交差する直線の連立方程式の変換

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】２つの直線の交点を与える連立方程式として、
（直線１）　３ｘ－２ｙ＝３　（式１）
（直線２）　ｘ－４ｙ＝－４　（式２）
がある。この２つの直線の式の連立方程式の解は、直線の交点の座標Ｋ（ｘ，ｙ）を与える。

この式１と式２と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
（直線３）　ｘ－ｙ＝ａ　（式３）
（直線４）　ｘ＋ｙ＝ｂ　（式４）

（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。

（計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３と直線４の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（直線１）　３ｘ－２ｙ－３＝０　（式１’）
（直線２）　ｘ－４ｙ＋４＝０　（式２’）
（直線３）　ｘ－ｙ－ａ＝０　（式３’）
（直線４）　ｘ＋ｙ－ｂ＝０　（式４’）

（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式１’）＋ｎ（式２’）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（３ｘ－２ｙ－３）＋ｎ（ｘ－４ｙ＋４）＝０　（式５）
この式５を、式３’と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式５と式３’を比較し易いように、式５を変形する。
（３ｍ＋ｎ）ｘ＋（－２ｍ－４ｎ）ｙ＋（－３ｍ＋４ｎ）＝０　（式５’）
一方式３’は以下の式である。
ｘ－ｙ－ａ＝０　（式３’）
式５’が式３’と等しいためには、
３ｍ＋ｎ＝１　　　　（式６）
－２ｍ－４ｎ＝－１　（式７）
 ４（式６）＋（式７）を計算してｎを消去する。
１２ｍ－２ｍ＝４－１
１０ｍ＝３
ｍ＝３／１０　（式８）

２（式６）＋３（式７）を計算してｍを消去する。
２ｎ－１２ｎ＝２－３
－１０ｎ＝－１
ｎ＝１／１０　（式９）

式８と式９を式５’に代入する。
ｘ－ｙ＋（－９＋４）／１０＝０
ｘ－ｙ－５／１０＝０
ｘ－ｙ－１／２＝０
この式が、求める直線３の式３’である。

（注意）この式は、式１’と式２’を加えて得た式５’であるので、式１と式２の直線の交点Ｋを通る。

（直線４の式の計算）
（３ｍ＋ｎ）ｘ＋（－２ｍ－４ｎ）ｙ＋（－３ｍ＋４ｎ）＝０　（式５’）
以下の計算では、式５’のｍとｎを直線４を求めるために定め、先に直線３を求めるときに定めた値とは別の値のｍとｎを定める。
一方式４’は以下の式である。
ｘ＋ｙ－ｂ＝０　（式４’）
式５’が式４’と等しいためには、
３ｍ＋ｎ＝１　　　　（式１０）
－２ｍ－４ｎ＝１　　（式１１）
４（式１０）＋（式１１）を計算してｎを消去する。
１２ｍ－２ｍ＝４＋１
１０ｍ＝５
ｍ＝５／１０＝１／２　（式１２）

２（式１０）＋３（式１１）を計算してｍを消去する。
２ｎ－１２ｎ＝２＋３
－１０ｎ＝５
ｎ＝－５／１０＝－１／２　（式１３）

式１２と式１３を式５’に代入する。
ｘ＋ｙ＋（－３－４）／２＝０
ｘ＋ｙ－７／２＝０
この式が、求める直線４の式４’である。

（注意）この式は、式１’と式２’を加えて得た式５’であるので、式１と式２の直線の交点Ｋを通る。
 
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線３）　ｘ－ｙ－１／２＝０　（式３’）
（直線４）　ｘ＋ｙ－７／２＝０　（式４’）
すなわち、上の式の直線３と直線４の交点は、直線１と直線２の交点Ｋと同じ点である。

リンク：
ベクトルの合成の公式と分解の公式と連立方程式の解
連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
高校数学の目次