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▷ｘの２乗の係数が１ではない２次関数（問３）
▷たすき掛けしないで自動的に計算する（問６の別解）
▷たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
《高校数学でつまずく事》
高校数学では、因数分解のたすき掛けを早く解くのに必要な、大切なコツは学校で教えていない。そういう理不尽さを乗り越えるためには、常に自分で考える、問題に向き合う態度が必要です。このページでは学校では教わらない因数分解のたすき掛けのコツ（ＡＣＢ法）を示す。
１．係数をかける:
(ｘの２乗の項の係数)×(定数項)＝積Ｓを求める。
２．積Ｓを、項１と項２との積に分割する:
① 積Ｓ＝項１×項２
② 項１＋項２＝(ｘの１乗の項の係数)
になるように、積Ｓを項１と項２との積に分割する。
（この項１と項２を素早く見つけるコツが２つある）
３．数を嚙み合わせてたすき掛けする:
項１と項２が求められたら、数を嚙み合わせて項１と項２にし、それをたすき掛けして因数分解の式を得る。
（この数の嚙み合わせは１つのみに定まり、簡単に求められる）
【大原則】因数分解をする前に、式の全ての項に共通する因数をくくり出す。共通する因数が無くなった式を因数分解すること。
以下の問１を例にして、たすき掛けのやり方の概要を示す。次に、問２を例にして、たすき掛けを使う以前から知っているべきだった知識を説明する。すなわち、ｘの２乗の係数が１の２次式を因数分解するために必要な２つのコツを説明する。
（中学生は、問２の説明だけを読めば良い）
【問１】
以下の式を因数分解せよ。
【解答】この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。
上の図の右端の列の(３x)と(４x)を足すと、最初の式
のｘの１次の項（7x）になります。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。
（ＡＣＢ法）因数分解が、いきあたりばったりにならないために、以下に示す、問２（１）（２）に示すコツ（その１）と（その２）が大切です。
【問２（１）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積（ー６０）を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－１７）にするのが目標である。
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その１）〙
その２項の積の（－６０）は、素数２の倍数であるが、目標の（－１７）が素数２の倍数ではない。この場合は、和を求める２つの項は、必ず、片方の項が素数２の倍数で無く、残りの項が素数２の倍数である。
そのため、２項の積の（ー６０）を積に分割する際に、積（ー６０）の約数の素数２の２乗を１かたまりにする。つまり、２の２乗である４を分割し得ない１組にし、その１組である４と、３と５との３つの数のうちのいくつかの数の積の第１項と、残りの数の積の第２項とに分割する。そのように数を選んだ第１項と第２項との分割のバラエティは下図のようになる。
その分割のバラエティを調べた結果、第１項と第２項の和が－１７になる組合せが求められた。
(1)その分割の第１項は、ー２０＝－４×５であり、
(2)分割の第２項は、３である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。求めた分割の第１項と第２項に対する、その項の値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。（この例では、２乗の項の係数の約数は最初から１に定まっている）
与式＝（ｘ＋３）（ｘー２０）
と因数分解できた。
【問２（２）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その２）〙
項１と項２の和を９にするのが目標。９が３の倍数なので、和を求める２つの項は、片方の項が３の倍数ならば、残りの項も３の倍数である。すなわち、下図の①②の順に発想し、①②が成り立つ場合に、③④に従って２つの項に分割する。
そのため、ｘの２乗の項の係数と定数項との積（１８）を項１と項２の積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。
次に、その項１と項２への分割を使って、下図のように、たすき掛けの計算をする。
与式＝（ｘ＋６）（ｘ＋３）
と因数分解できた。
【問３】ｘの２乗の項の係数が１ではない２次関数
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の１５にするのが目標。
すなわち、上記の計算のように、最初に、
ｘの２乗の係数の２と、定数項１８との積(２×１８)を計算する。次に、その積の値を２つの数の積に分割する。
(2×18)＝（３）×（１２）
という、２つの数積に分割して、その２つの数を足すとｘの１乗の項の係数の１５になるようにする。
（３）＋（１２）＝１５・・・・・ｘの項の係数
そういうふうに積の値を２つの数の積に分割する。
このやり方は、詳しくは、以下の手順で行う。
（▷その１）目標値の１５が２の倍数でないので、和を求める２つの項は、片方の項は２の倍数で無く、残りの項が２の倍数になる。そのため、積(２×１８)は、２の２乗である４が分割し得ない１組であり、その組と３と３との３つの数のブロックのうちのいくつかの数の積の第１項と、残りの数の積の第２項とに分けるしかない。
（▷その２）目標値の１５が３の倍数なので、和を求める２つの項は、片方が３の倍数ならば残りの項も３の倍数である。
そのため、積（２×１８）を２つ項の積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
(2×18)＝３×１２
だけが有効な分割である。
(1)その分割の第１項は、３であり、
(2)分割の第２項は、１２＝３×４である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。分割の各値に対する、その値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。
【問３Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【問３Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積(6)(180)を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（ー６７）にするのが目標。
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(６×１８０)を計算する。
ｘの２乗の係数と、定数項との積の(6)(180)は２の倍数であり、かつ、３の倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の（－６７）になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に３の倍数にもならない。そのため、(6)(180)での、２の３乗の８が分割し得ない１組であり、３の３乗の２７が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷（６×１８０）を積に分けられるブロックは、8と５と27のみに分けられる。
