加法定理の練習問題３

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問１】三角形ＡＢＣにおいて、頂点Ａ、Ｂに対する辺の長さをそれぞれａ，ｂとする。
ｂ＝２ａ　（式１）
∠Ｂ＝∠Ａ＋６０°　（式２）
なるとき、角Ａ，Ｂ，Ｃの大きさを求めよ。

（予備知識）
加法定理を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の定理（例えば正弦定理）が解答のポイントの問題を解きます。

（解答）
（求める答えを、より易しい答えにできないかを考える）
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

「角Ａ，Ｂ，Ｃの大きさを求めよ」という問題で、三角形の長さも与えられているので、長さと角度の関係を与える方程式が先ず必要と考える。先ずは、正弦定理を直ぐに思いだすことが必要。

正弦定理を使って角度と長さを結びつけた方程式を書けば、角度が長さであらわせ、そうすれば全ての角度が与えられるという、解答の見通しを立てます。

（方程式を書く）
（正弦定理）

式３に式１と式２を代入する。６０°＝π／３ラジアンと書き直す。

∠Ａ＝π／６　または　７π／６
式２に代入して、
∠Ｂ＝３π／６＝π／２　または　９π／６＝３π／２
３π／２はπより大きい角度なので不適。
よって、
∠Ａ＝π／６
∠Ｂ＝π／２
∠Ｃ＝π－∠Ａ－∠Ｂ＝π－（４π／６）＝２π／６＝π／３
（解答おわり）

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