《組み分け問題のあいまいさ》
組み分け問題はきちんと問題文が定義されていないと、問題があいまいになる、という問題点があります。
（１）「組に区別が無い」という用語の意味の矛盾
「組に区別が無い」と言う問題では、複数の組が、互いに異なる事がしっかり区別できる。組に区別が無いわけでは無い。組の人数が異なれば、その特徴で組が区別できる。また、誰がその組にいるかの特徴で組が区別できる。そのように区別できる組に対して「組に区別が無い」と指定することの意味は、ある組分けに対して、（同じ人数同士の）組の名前を付け替えてできる組み分けのバラエティの全ての組み分けを１つの組み分けとして考えるという意味です。すなわち、組の名前の付け方のバラエティを１まとめにする場合に「組に区別が無い」と呼んでいます。
m1,m2,m3,m4の４人を、２人、１人、１人の３つの組に分ける例を使って、「組に区別が無い」という意味について考えてみます。
先ず、人数で組が区別できます。
２人の組をA組と名付けることができます。
次に、誰が入っているかという特徴で組に名前を付けることができます。
m3が入っている組をB組と名付けることができます。
そのようにした組の名付け方の規則に従うと、
(m1,m2)(m3)(m4)
という組分けは、
(A組)(B組)(C組)の組分けであることになります。
(m1,m2)(m4)(m3)という組分けは、
(A組)(C組)(B組)の組分けであることになります。
どちらの組分けも、
A組がm1,m2,
B組がm3,
C組がm4,
という同じ分け方になります。
(m3)(m1,m2)(m4)
という組分けも、
(B組)(A組)(C組)の組分けであることになりますので、
先の組み分けと同じ組み分けになります。
このように、組の人数、さらにはメンバーによって自動的な区別がされます。
そして、「組に区別が無い」場合は、このように、組の名前が人とともに動いてしまうので、
強制的に組名を付けた組に人を分けた場合の組分けとは、
組分けの数が異なります。
（１ｂ）「組に分ける」と「人に分ける」とで意味が変わるあいまいさ
区別が無い（組名のバラエティを無くした）３組に分ける、のか、名前が付いた３組に分けるのかをハッキリさせないと問題があいまいになる。しかし、出題者側での思い込みにより、組には（特に指定しない限りは）区別が無いことを前提にした問題もある。そういう問題のあいまいさがある。
同様に、区別が無い（名前のバラエティが無い）３人に分ける、のか、名前がある３人に分けるのかをハッキリさせなければならない。しかし、３人に分ける、と言う場合は、組み分け問題とは違って、名前がある３人に分けることが前提にあると解釈させる問題があるようである。「３人」の場合には、区別が無い３人の問題にはならないと考える根拠は無い。そういうように、出題者側での思い込みにより、人には（特に指定しない限りは）区別があることを前提にした問題もある、そういう問題のあいまいさがある。
（２）「３つに分ける」と言う用語の意味の矛盾
組み分け問題では、６個の何かを、Ａ組に０個、Ｂ組に３個、Ｃ組に３個分ける場合を、すなわち、Ａ組には分けない場合も、「Ａ組とＢ組とＣ組に分ける」１つの場合であるとする「分ける」という言葉の意味の拡張があります。その意味の拡張に従って、６個の何かを３個と３個との２つに分ける場合も、３つ目が０個であるという意味で、０個と３個と３個との「３つに分ける」と考える意味の拡張があります。そのように、６個の何かを２つに分ける場合も、３つに分けることの一種とする、「分ける」の意味の拡張があります。
（３）「３つに分ける」と言う場合の問題のあいまいさを無くすには：
問題の条件に、「各組に１つ以上入れる」という条件を付け加えるか、あるいは、「ある組に入れる数が０個になっても良いものとする」という条件を付け加えることで、問題のあいまいさを無くすことができます。
《組み分けの考察（その１）》
３つの組に、どの組にも１人以上の（各人が区別できる）構成員がいる、ある１つの組分けＸは、
組にＡ，Ｂ，Ｃと名前を付けて、その名前を入れ替えると、３！＝６の異なる組分けができる。
組の区別が無い場合の組み分けを区別する方法は、ある１つの組分けＸにおいて、各組の構成員によって組み分けを区別する。
ある人aが入っている組を１組とし、１組の構成員以外のある人bが入っている組を２組とし、１組と２組の構成員以外のある人cが入っている組を３組とする。
組の区別が無い場合の、組分けＸでの各組の構成員が変らない組分けＹは、すなわち、その組分けＹでのどの組の構成員も、組分けＸでのいずれかの組の構成員に完全に一致するならば、その組分けＹは、組分けＸと同じ組み分けである。
組にＡ，Ｂ，Ｃと名前を付けて区別する場合は、組の区別が無い場合の１つの組分けＸの、
人aがいる１組に、Ａ，Ｂ，Ｃのどれかの組の名をつける３通りの場合が考えられる。