以上のブロックの、８と５と２７の数のいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りの数の積を求めた第２項を作る。その２つ項の和がちょうど（－６７）になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項の組み合わせは、（ー８）と（－１３５）、（－４０）と（ー２７）、ぐらいしかない。そのうち、２つの数の和がちょうど（ー６７）になる組合せは、（－４０）と（－２７）です。
(1)その分割の第１項は、ー４０＝－８×５であり、
(2)分割の第２項は、－２７＝－２７である。
この組合せが求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。
【問４Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問５】
以下の式を因数分解せよ。
（関西医科大学2023年前期数学【第１問(1)の変形】）
【解答】
最初に、ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積を計算する。次に、その式の積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をａの１乗の項の係数の式の（ー４ｂ）にするのが目標。
ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積は（ｂ－１）の倍数であり、かつ、（ｂ＋１）の倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の（－４ｂ）になるには、（－４ｂ）が（ｂ－１）の倍数ではないのいで、各項が一緒に（ｂ－１）の倍数にはならない。（－４ｂ）が（ｂ＋１）の倍数ではないので、各項が一緒に（ｂ＋１）の倍数にもならない。そのため、係数の式の積での、（ｂ－１）の２乗が分割し得ない１組であり、（ｂ＋１）の２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷係数の式の積を２つの項の積に分けられる単位のブロックは、（ｂ－１）の２乗のブロックと、（ｂ＋１）の２乗のブロックのみに分けられる。
以上のブロック（単位）のいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りのブロックの積を求めた第２項を作る。その２つ項の和がちょうど（－４ｂ）になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項の組み合わせは、（ｂ－１）の２乗と（－（ｂ＋１）の２乗）しかない。
この組合せが求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。
【問６】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数にするのが目標。
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３ａと、定数項（－２ａ）との積(３ａ×（－２ａ）)を計算する。
ｘの２乗の項の係数の式（３ａ）と、ｘの０乗の式（－２ａ）との積はａの倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の（６－ａ２）になるには、各項が一緒にａの倍数にはならない。そのため、係数の式の積での、ａの２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷係数の式の積を２つの項の積に分割する際に、分割し得ない組は、ａの２乗の１組と、それ以外の数の２と、３とが分割する単位のブロックになる。
以上のブロック（単位）のうちのいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りのブロック（単位）の積を求めた第２項を作る。その第１項と第２項の和がちょうど（６－ａ２） になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項は、（６）と（－（ａ）の２乗）が求められた。
これにより、２つの項の和がｘの１次の項の係数になる、２つの項が求められたので、以下のように数式を嚙み合わせて各項になるように、たすき掛けして因数分解する。
《問６の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する
たすき掛けが考えにくい場合は、以下のように式を計算すれば良い。
最初にｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式
を計算する。
次に、それを２つの項の積に分割する。
その２つの項の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの項の積に分割する。
上記の計算の結果、２つの項への分割が見つかった。次に、その分割した２つの項で式をしっかり分けて（ｘの１乗の項を２つに分けて） 以下のように式を書く。
その式の、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問７】以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積(75)(-164)を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の８９にするのが目標。すなわち、最初に、以下の計算を行って、足して８９にする２つの項を求める。
ｘの２乗の係数と、定数項との積の（７５）（ー１６４）は２の倍数であり、かつ、５の倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、積(75)(-164)を２つの項の積に分割する際に、２の２乗の４が分割し得ない１組であり、５の２乗の２５が分割し得ない１組である。
ゆえに、用いることができるのは：
▷75を積に分けられるブロックは、3と25のみに分けられ、
164を積に分けられるブロックは、4と41のみに分けられる。
以上のブロックの、３と２５と４と４１の数のいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りの数の積を求めた第２項を作る。その２つ項の和がちょうど８９になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組ぐらいしかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
(1)その分割の第１項は、１６４＝４×４１であり、
(2)分割の第２項は、－７５＝－３×２５である。
この組合せが求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。
《問７の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する
