け算の定理 
 回転変換の行列の計算で三角関数の加法定理を得る 
 対角行列と回転行列の積の交換の定理 
 2つの対角行列とある行列の積の交換の定理 
  三角形の面積と行列式
 行列式の意味と計算方法
 余因子行列とケイリー・ハミルトンの定理
 ケイリー・ハミルトンの定理の数学的意味
 行列式が0になる行列は余因子行列の列ベクトルを0ベクトルに変換する
 変換するベクトルを指定した場合の変換行列
 ベクトルの座標を回転させる行列の固有値と固有ベクトル
 行列の固有値が重根の場合の固有ベクトル
 固有値が同じ行列
 行列の交換子の2乗は単位行列に比例
 回転した楕円の方程式
 回転した楕円の方程式(その2) 
 楕円を円に一次変換する
 楕円を円に1次変換する(その2)
 固有ベクトルが同じ行列 
 2つの行列の2つの積から元の行列を逆算する
 双曲線を円に1次変換する 
 双曲線を円にする変換(その2) 
 円は円に変換し特定の直線は無限遠に移動させる変換
 エディントンのイプシロンと行列式とベクトルの外積


【高校数学リンク】
高校で学べない人のための数学Bハイパーテキスト
三角比の定義のおぼえかた
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