【問題１】
（各人が区別された）３人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
（１）先ず、（各人が区別された）3人を（０人の組があっても良い）A,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、
通りある。
すなわち、３人をA,B,Cの３組に入れる事象の連鎖の糸の総数が２７本ある。
（２）次に、この２７個の事象の連鎖の糸を、A組にｍ人、B組にｎ人、C組にｔ人という組の人数の事象の連鎖の種類で分類した枝に束ねる。すなわち、組の人数の事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。
この樹形図から、組み分け人数の枝のバラエティの数（組の人数の事象の連鎖の枝の数）は、１０通りあることがわかる。（その各枝は、上式の各項に対応している）
しかし、各々の組の人数の事象の連鎖の枝に対応する人の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
（２－１）３人を１つに組に入れる場合は、組分けの人数による組分けのバラエティの数は、その３人をどの組 に入れるかの３つがあり、３つの枝に分岐する。
その１つの枝毎の、その１つの組に入る人のバラエティの数は、１つだけである。
（２－２）３人を２つの組に（各組に１人以上）入れる場合の、組分けの人数による組分けのバラエティの枝は、２人を入れる第１の組を選ぶバラエティの数の３と、その他の２つの組から、１人を入れる第２の組を選ぶバラエティの数の２、との積の、６つの、組分けの人数による組分けのバラエティの枝に分岐する。
その１つの枝毎の、その２つの組に（各人を区別した）３人を入れるバラエティの数は、１人だけ入れた第２の組に、aかbかcかのどの人を入れるかのバラエティの数であり、３である。
その６つの枝の数とバラエティの数３の積の値は：上図の式(x+y+z)^3を用いると、３人を各組に1人以上入れて２つの組に入れる組分けの数である。その組分けの数の値は、式の各項に対応する６つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との２通りに計算できる。
（２－３）３人を３つの組に（各組に１人ずつ）入れる場合の枝は、組の人数に偏りが無いので、組分けの人数による組分けのバラエティの数が１つだけであり、１つの枝に分岐する。
その１つの枝での、その各組にどの人を入れるかのバラエティの数は、組Aにどの人を入れるかのバラエティの数３と、組Bに残りの２人のうちのどの１人を入れるかのバラエティの数２、との積であり、６である。
（３）なお、各枝毎の、どの人によって各組を編成するかの組編成の組み合わせの数は、上図に記載した式(x+y+z)^3を展開した各項の係数に対応する関係がある。
（４）上図の式(x+y+z)^3を用いると、３人を各組に1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式の項に対応する１つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との２通りに計算できる。
（解答おわり）
【問題２】
（各人が区別された）４人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^4を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。
そして、（区別された）４人を１つの組は０人にして、それ以外の２つの組の各々に1人以上入れる組分けの数の値は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚのうちの２つの変数の積だけを含む９種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答おわり）
【問題２ｂ】
（各人が区別された）４人を各組に１人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組合せの数を求めよ。
【解答１】
４人を各組に1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、上の問題２で得たｘとｙとｚの式のｘｙｚを含む項に係る枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答１おわり）
【解答２】
上の解答１とは異なる考え方で解きます。
（４人を各組に１人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組合せの数）＝
＝（A組に２人、B組に１人、C組に１人入れる組合せの数）×（２人の組をA組以外に変えるバラエティの数）
＝（A組に２人、B組に１人、C組に１人入れる組合せの数）×３，
（A組に２人、B組に１人、C組に１人入れる組合せの数）は以下の式で計算できる。
よって、（４人を各組に１人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組合せの数）＝
（解答２おわり）
【問題３】
（各人が区別された）５人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^5を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。
５人を（２つの組を０人にして）１つの組だけに入れる組分けの数は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚのうちの１つの変数だけで作られる３種の項の数であり、３つある。
５人を１つの組は０人にし、それ以外の２つの組の各々に1人以上入れる組分けの数は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚのうちの２つの変数の積だけで作られる１２種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。
５人をどの組にも1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式のｘｙｚを含む６種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答おわり）
【問題４】
（各人が区別された）５人を、Ａ組に２人、Ｂ組に２人、Ｃ組に１人に分ける、分け方の組分けの数を求めよ。
【解答】
組が名前で区別されている場合の組分けの数は、
５人を順番に並べ、その並べた順に、２人、２人、１人のＡ，Ｂ，Ｃ組に分け、
Ａ組の２人は、同じ２人の順番の並び替えのバラエティの２！で割り算し、
Ｂ組の２人は、同じ２人の順番の並び替えのバラエティの２！で割り算し、
５！／（２！＊２！） で計算できる。
（解答おわり）
【問題５】
（各人が区別された）５人を、（区別されない）３組に２人、２人、１人に分ける、分け方の組分けの数を求めよ。
【解答】
ここで、Ａ組、Ｂ組は、同じ２人の人数の組なので、
組を組名で区別しないことにすると、
ある４人をＡ組とＢ組に組み分けした組み分けの数を、Ａ組とＢ組の（２つの組の）名前を付け替えるバラエティの数２！で割り算する必要がある。
一方で、「組を区別（名前で）しない」と言っても、 ２人の組と１人の組（Ｃ組）は人数が違うので、明らかに区別できる。