最初に、ｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせて、次に、以下のようにして、足して８９にする２つの項を求める。
その２つの項が見つかったら、ｘの１乗の項を、その２つの項に係る項に分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問８】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問９】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答はここをクリックした先にある。
（例１０）たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（９６）との積の（９６）を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（３６）になるのが目標。
▷目標の（３６）が２の倍数なので、積に分解した２つの数の和が２の倍数の目標になるには、その２つの数が一緒に２の倍数になる必要がある。また、下図の②で、目標の（３６）が３の倍数なので、積に分解した２つの数の和が３の倍数になるには、下図の④で、１つの項が３の倍数ならば、③で、残りの項も３の倍数になる必要がある。
しかし、積の（９６）を２つの項の積へ分割する場合では、２つ目の項④のみが３の倍数である。１つ目の項③は３の倍数にできない。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１１）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数が奇数であり、定数項が奇数であり、ｘの１乗の係数が奇数である場合は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１２）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（３０）との積の（３０）を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（１９）になるのが目標。
しかし、（３０＝２×３×５）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和を１９にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１３）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（－(y-2)(y+2)）との積を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（２）になるのが目標。
しかし、（－(y-2)(y+2)）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和からｙを消去し、値を２にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、例１４のように根号を使った式に因数分解する必要がある。
（問４の因数分解の、平方完成による方法）
（例１４）以下の式の因数分解は、たすき掛けでは因数分解できない。そのため、この式を因数分解するには、根号を使った式に因数分解する必要がある。|a|≦1の場合には、以下の式に因数分解できる。
リンク：
因数分解「たすきがけ」を早く簡単にする裏ワザの方法を解説
【裏技なのか？】たすき掛け因数分解を２通りで解説【ACメソッド(グループ化)】
たすきがけ不要！ 因数分解の裏技「左右積法」京都共栄学園バタビアコース
裏技どころか超正攻法！?「たすき掛けしない」たすき掛けの因数分解
【中学高校数学】たすきがけ（因数分解）の裏ワザ〈東大〉
分かりやすい【展開・因数分解】たすき掛けが簡単にできちゃう！
高校数学の目次
▷ｘの２乗の係数が１ではない２次関数（問３）
▷たすき掛けしないで自動的に計算する（問６の別解）
▷たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
《高校数学でつまずく事》
高校数学では、因数分解のたすき掛けを早く解くのに必要な、大切なコツは学校で教えていない。そういう理不尽さを乗り越えるためには、常に自分で考える、問題に向き合う態度が必要です。このページでは学校では教わらない因数分解のたすき掛けのコツ（ＡＣＢ法）を示す。
１．係数をかける:
(ｘの２乗の項の係数)×(定数項)＝積Ｓを求める。
２．積Ｓを、項１と項２との積に分割する:
① 積Ｓ＝項１×項２
② 項１＋項２＝(ｘの１乗の項の係数)
になるように、積Ｓを項１と項２との積に分割する。
（この項１と項２を素早く見つけるコツが２つある）
３．数を嚙み合わせてたすき掛けする:
項１と項２が求められたら、数を嚙み合わせて項１と項２にし、それをたすき掛けして因数分解の式を得る。
（この数の嚙み合わせは１つのみに定まり、簡単に求められる）
【大原則】因数分解をする前に、式の全ての項に共通する因数をくくり出す。共通する因数が無くなった式を因数分解すること。
以下の問１を例にして、たすき掛けのやり方の概要を示す。次に、問２を例にして、たすき掛けを使う以前から知っているべきだった知識を説明する。すなわち、ｘの２乗の係数が１の２次式を因数分解するために必要な２つのコツを説明する。
（中学生は、問２の説明だけを読めば良い）
【問１】
以下の式を因数分解せよ。
【解答】この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。
上の図の右端の列の(３x)と(４x)を足すと、最初の式
のｘの１次の項（7x）になります。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。
（ＡＣＢ法）因数分解が、いきあたりばったりにならないために、以下に示す、問２（１）（２）に示すコツ（その１）と（その２）が大切です。
【問２（１）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積（ー６０）を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（－１７）にするのが目標である。
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その１）〙
その２項の積の（－６０）は、素数２の倍数であるが、目標の（－１７）が素数２の倍数ではない。この場合は、和を求める２つの項は、必ず、片方の項が素数２の倍数で無く、残りの項が素数２の倍数である。
そのため、２項の積の（ー６０）を積に分割する際に、積（ー６０）の約数の素数２の２乗を１かたまりにする。つまり、２の２乗である４を分割し得ない１組にし、その１組である４と、３と５との３つの数のうちのいくつかの数の積の第１項と、残りの数の積の第２項とに分割する。そのように数を選んだ第１項と第２項との分割のバラエティは下図のようになる。
その分割のバラエティを調べた結果、第１項と第２項の和が－１７になる組合せが求められた。
(1)その分割の第１項は、ー２０＝－４×５であり、
