アフィン変換（３）

図形の問題をやさしく解こうとする数学の努力の成果の１つにアフィン変換という図形の変換技術があります。
　このアフィン変換では、平行６面体の形をひしゃげた平行６面体に変換します。

以下の問題を例にして、このアフィン変換を利用して問題を解いてみます。

【問】以下の図の直線ＯＢと面ＤＥＦの交点Ｇを求めよ。

【解１】以下のように図に書き込みます。

（１）まず、Ｏ点を原点に置きます。
（２）次にＤ点とＡ点をＸ軸上に置いて、Ｄ点のＸ座標を２にして、Ａ点のＸ座標を５にします。
（３）次に、Ｅ点を（２，２，０）の座標に置いて、Ｄ点と同じＸ座標にします。
（後でＦ点のＸ座標も２にして、面ＤＥＦを、ｘ＝２の面にします。）
（４）次に、Ｃ点を、ＣＥ：ＥＡが１：２でＣＥＡが直線上に乗るように座標値を決めます。
Ｃ（（２－（３／２）），３，０）です。
（５）次に、Ｆ点を、そのＸ座標がＤ点及びＥ点と同じ２になる点に定めます。
Ｙ座標はＣ点と同じ３にして、
Ｆ（２，３，２）
とすると良いでしょう。
（これで、面ＤＥＦを、ｘ＝２の面にしました。）
（６）次に、Ｂ点を、ＢＦ：ＦＣが１：２でＢＦＣが直線上に乗るように座標値を決めます。
Ｂ（（２＋（３／４）），３，３）です。
（７）Ｇ点は面ＤＥＦ上の点ですのでＸ座標が２です。
（８）これで、Ｂ点もＧ点もＸ座標が定まったので、ＯＧ：ＯＢの比ｓを計算します。
その比はＸ座標の値の比で計算できます。
ｓ＝８／１１になりました。
（解１おわり）

【解２】以下のように、全ての点をＸ軸上に変換します。
面DEFGは、ｘ＝２の点に変換します。

これで、Ｂ点もＧ点もＸ座標が定まったので、ＯＧ：ＯＢの比ｓを計算します。
ｓ＝８／１１になりました。
（解２おわり）

　以上のように、ベクトルａ、ｂ、ｃであらわした立体図形を、問題が解きやすい形に変形するのがアフィン変換です。
　このアフィン変換では、直線は直線に変換して、その直線上の線分同士の長さの比は変わらないように、点の移動先の座標を定めていきます。
そして、変換した図形で、ある線分同士の長さの比が求められたなら、その長さの比は、変換する以前の図形の線分間の比と等しいです。

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