2011年4月16日土曜日

第4講1節 加法定理の練習問題3

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCにおいて、頂点A、Bに対する辺の長さをそれぞれa,bとする。
b=2a (式1)
∠B=∠A+60° (式2)
なるとき、角A,B,Cの大きさを求めよ。

(予備知識)
加法定理を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の定理(例えば正弦定理)が解答のポイントの問題を解きます。

(解答)
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

「角A,B,Cの大きさを求めよ」という問題で、三角形の長さも与えられているので、長さと角度の関係を与える方程式が先ず必要と考える。先ずは、正弦定理を直ぐに思いだすことが必要。

正弦定理を使って角度と長さを結びつけた方程式を書けば、角度が長さであらわせ、そうすれば全ての角度が与えられるという、解答の見通しを立てます。

(方程式を書く)
(正弦定理)
式3に式1と式2を代入する。60°=π/3ラジアンと書き直す。
∠A=π/6 または 7π/6
式2に代入して、
∠B=3π/6=π/2 または 9π/6=3π/2
3π/2はπより大きい角度なので不適。
よって、
∠A=π/6
∠B=π/2
∠C=π-∠A-∠B=π-(4π/6)=2π/6=π/3
(解答おわり)

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