《円順列を計算する上での基本的考え方》
玉を配置する円順列の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。
(2)玉のどの配置も、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて考えるべき。
(3)円順列を作るための、玉を置く席は１つ１つが異なっていると考えるべき。
(4)席を固定したときの円順列の数は、その席に対して玉の配置を回転することで配置のパターンが変わるバラエティの数で割り算することで、席を固定しない場合の円順の数が計算できる。
(5)ただし、配置のパターンによっては、玉の配置を回転することで配置が変わるバラエティの数が異なることがあるので、そのバラエティの数が同じ配置のグループ毎に、席を固定したときの円順列の数を、バラエティの数で割り算することで、席を固定しない場合の円順列の数を計算する。
なお、複数の玉をまとめて１組にして、他の玉と同等に扱うことにすると、席の種類が変わる。それにより、玉の配置のパターンを変えるための回転のバラエティが変わってしまうので、要注意である。
以下に、複数の玉をまとめて１組にすると、玉の配置のパターンの回転のバラエティが変わる例を示す。
【問１】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉６，玉７，玉８が残った席に自由に配置される。８個の席を固定した場合の、玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉６，玉７，玉８の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
８個の席へのこの配置の数は、席を固定しない場合には、
玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，の後に玉６，玉７，玉８を並べるバラエティの数であり、それは、玉６，玉７，玉８の並べ方のバラエティの数であって、全部で３！＝６通りある。
８個の席を固定した場合には、その６通りの配置を各々１／８回転づつ回転した配置が異なる配置パターンの数になる。回転することで配置のパターンが変わる数は、どの配置の場合も８つの形に変わる。
よって、
８個の席を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
８×６
通りある。
（解答おわり）
【問２】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉６，玉７，玉８が残った席に自由に配置される。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５の５つの玉の群を１組にし、
その１組と、玉６，玉７，玉８とを４つの長椅子席に１つずつ配置する。
４個の長椅子席を固定した場合の、これらの玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉１から玉５までの１組と、玉６，玉７，玉８との、固定した４つの席への並べ方は、全部で４！＝４×６通りある。
よって、
４個の席（長椅子席）を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
４×６
通りある。
（解答おわり）
《問１と問２の解の比較》
問２の解答の、１／４回転づつ回転して変わる配置の回転のバラエティを、問１の配置に対応付けると下図であらわせる。
問２の解の配置パターンの回転によるバラエティは、回転角度が１／４回転毎に形が変わる。これは、問１の８個の席への玉の配置パターンの回転によるバラエティが、１／８回転毎に形が変わるのとは異なる。そのように、回転による形が変わる最小回転角度が変わってしまう。複数の玉を１組にまとめて考える場合は、回転のバラエティが変わってしまうので、要注意である。
（問１と問２の解の比較おわり）
【問３】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，玉６，玉７がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉８が残った席に配置される。８個の席を固定した場合の、玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉８の並べ方は、残った１つの席に並べるだけなので、１通りである。
８個の席へのこの配置の数は、席を固定しない場合には、
１通りである。
８個の席を固定した場合には、その１通りの配置を各々１／８回転づつ回転した配置が異なる配置パターンの数になる。回転することで配置のパターンが変わる数は、８つある。
よって、
８個の席を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
８
通りある。
（解答おわり）
【問４】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，玉６，玉７がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉８が残った席に自由に配置される。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，玉６，玉７の７つの玉の群を１組にし、
その１組と、玉８と、を２つの長椅子席に１つずつ配置する。
２個の長椅子席を固定した場合の、これらの玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉１から玉７までの１組と、玉８との、固定した２つの席への並べ方は、全部で２通りある。
よって、
２個の席（長椅子席）を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
２
通りある。
（解答おわり）
《問３と問４の解の比較》
問４の解答の、１／２回転して変わる配置の回転のバラエティ＝２を、問３の配置に対応付けると下図であらわせる。
問４の解の配置パターンの回転によるバラエティは、回転角度が１／２回転毎に形が変わる。これは、問３の８個の席への玉の配置パターンの回転によるバラエティが、１／８回転毎に形が変わるのとは異なる。そのように、回転による形が変わる最小回転角度が変わってしまう。複数の玉を１組にまとめて考える場合は、回転のバラエティが変わってしまうので、要注意である。
（問３と問４の解の比較おわり）
場合の数と確率
