立体をずれ変形させて体積を求める

三角形をずれ変形させて面積を求めた様に、立体もずれ変形させて体積を求めることができる。

上図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の３頂点が、Ａ，Ｂ，Cである三角錐OABCの体積Vを求める。

以下の図の様に、図形のX座標を、Y座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。このずれ変形によって、図形は歪むが、各部分の体積は変わらない。

この変形により、以下の様に図形がX方向に歪んで：

以下の図形に変わる。

更に、以下の図の様に、図形のZ座標を、X座標に比例させて変化させる「ずれ変形」をさせる。

この変形により、立体がZ方向に歪んで、以下の図形に変わる。

この変形した三角錘OABCの体積Vは、以下の式で計算できる。

（計算おわり）

（補足）
　なお、以上の計算で、図形のずれ変形操作は、横にしたベクトルAとBとCを縦に並べて、それらのベクトルのｘ座標の列を定数数倍して、ｙ座標の列やｚ座標の列に加える操作であるとわかりました。
　そのずれ変形操作によっては、それらのベクトルの張る立体の体積が変わりません。
　また、一方で、ベクトルAを、定数倍にして他のベクトルBやベクトルCに加える操作も行えます。その操作は、立体図形OABCの点Bや点CをベクトルAに平行に移動させる操作になります。その操作でも、ベクトルの張る立体の体積が変わりません。
　結局、
（１） 横にしたベクトルAとBとCを縦に並べた数字の行列を作る。
（２）その行列の縦の列を定数倍して他の列に足し算しても、ベクトルの張る立体図形の体積が変わらない。
（３）また、行列の横の行を定数倍して他の行に足し算しても、ベクトルの張る立体図形の体積が変わらない。
（結論）
　これらの（２）や（３）の操作を繰り返して、ベクトルA，Ｂ，Ｃを計算に都合の良いベクトルに変形できます。そうして、立体の体積を計算する事ができます。
　この事は大学に入学した後で線形代数で学びます。

リンク：
三角形をずれ変形させて面積を求める
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
高校数学の目次