勉強しよう数学: ３次方程式が重根を持つ条件

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「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【解答１】
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
（２）
３（式１）－（式４）ｘを計算する。
３ｘ^３＋３ａｘ＋３ｂ－（３ｘ^３＋ａｘ）＝０
３ａｘ＋３ｂ－ａｘ＝０
２ａｘ＋３ｂ＝０　（式５）
（３）
ａ≠０の場合は、
ｘ＝－３ｂ／（２ａ）　（式６）
このｘの値が重根である。
（４）
ａ＝０の場合は、
式５より、
ｂ＝０
すなわち、ａ＝ｂ＝０の場合に、式１も式４もｘ＝０を解に持つ。
（５）
式６のｘの値を式４に代入する。
３（－３ｂ／（２ａ））^２＋ａ＝０
（２７／４）（ｂ／ａ）^２＋ａ＝０
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
式７は、ａ＝ｂ＝０の場合も含んでいる。
（６）
式６のｘの値を式１に代入する。
（－３ｂ／（２ａ））^３＋ａ（－３ｂ／（２ａ））＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（３／２）ｂ＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（１／２）ｂ＝０
－２７（ｂ／ａ）^３－４ｂ＝０
２７（ｂ／ａ）^３＋４ｂ＝０
２７ｂ^３＋４ｂａ^３＝０
ｂ（２７ｂ^２＋４ａ^３）＝０
ｂ＝０
ｏｒ
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
再び式７を得た。
（７）
よって、パラメータａとｂの間に成り立つ関係は、
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
である。おぼえ易い式に変形すると、
（ｂ／２）^２＋（ａ／３）^３＝０　（式７’）
これが、式１が重根（３重根も重根の一種として）を持つ条件である。
（解答おわり）

【解答２】
　式１が重根を持つ場合は、式ｆと、それを微分した式ｆ’≡ｇが共通因数を持つ。
　共通因数を持つ式ｆと式ｇをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が０になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
（１）先ず、ｆ’≡ｇを計算する。

このｆをｇで割り算した余りの式ｈを計算する。

次にｇをｈで割り算した余りの定数項の式ｋを計算する。
（ただし、ａ≠０とする）

ｆとｇが共通因数ｈを持つので、式ｇはｈで割り切れ、余りの定数項ｋは０になる。
よって、以下の式が成り立つ。

解答１で求めた解の式７と同じ式ａ－５が得られた。
（ａ＝０の場合）
　重根を持つ条件は、ｂ＝０である。
これは、式ａ－５に当てはまっている。
その場合にｘ＝０で３重根を持つ。
（解答おわり）

（コメント）
ここで、３次方程式１の判別式Ｄは、
Ｄ≡－（ｂ／２）^２－（ａ／３）^３
であり、
Ｄ＝０の場合に式１は重根を持ち、
Ｄ＞０の場合に式１は３つの実数根を持つ。

この判別式Ｄは、以下の様にすると思い出し易い。
式１をｙとして、
ｙの微分に－１を掛けた式８を考える。