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玉を配置する円順列の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。
(2)玉のどの配置も、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて考えるべき。
(3)円順列を作るための、玉を置く席は１つ１つが異なっていると考えるべき。
(4)席を固定したときの円順列の数は、その席に対して玉の配置を回転することで配置のパターンが変わるバラエティの数で割り算することで、席を固定しない場合の円順の数が計算できる。
(5)ただし、配置のパターンによっては、玉の配置を回転することで配置が変わるバラエティの数が異なることがあるので、そのバラエティの数が同じ配置のグループ毎に、席を固定したときの円順列の数を、バラエティの数で割り算することで、席を固定しない場合の円順列の数を計算する。
なお、複数の玉をまとめて１組にして、他の玉と同等に扱うことにすると、席の種類が変わる。それにより、玉の配置のパターンを変えるための回転のバラエティが変わってしまうので、要注意である。
以下に、複数の玉をまとめて１組にすると、玉の配置のパターンの回転のバラエティが変わる例を示す。
【問１】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉６，玉７，玉８が残った席に自由に配置される。８個の席を固定した場合の、玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉６，玉７，玉８の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
８個の席へのこの配置の数は、席を固定しない場合には、
玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，の後に玉６，玉７，玉８を並べるバラエティの数であり、それは、玉６，玉７，玉８の並べ方のバラエティの数であって、全部で３！＝６通りある。
８個の席を固定した場合には、その６通りの配置を各々１／８回転づつ回転した配置が異なる配置パターンの数になる。回転することで配置のパターンが変わる数は、どの配置の場合も８つの形に変わる。
よって、
８個の席を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
８×６
通りある。
（解答おわり）
【問２】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉６，玉７，玉８が残った席に自由に配置される。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５の５つの玉の群を１組にし、
その１組と、玉６，玉７，玉８とを４つの長椅子席に１つずつ配置する。
４個の長椅子席を固定した場合の、これらの玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉１から玉５までの１組と、玉６，玉７，玉８との、固定した４つの席への並べ方は、全部で４！＝４×６通りある。
よって、
４個の席（長椅子席）を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
４×６
通りある。
（解答おわり）
《問１と問２の解の比較》
問２の解答の、１／４回転づつ回転して変わる配置の回転のバラエティを、問１の配置に対応付けると下図であらわせる。
問２の解の配置パターンの回転によるバラエティは、回転角度が１／４回転毎に形が変わる。これは、問１の８個の席への玉の配置パターンの回転によるバラエティが、１／８回転毎に形が変わるのとは異なる。そのように、回転による形が変わる最小回転角度が変わってしまう。複数の玉を１組にまとめて考える場合は、回転のバラエティが変わってしまうので、要注意である。
（問１と問２の解の比較おわり）
【問３】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，玉６，玉７がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉８が残った席に配置される。８個の席を固定した場合の、玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉８の並べ方は、残った１つの席に並べるだけなので、１通りである。
８個の席へのこの配置の数は、席を固定しない場合には、
１通りである。
８個の席を固定した場合には、その１通りの配置を各々１／８回転づつ回転した配置が異なる配置パターンの数になる。回転することで配置のパターンが変わる数は、８つある。
よって、
８個の席を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
８
通りある。
（解答おわり）
【問４】
円卓の席が８個ある。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，玉６，玉７がこの番号順に、右回りに続けた席に配置され、玉８が残った席に自由に配置される。玉１，玉２，玉３，玉４，玉５，玉６，玉７の７つの玉の群を１組にし、
その１組と、玉８と、を２つの長椅子席に１つずつ配置する。
２個の長椅子席を固定した場合の、これらの玉の配置の数は全部で何通りあるか。
【解答】
玉１から玉７までの１組と、玉８との、固定した２つの席への並べ方は、全部で２通りある。
よって、
２個の席（長椅子席）を固定した場合における、玉の配置の数は全部で、
２
通りある。
（解答おわり）
《問３と問４の解の比較》
問４の解答の、１／２回転して変わる配置の回転のバラエティ＝２を、問３の配置に対応付けると下図であらわせる。
問４の解の配置パターンの回転によるバラエティは、回転角度が１／２回転毎に形が変わる。これは、問３の８個の席への玉の配置パターンの回転によるバラエティが、１／８回転毎に形が変わるのとは異なる。そのように、回転による形が変わる最小回転角度が変わってしまう。複数の玉を１組にまとめて考える場合は、回転のバラエティが変わってしまうので、要注意である。
（問３と問４の解の比較おわり）
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
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