(2)分割の第２項は、３である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。求めた分割の第１項と第２項に対する、その項の値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。（この例では、２乗の項の係数の約数は最初から１に定まっている）
与式＝（ｘ＋３）（ｘー２０）
と因数分解できた。
【問２（２）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その２）〙
項１と項２の和を９にするのが目標。９が３の倍数なので、和を求める２つの項は、片方の項が３の倍数ならば、残りの項も３の倍数である。すなわち、下図の①②の順に発想し、①②が成り立つ場合に、③④に従って２つの項に分割する。
そのため、ｘの２乗の項の係数と定数項との積（１８）を項１と項２の積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。
次に、その項１と項２への分割を使って、下図のように、たすき掛けの計算をする。
与式＝（ｘ＋６）（ｘ＋３）
と因数分解できた。
【問３】ｘの２乗の項の係数が１ではない２次関数
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の１５にするのが目標。
すなわち、上記の計算のように、最初に、
ｘの２乗の係数の２と、定数項１８との積(２×１８)を計算する。次に、その積の値を２つの数の積に分割する。
(2×18)＝（３）×（１２）
という、２つの数積に分割して、その２つの数を足すとｘの１乗の項の係数の１５になるようにする。
（３）＋（１２）＝１５・・・・・ｘの項の係数
そういうふうに積の値を２つの数の積に分割する。
このやり方は、詳しくは、以下の手順で行う。
（▷その１）目標値の１５が２の倍数でないので、和を求める２つの項は、片方の項は２の倍数で無く、残りの項が２の倍数になる。そのため、積(２×１８)は、２の２乗である４が分割し得ない１組であり、その組と３と３との３つの数のブロックのうちのいくつかの数の積の第１項と、残りの数の積の第２項とに分けるしかない。
（▷その２）目標値の１５が３の倍数なので、和を求める２つの項は、片方が３の倍数ならば残りの項も３の倍数である。
そのため、積（２×１８）を２つ項の積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
(2×18)＝３×１２
だけが有効な分割である。
(1)その分割の第１項は、３であり、
(2)分割の第２項は、１２＝３×４である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。分割の各値に対する、その値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。
【問３Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【問３Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積(6)(180)を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（ー６７）にするのが目標。
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(６×１８０)を計算する。
ｘの２乗の係数と、定数項との積の(6)(180)は２の倍数であり、かつ、３の倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の（－６７）になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に３の倍数にもならない。そのため、(6)(180)での、２の３乗の８が分割し得ない１組であり、３の３乗の２７が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷（６×１８０）を積に分けられるブロックは、8と５と27のみに分けられる。
以上のブロックの、８と５と２７の数のいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りの数の積を求めた第２項を作る。その２つ項の和がちょうど（－６７）になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項の組み合わせは、（ー８）と（－１３５）、（－４０）と（ー２７）、ぐらいしかない。そのうち、２つの数の和がちょうど（ー６７）になる組合せは、（－４０）と（－２７）です。
(1)その分割の第１項は、ー４０＝－８×５であり、
(2)分割の第２項は、－２７＝－２７である。
この組合せが求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。
【問４Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問５】
以下の式を因数分解せよ。
（関西医科大学2023年前期数学【第１問(1)の変形】）
【解答】
最初に、ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積を計算する。次に、その式の積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をａの１乗の項の係数の式の（ー４ｂ）にするのが目標。
ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積は（ｂ－１）の倍数であり、かつ、（ｂ＋１）の倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の（－４ｂ）になるには、（－４ｂ）が（ｂ－１）の倍数ではないのいで、各項が一緒に（ｂ－１）の倍数にはならない。（－４ｂ）が（ｂ＋１）の倍数ではないので、各項が一緒に（ｂ＋１）の倍数にもならない。そのため、係数の式の積での、（ｂ－１）の２乗が分割し得ない１組であり、（ｂ＋１）の２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷係数の式の積を２つの項の積に分けられる単位のブロックは、（ｂ－１）の２乗のブロックと、（ｂ＋１）の２乗のブロックのみに分けられる。
以上のブロック（単位）のいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りのブロックの積を求めた第２項を作る。その２つ項の和がちょうど（－４ｂ）になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項の組み合わせは、（ｂ－１）の２乗と（－（ｂ＋１）の２乗）しかない。
この組合せが求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。
【問６】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数にするのが目標。
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３ａと、定数項（－２ａ）との積(３ａ×（－２ａ）)を計算する。
