立体図形の想像力

【立体図形の平面ＰＢＲＱ】

上図で、平面ＰＢＲＱを想像するとき、
その平面に交差する、２つの平行する平面ＡＢＣＤと平面ＥＦＧＨを広げた下の図を想像してください。

このように上下の平行平面を広げて想像すると、平面ＰＢＲＱが平面ＰＢＲ’Ｑに拡大されて、見易くなります。
そして、その平面ＰＢＲ’Ｑに垂直な平面ＡＥＴＳが想像し易くなります。

　２つの平行する平面ＰＢＲ’Ｑと平面ＡＢ’Ｃ’Ｄ’が、他の平面ＥＦ’Ｇ’Ｈ’と交差する交線ＰＢと交線ＱＲ’については、
両交線は同じ平面ＰＢＲ'Ｑ上の２つの直線なので、ねじれの関係はあり得ず、交差するか平行線になるかのどちらかです。両交線は、交差することがありえない平行する２つの平面上の直線なので、交線ＰＢとＱＲ’は平行です。

　平面ＰＢＲ’Ｑと平面ＡＥＴＳが垂直であるならば、以下の関係が全部成り立ちます。逆に以下の関係のどれかが成り立つなら、両平面は垂直です。
（１）平面ＡＥＴＳ上の２本の直線ＡＳと直線ＡＥが、平面ＰＢＲ’Ｑ上の１本の直線ＰＢに対して垂直である。
（２）また、両平面の交線ＫＬに垂直な、平面ＡＥＴＳ上の１本の直線ＥＭが、平面ＰＢＲ’Ｑ上の全ての直線に垂直な垂線である。
（３）また、両平面の交線ＫＬに垂直な、平面ＰＢＲ’Ｑ上の１本の直線ＰＢが、平面ＡＥＴＳ上の全ての直線に垂直な垂線である。

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