人bがいる２組に、１組に付けた組名以外のＡ，Ｂ，Ｃのどれかの組名がつけられる２通りの場合が考えられる。
人cがいる３組に、Ａ，Ｂ，Ｃのうち、１組に付けた組名でも２組に付けた組名でも無いＡ，Ｂ，Ｃのうちで残った１つの組名がつけられる。
すなわち、組の区別が無い場合の１つの組分けＸは、各組を、A組、B組、C組と名付ける組名の名付け方のバラエティが３！通りある。
そのように、各組を、A組、B組、C組であると、組名によって区別するならば、その３！通りの組分けは異なる組分けになる。
組の区別が無い場合の１つの組分けＸが、組を、組名Ａ，Ｂ，Ｃによって区別するならば、３！個の異なる組分けになる。
《組み分けの考察（その２）》
３つの組に（各人を区別できる）数人を分ける場合に、０人の組があっても良い場合は、 組にＡ，Ｂ，Ｃと名前を付けて、その名前を入れ替えても、異なる組分けが３つしかできない場合（以下の場合）がある。
なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組ならば、組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことである。
【問１】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問２】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問３】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問４】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問５】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【考察】《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
この問題の解答はここをクリックした先の解答ページにあります。これらの問題を自力で解いた後で、この解答ページに書いた【考察】も見てください。
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組み分け問題はきちんと問題文が定義されていないと、問題があいまいになる、という問題点があります。
（１）「組に区別が無い」という用語の意味の矛盾
「組に区別が無い」と言う問題では、複数の組が、互いに異なる事がしっかり区別できる。組に区別が無いわけでは無い。組の人数が異なれば、その特徴で組が区別できる。また、誰がその組にいるかの特徴で組が区別できる。そのように区別できる組に対して「組に区別が無い」と指定することの意味は、ある組分けに対して、（同じ人数同士の）組の名前を付け替えてできる組み分けのバラエティの全ての組み分けを１つの組み分けとして考えるという意味です。すなわち、組の名前の付け方のバラエティを１まとめにする場合に「組に区別が無い」と呼んでいます。
m1,m2,m3,m4の４人を、２人、１人、１人の３つの組に分ける例を使って、「組に区別が無い」という意味について考えてみます。
先ず、人数で組が区別できます。
２人の組をA組と名付けることができます。
次に、誰が入っているかという特徴で組に名前を付けることができます。
m3が入っている組をB組と名付けることができます。
そのようにした組の名付け方の規則に従うと、
(m1,m2)(m3)(m4)
という組分けは、
(A組)(B組)(C組)の組分けであることになります。
(m1,m2)(m4)(m3)という組分けは、
(A組)(C組)(B組)の組分けであることになります。
どちらの組分けも、
A組がm1,m2,
B組がm3,
C組がm4,
という同じ分け方になります。
(m3)(m1,m2)(m4)
という組分けも、
(B組)(A組)(C組)の組分けであることになりますので、
先の組み分けと同じ組み分けになります。
このように、組の人数、さらにはメンバーによって自動的な区別がされます。
そして、「組に区別が無い」場合は、このように、組の名前が人とともに動いてしまうので、
強制的に組名を付けた組に人を分けた場合の組分けとは、
組分けの数が異なります。
（１ｂ）「組に分ける」と「人に分ける」とで意味が変わるあいまいさ
区別が無い（組名のバラエティを無くした）３組に分ける、のか、名前が付いた３組に分けるのかをハッキリさせないと問題があいまいになる。しかし、出題者側での思い込みにより、組には（特に指定しない限りは）区別が無いことを前提にした問題もある。そういう問題のあいまいさがある。