よって、Ａ組とＢ組との２つの組の名前を付け替えるバラエティの数２！で割り算するだけでよい。
そのため、
（区別されない）３組に２人、２人、１人に分ける組分けの数は、
（各人が区別された）５人を、Ａ組に２人、Ｂ組に２人、Ｃ組に１人に分ける、分け方の組分けの数を、
Ａ組とＢ組との２つの組の名前を付け替えるバラエティの数２！で割り算する。
すなわち、
｛５！／（２！＊２！）｝／２！
で計算できる。
（解答おわり）
【問題６】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良い）A,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良い）A,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、
通りある。
（解答おわり）
【問題７】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良く）（区別されない）３組に分ける組分けの数を求めよ。
【解１】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良く）（区別されない）３組に分ける組分けの数は、
「組に区別なく人数指定なく（各人を区別できる）人を組分けする数と組分け問題の本質」
のページの【問１】の解き方で解くことができる。
「（１）（各人を区別できる人を）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、３・２＝３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組５人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、３つの組分けができるだけである。」
そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく3つの組に分ける組み合わせの数は、
以下の数で計算できる。
（解１おわり）
《補足》
ここで、A組０人B組０人C組５人の組分けだけが、組の名前を入れ替えて３倍になるバラエティがある。それ以外の組分けは、組の名前を入れ替えると６倍になるバラエティがある。（注意）組み分けをｘとｙとｚの積の項であらわした式では、その６つのバラエティが、あたかも３つしかないように見え、６つのバラエティが隠されている。
この組分けから、組を区別しない組分けを抽出すると以下の組分けになる。
【問題８】
（区別された）６人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^6を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。
（区別された）６人を、ある組は０人にし、それ以外の２つの組には1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式のその項に対応する１５個の枝に関して、以下の式で計算できる。
また、６人を各組に1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式のその項に対応する１０個の枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答おわり）
（補足）
以上で与えた一連の等式を以下で導き出しておく。
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（各人が区別された）３人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
（１）先ず、（各人が区別された）3人を（０人の組があっても良い）A,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、
通りある。
すなわち、３人をA,B,Cの３組に入れる事象の連鎖の糸の総数が２７本ある。
（２）次に、この２７個の事象の連鎖の糸を、A組にｍ人、B組にｎ人、C組にｔ人という組の人数の事象の連鎖の種類で分類した枝に束ねる。すなわち、組の人数の事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。
この樹形図から、組み分け人数の枝のバラエティの数（組の人数の事象の連鎖の枝の数）は、１０通りあることがわかる。（その各枝は、上式の各項に対応している）
しかし、各々の組の人数の事象の連鎖の枝に対応する人の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
（２－１）３人を１つに組に入れる場合は、組分けの人数による組分けのバラエティの数は、その３人をどの組 に入れるかの３つがあり、３つの枝に分岐する。
その１つの枝毎の、その１つの組に入る人のバラエティの数は、１つだけである。
（２－２）３人を２つの組に（各組に１人以上）入れる場合の、組分けの人数による組分けのバラエティの枝は、２人を入れる第１の組を選ぶバラエティの数の３と、その他の２つの組から、１人を入れる第２の組を選ぶバラエティの数の２、との積の、６つの、組分けの人数による組分けのバラエティの枝に分岐する。
その１つの枝毎の、その２つの組に（各人を区別した）３人を入れるバラエティの数は、１人だけ入れた第２の組に、aかbかcかのどの人を入れるかのバラエティの数であり、３である。
その６つの枝の数とバラエティの数３の積の値は：上図の式(x+y+z)^3を用いると、３人を各組に1人以上入れて２つの組に入れる組分けの数である。その組分けの数の値は、式の各項に対応する６つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との２通りに計算できる。
（２－３）３人を３つの組に（各組に１人ずつ）入れる場合の枝は、組の人数に偏りが無いので、組分けの人数による組分けのバラエティの数が１つだけであり、１つの枝に分岐する。
その１つの枝での、その各組にどの人を入れるかのバラエティの数は、組Aにどの人を入れるかのバラエティの数３と、組Bに残りの２人のうちのどの１人を入れるかのバラエティの数２、との積であり、６である。
（３）なお、各枝毎の、どの人によって各組を編成するかの組編成の組み合わせの数は、上図に記載した式(x+y+z)^3を展開した各項の係数に対応する関係がある。
（４）上図の式(x+y+z)^3を用いると、３人を各組に1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式の項に対応する１つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との２通りに計算できる。
（解答おわり）
【問題２】
（各人が区別された）４人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^4を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。
そして、（区別された）４人を１つの組は０人にして、それ以外の２つの組の各々に1人以上入れる組分けの数の値は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚのうちの２つの変数の積だけを含む９種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答おわり）