ｘの２乗の項の係数の式（３ａ）と、ｘの０乗の式（－２ａ）との積はａの倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の（６－ａ２）になるには、各項が一緒にａの倍数にはならない。そのため、係数の式の積での、ａの２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷係数の式の積を２つの項の積に分割する際に、分割し得ない組は、ａの２乗の１組と、それ以外の数の２と、３とが分割する単位のブロックになる。
以上のブロック（単位）のうちのいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りのブロック（単位）の積を求めた第２項を作る。その第１項と第２項の和がちょうど（６－ａ２） になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項は、（６）と（－（ａ）の２乗）が求められた。
これにより、２つの項の和がｘの１次の項の係数になる、２つの項が求められたので、以下のように数式を嚙み合わせて各項になるように、たすき掛けして因数分解する。
《問６の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する
たすき掛けが考えにくい場合は、以下のように式を計算すれば良い。
最初にｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式
を計算する。
次に、それを２つの項の積に分割する。
その２つの項の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの項の積に分割する。
上記の計算の結果、２つの項への分割が見つかった。次に、その分割した２つの項で式をしっかり分けて（ｘの１乗の項を２つに分けて） 以下のように式を書く。
その式の、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問７】以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積(75)(-164)を計算する。次に、その積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の８９にするのが目標。すなわち、最初に、以下の計算を行って、足して８９にする２つの項を求める。
ｘの２乗の係数と、定数項との積の（７５）（ー１６４）は２の倍数であり、かつ、５の倍数である。
一方で、それを２つの項の積に分割して、その２つの項の和が目標の８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、積(75)(-164)を２つの項の積に分割する際に、２の２乗の４が分割し得ない１組であり、５の２乗の２５が分割し得ない１組である。
ゆえに、用いることができるのは：
▷75を積に分けられるブロックは、3と25のみに分けられ、
164を積に分けられるブロックは、4と41のみに分けられる。
以上のブロックの、３と２５と４と４１の数のいくつかを選んで積を求めた第１項と、残りの数の積を求めた第２項を作る。その２つ項の和がちょうど８９になる組合せを選ぶだけです。
そうなる第１項と第２項の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組ぐらいしかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
(1)その分割の第１項は、１６４＝４×４１であり、
(2)分割の第２項は、－７５＝－３×２５である。
この組合せが求められたので、以下のように数を嚙み合わせてたすき掛けして因数分解する。
《問７の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する
最初に、ｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせて、次に、以下のようにして、足して８９にする２つの項を求める。
その２つの項が見つかったら、ｘの１乗の項を、その２つの項に係る項に分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問８】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問９】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答はここをクリックした先にある。
（例１０）たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（９６）との積の（９６）を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（３６）になるのが目標。
▷目標の（３６）が２の倍数なので、積に分解した２つの数の和が２の倍数の目標になるには、その２つの数が一緒に２の倍数になる必要がある。また、下図の②で、目標の（３６）が３の倍数なので、積に分解した２つの数の和が３の倍数になるには、下図の④で、１つの項が３の倍数ならば、③で、残りの項も３の倍数になる必要がある。
しかし、積の（９６）を２つの項の積へ分割する場合では、２つ目の項④のみが３の倍数である。１つ目の項③は３の倍数にできない。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１１）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数が奇数であり、定数項が奇数であり、ｘの１乗の係数が奇数である場合は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１２）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（３０）との積の（３０）を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（１９）になるのが目標。
しかし、（３０＝２×３×５）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和を１９にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１３）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（－(y-2)(y+2)）との積を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（２）になるのが目標。
しかし、（－(y-2)(y+2)）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和からｙを消去し、値を２にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、例１４のように根号を使った式に因数分解する必要がある。
（問４の因数分解の、平方完成による方法）
（例１４）以下の式の因数分解は、たすき掛けでは因数分解できない。そのため、この式を因数分解するには、根号を使った式に因数分解する必要がある。|a|≦1の場合には、以下の式に因数分解できる。
リンク：
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