同様に、区別が無い（名前のバラエティが無い）３人に分ける、のか、名前がある３人に分けるのかをハッキリさせなければならない。しかし、３人に分ける、と言う場合は、組み分け問題とは違って、名前がある３人に分けることが前提にあると解釈させる問題があるようである。「３人」の場合には、区別が無い３人の問題にはならないと考える根拠は無い。そういうように、出題者側での思い込みにより、人には（特に指定しない限りは）区別があることを前提にした問題もある、そういう問題のあいまいさがある。
（２）「３つに分ける」と言う用語の意味の矛盾
組み分け問題では、６個の何かを、Ａ組に０個、Ｂ組に３個、Ｃ組に３個分ける場合を、すなわち、Ａ組には分けない場合も、「Ａ組とＢ組とＣ組に分ける」１つの場合であるとする「分ける」という言葉の意味の拡張があります。その意味の拡張に従って、６個の何かを３個と３個との２つに分ける場合も、３つ目が０個であるという意味で、０個と３個と３個との「３つに分ける」と考える意味の拡張があります。そのように、６個の何かを２つに分ける場合も、３つに分けることの一種とする、「分ける」の意味の拡張があります。
（３）「３つに分ける」と言う場合の問題のあいまいさを無くすには：
問題の条件に、「各組に１つ以上入れる」という条件を付け加えるか、あるいは、「ある組に入れる数が０個になっても良いものとする」という条件を付け加えることで、問題のあいまいさを無くすことができます。
《組み分けの考察（その１）》
３つの組に、どの組にも１人以上の（各人が区別できる）構成員がいる、ある１つの組分けＸは、
組にＡ，Ｂ，Ｃと名前を付けて、その名前を入れ替えると、３！＝６の異なる組分けができる。
組の区別が無い場合の組み分けを区別する方法は、ある１つの組分けＸにおいて、各組の構成員によって組み分けを区別する。
ある人aが入っている組を１組とし、１組の構成員以外のある人bが入っている組を２組とし、１組と２組の構成員以外のある人cが入っている組を３組とする。
組の区別が無い場合の、組分けＸでの各組の構成員が変らない組分けＹは、すなわち、その組分けＹでのどの組の構成員も、組分けＸでのいずれかの組の構成員に完全に一致するならば、その組分けＹは、組分けＸと同じ組み分けである。
組にＡ，Ｂ，Ｃと名前を付けて区別する場合は、組の区別が無い場合の１つの組分けＸの、
人aがいる１組に、Ａ，Ｂ，Ｃのどれかの組の名をつける３通りの場合が考えられる。
人bがいる２組に、１組に付けた組名以外のＡ，Ｂ，Ｃのどれかの組名がつけられる２通りの場合が考えられる。
人cがいる３組に、Ａ，Ｂ，Ｃのうち、１組に付けた組名でも２組に付けた組名でも無いＡ，Ｂ，Ｃのうちで残った１つの組名がつけられる。
すなわち、組の区別が無い場合の１つの組分けＸは、各組を、A組、B組、C組と名付ける組名の名付け方のバラエティが３！通りある。
そのように、各組を、A組、B組、C組であると、組名によって区別するならば、その３！通りの組分けは異なる組分けになる。
組の区別が無い場合の１つの組分けＸが、組を、組名Ａ，Ｂ，Ｃによって区別するならば、３！個の異なる組分けになる。
《組み分けの考察（その２）》
３つの組に（各人を区別できる）数人を分ける場合に、０人の組があっても良い場合は、 組にＡ，Ｂ，Ｃと名前を付けて、その名前を入れ替えても、異なる組分けが３つしかできない場合（以下の場合）がある。
なぜなら、組が区別される場合においても、上の組み分けの０人のA組と０人のB組を入れ替えても同じ組み分けにしかならないからである。組を区別する場合では、人が入っている組ならば、組の名前を替えれば、異なる組分けになる。しかし、人が０人の組同士の名前を入れ替えても、異なる組み分けには成らない。組の名前を変えることで組分けが変わるのは、人が１人以上いる組の名前を変える場合にのみ有効なことである。
【問１】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問２】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問３】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問４】
（各人を区別できる）９人を、(各組に１人以上は入れて、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【問５】
（各人を区別できる）９人を、(人数指定なく、組の区別なく)４つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。
【考察】《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
この問題の解答はここをクリックした先の解答ページにあります。これらの問題を自力で解いた後で、この解答ページに書いた【考察】も見てください。
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