【問題２ｂ】
（各人が区別された）４人を各組に１人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組合せの数を求めよ。
【解答１】
４人を各組に1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、上の問題２で得たｘとｙとｚの式のｘｙｚを含む項に係る枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答１おわり）
【解答２】
上の解答１とは異なる考え方で解きます。
（４人を各組に１人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組合せの数）＝
＝（A組に２人、B組に１人、C組に１人入れる組合せの数）×（２人の組をA組以外に変えるバラエティの数）
＝（A組に２人、B組に１人、C組に１人入れる組合せの数）×３，
（A組に２人、B組に１人、C組に１人入れる組合せの数）は以下の式で計算できる。
よって、（４人を各組に１人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組合せの数）＝
（解答２おわり）
【問題３】
（各人が区別された）５人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^5を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。
５人を（２つの組を０人にして）１つの組だけに入れる組分けの数は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚのうちの１つの変数だけで作られる３種の項の数であり、３つある。
５人を１つの組は０人にし、それ以外の２つの組の各々に1人以上入れる組分けの数は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚのうちの２つの変数の積だけで作られる１２種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。
５人をどの組にも1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式のｘｙｚを含む６種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答おわり）
【問題４】
（各人が区別された）５人を、Ａ組に２人、Ｂ組に２人、Ｃ組に１人に分ける、分け方の組分けの数を求めよ。
【解答】
組が名前で区別されている場合の組分けの数は、
５人を順番に並べ、その並べた順に、２人、２人、１人のＡ，Ｂ，Ｃ組に分け、
Ａ組の２人は、同じ２人の順番の並び替えのバラエティの２！で割り算し、
Ｂ組の２人は、同じ２人の順番の並び替えのバラエティの２！で割り算し、
５！／（２！＊２！） で計算できる。
（解答おわり）
【問題５】
（各人が区別された）５人を、（区別されない）３組に２人、２人、１人に分ける、分け方の組分けの数を求めよ。
【解答】
ここで、Ａ組、Ｂ組は、同じ２人の人数の組なので、
組を組名で区別しないことにすると、
ある４人をＡ組とＢ組に組み分けした組み分けの数を、Ａ組とＢ組の（２つの組の）名前を付け替えるバラエティの数２！で割り算する必要がある。
一方で、「組を区別（名前で）しない」と言っても、 ２人の組と１人の組（Ｃ組）は人数が違うので、明らかに区別できる。
よって、Ａ組とＢ組との２つの組の名前を付け替えるバラエティの数２！で割り算するだけでよい。
そのため、
（区別されない）３組に２人、２人、１人に分ける組分けの数は、
（各人が区別された）５人を、Ａ組に２人、Ｂ組に２人、Ｃ組に１人に分ける、分け方の組分けの数を、
Ａ組とＢ組との２つの組の名前を付け替えるバラエティの数２！で割り算する。
すなわち、
｛５！／（２！＊２！）｝／２！
で計算できる。
（解答おわり）
【問題６】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良い）A,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良い）A,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、
通りある。
（解答おわり）
【問題７】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良く）（区別されない）３組に分ける組分けの数を求めよ。
【解１】
（各人が区別された）５人を（０人の組があっても良く）（区別されない）３組に分ける組分けの数は、
「組に区別なく人数指定なく（各人を区別できる）人を組分けする数と組分け問題の本質」
のページの【問１】の解き方で解くことができる。
「（１）（各人を区別できる人を）A組１人以上、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、３！の異なる組分けができる。
（２）A組０人、B組１人以上、Ｃ組１人以上の場合での、ある１つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、３・２＝３！の異なる組分けができる。
（３）しかし、A組０人B組０人C組５人の場合の、１つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、３つの組分けができるだけである。」
そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは１つの組分けであるものとすることで、組の区別なく3つの組に分ける組み合わせの数は、
以下の数で計算できる。
（解１おわり）
《補足》
ここで、A組０人B組０人C組５人の組分けだけが、組の名前を入れ替えて３倍になるバラエティがある。それ以外の組分けは、組の名前を入れ替えると６倍になるバラエティがある。（注意）組み分けをｘとｙとｚの積の項であらわした式では、その６つのバラエティが、あたかも３つしかないように見え、６つのバラエティが隠されている。
この組分けから、組を区別しない組分けを抽出すると以下の組分けになる。
【問題８】
（区別された）６人をA,B,Cの３組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。
【解答】
各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^6を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。
（区別された）６人を、ある組は０人にし、それ以外の２つの組には1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式のその項に対応する１５個の枝に関して、以下の式で計算できる。
また、６人を各組に1人以上入れてA,B,Cの３組に分ける組分けの数は、式のその項に対応する１０個の枝に関して、以下の式で計算できる。
（解答おわり）
（補足）
以上で与えた一連の等式を以下で導き出しておく。
リンク：
高校数学の目次
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